直角三角形の計算

a² + b² = c²　｜　A + B = 90°　｜　sin A = a ÷ c　｜　tan A = a ÷ b　｜　面積 = a × b ÷ 2　｜　周長 = a + b + c

a, b

直角で交わる2辺、つまり2つの脚。ページは計算の前にすべての入力をこの2つへ還元するので、斜辺と角から始まった場合もまず2つの脚に直されます

c

斜辺。直角に向かい合う辺で、常にいちばん長い。ページの主結果であり、常に再計算され、そのまま返されることはありません。あなたが打ち込んだ場合でもです

A, B

2つの鋭角。Aは脚aに向かい合う角、Bは脚bに向かい合う角で、どちらも0度と90度のあいだにあり、2つ合わせて三角形の180度の残りを埋めます

直角三角形の測定値が2つ分かっていて、残りが欲しいときに使います。2つの脚、脚と斜辺、あるいは1辺とどちらかの鋭角の組み合わせです。直角三角形の汎用の求解器であり、三平方の定理のページとは先頭に出すものが違います。あちらは欠けている1辺という狭い問いに答え、こちらは三角形の全体に答えて、どの2つの欄を埋めても斜辺をいちばん上に置きます。三角形のページとも違います。あちらは直角の無い同じ発想で、2辺とそのあいだの角が要ります。こちらは同じ2つの数からずっと多くを取り出せます。直角が3つ目の情報として無料で付いてくるからです。直角三角形の面積と周長も、同じ2つの測定値からそのまま出てきます。三角形の角度が2つとも要るように見えても、片方だけで足ります。もう片方は90度から引いた残りだからです。2つの脚が等しい直角三角形はいわゆる直角二等辺三角形で、そちらのページは同じ図形を自分の言葉で書き表します。

1. 2つの脚、3と4

   1. 2つの脚が与えられているので、斜辺は三平方の定理から出る：9足す16は25で、25の平方根は5
   2. 角Aは長さ3の辺に向かい合うので、そのタンジェントは3わる4で、36.87度
   3. 角Bは90度の残りなので53.13
   4. 面積は3かける4の半分で、周長は3辺の和

   ページが読み込まれるときの三角形で、整数の辺を持つ直角三角形のいちばん小さいものです。三平方の定理のページが土台にしているのと同じ三角形なので、斜辺・面積・周長の最後の桁まで2つのページが一致します。打ち込んだ2つの脚が出力にも現れていることに注目してください。パネルは常に7つの量をすべて印字し、三角形の全体を解くという約束がその理由です。2つの角はどちらも0度と90度のあいだにあり、89.99ではなく厳密に足して90度になります。2つ目を残りとして計算しているからです。

2. 脚と斜辺、6と10

   1. 斜辺と一方の脚が与えられているので、もう一方の脚は10の2乗から6の2乗を引いたものの平方根
   2. 100引く36は64で、その平方根は8
   3. 角は脚から出る：Aのタンジェントは6わる8
   4. 3辺が出そろったので、面積と周長は算術

   もう一方の脚は同じ定理を逆向きに読んで出てきます。100引く36は64で、64の平方根は8です。三平方の定理が足し算ではなく引き算をする場合で、2つの欄を逆に埋めたときに失敗する場合でもあります。脚より短い斜辺には解が無く、ページは数を返さずにそう告げます。角が3対4対5の行とまったく同じなのは、6対8対10がその三角形を2倍にしたものだからです。

3. 脚とその向かい合う角、3と30度

   1. 角Aは脚aに向かい合うので、30度のサインが脚と斜辺を結ぶ：脚は斜辺の2分の1
   2. だから斜辺は脚の2倍で、6
   3. もう一方の脚は脚を30度のタンジェントで割ったもので、およそ5.2
   4. 角Bは90度の残りなので60

   いわゆる30度60度90度の三角形で、辺の比が1対√3対2になるものです。どの角がどちらかを示す行でもあります。Aは与えた辺に向かい合うので、長さ3の辺が30度の角に向かい合う短いほうの辺です。同じ脚に角Bが60度という条件を入れても、どの数もまったく同じに出ます。2つの角は同じ形を言い表していて、その組がこのページ自身の対応関係の検査になっています。脚・面積・周長は小数第2位へ丸められるので、5.196は5.2として現れます。

4. 斜辺と角、10と30度

   1. 斜辺が分かっているので、30度に向かい合う脚は斜辺かける30度のサイン、つまり10かける2分の1
   2. もう一方の脚は斜辺かける30度のコサインで、およそ8.66
   3. 角はすでに分かっている：30度とその余角の60度
   4. 面積は5かける8.66の半分で、周長は3辺の和

