正弦定理計算

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C　｜　sin B = b · sin A ÷ a　｜　C = 180° − A − B　｜　c = a · sin C ÷ sin A

辺aと角A

分かっている辺と、それに向かい合う角。この2つが三角形全体の比を決める組で、この定理を使うにはどちらかが必ず要ります

b

分かっている2つ目の辺。部品がいくつの三角形を許すかを決めるのがこれで、曖昧な場合はすべて、その長さが辺aとどう比べられるかにかかっています

B

辺bに向かい合う角。比の逆サインを取ると常に0度から90度のあいだの鋭角が返り、鈍角の相方も平角の中に収まるときは、それを使う2つ目の三角形が存在します

角Cと辺c

3つ目の角と3つ目の辺。どちらもBが決まったあとに得られます。角は平角からほかの2つを引き、辺は同じ共有された比から出します

2辺と、そのあいだにない角が分かっていて——湾を挟んだ2つの方位と距離、測量のトラバースで角が遠い側にある2つの脚——三角形の残りが欲しいときに使います。余弦定理が快く引き受けられない唯一の角と辺の形で、答えが測定値ではなく選択になり得る唯一の形でもあります。だからこのページは個数を先頭に置いています。部品が2つの三角形を許すときは、どちらに立っているかを決める前に、辺だけでなく角も見てください。2つの目標物を視準する測量士は、目の前の角が鋭いか鈍いかをふつう知っていて、その1つの事実が三角形を選びます。3辺があるとき、2辺とそのあいだの角があるときは余弦定理のページが正しい道具で、曖昧さはまったくありません。直角三角形の1辺だけが欲しいときは、直角三角形のページがどちらより短いです。正弦定理も三角形の辺と角を結ぶ等式で、三角関数の基本関係の1つです。

1. 2辺と広