   1つ上の行と同じ形を2倍の大きさにしたものです。辺は3・5.2・6に対して5・8.66・10で、その比はどこでも同じです。2つの三角形が同じ角を持つとはそういうことです。打ち込んだ斜辺が印字されていることにも注目してください。反響ではなく脚から計算し直しているので、パネルの3辺は常に三平方の定理を厳密に満たし、互いに矛盾することがありません。小数第2位への丸めが、8.6602ではなく8.66を出しています。

知っておく価値のあることが4つあります。1つ目、5つの欄のうちちょうど2つを埋めなければならず、しかもその2つが両方とも角であってはなりません。1つでは情報が足りず、3つは多すぎます。ページはその2つの場合をメッセージで区別します。2つの角は数としては足りていながら解けません。角が2つでは形は決まっても大きさについて何も言わないからです。パネル自体はどの欄を待っているかを示さないので、数えるのは利用者の仕事です。2つ目、2つの鋭角はどちらも受け付けますが、0度や90度は認められません。直角三角形の鋭角はそのどちらの値も取らないからです。0の辺も同じ理由で拒否されます。つぶれた三角形には印字する価値のある面積も周長も無いからです。3つ目、ページは入力した単位にかかわらずセンチメートルと平方センチメートルで報告します。フィートで入れた脚は三角形を解く前に換算され、答えはセンチメートルで返ってきます。4つ目、7つの出力行のうち2つはたいてい自分の入力の反響なので、脚を入れてその同じ脚が印字されて戻ってきても、ページが計算に失敗しているわけではありません。印字された値は単位換算と丸めを通っており、新しい情報を持っているのはほかの行のほうです。

5つの欄のうちいくつを埋めるのか

ちょうど2つです。3辺と2つの鋭角のうちどれでも2つあれば直角三角形は完全に決まり、1つでは足りません。1辺だけでは形が自由なままで、1角だけでは大きさが自由なままです。3つも拒否しますが、3つの測定値が曖昧だからではなく、そのとき必要なメッセージが算術ではなく数の話になるからです。両方の欄を埋めても失敗する唯一の組が2つの角で、これは形を決めて大きさを決めません。

打ち込んだ辺がパネルに印字されるのはなぜか

このページが、渡さなかった部品ではなく三角形の全体を約束しているからです。出力の並びは固定なので、打ち込んだ脚もほかのものと一緒に7行の中に現れます。何もしなかったように見える行ですが、その値は単位換算と丸めを通っており、新しい情報があるのは残りの6行のほうです。どの欄を埋めたかによって行の変わるパネルのほうが、読みやすいどころか読みにくくなります。

角Aはどの角か

角Aは脚aに向かい合う角で、角Bは脚bに向かい合います。だから脚3と角30度を入れると、ページはその3を30度の角に向かい合う辺として読み、30度60度90度の三角形の短いほうの脚にします。2つの鋭角は常に厳密に足して90度になります。直角が三角形の180度のうち残りの90度を取っているからで、ページは2つ目を別に導かず残りとして計算します。89.99に丸まらないのはそのためです。

答えの単位は何か

入力した単位が何であれ、常にセンチメートルと平方センチメートルです。ページは三角形を解く前に、入力を共通の単位へ換算し、出力はセンチメートルで宣言されています。フィートで入れた脚はセンチメートルの数として返ってきます。角が常に度なのも同じ理由です。ラジアンやグラードで入れてもかまいませんが、パネルは度で報告します。

三平方の定理のページとは何が違うのか

このページのほうが入力を受け付け、出力も多く返します。三平方の定理のページは3辺のうち2つを取り、欠けている1辺という狭い問いに答えます。こちらは5つの測定値のうち2つ——角も含めて——を取り、図形の全体を返し、どの場合でも斜辺を先頭に出します。重なる場面ではぴったり一致します。どちらも同じ三角形を、同じ丸めで扱っているからです。

脚より短い斜辺が拒否されるのはなぜか

そんな三角形が存在しないからです。斜辺は直角に向かい合う辺で常に3辺のうちいちばん長いので、どちらの脚よりも厳密に大きくなければなりません。脚と斜辺の欄に、斜辺のほうが小さい数で入っているとき、その2つはまず間違いなく逆に入っています。ページは負の数の平方根を取るのではなく、そう告げて入れ替えを促します。負の数の平方根は答えをまったく出しません。

• Right Triangle — 5つの測定値、どの組み合わせが三角形を決めるか、それらを結ぶ関係 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — 3辺の関係、その逆、そしてつぶれた場合 — Wolfram MathWorld (United States)
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — サイン・コサイン・タンジェントで1辺と1角から辺を求める — Math is Fun (United Kingdom)
• Pythagoras' Theorem — 定理を一から、その逆と計算例つきで — Math is Fun (United Kingdom)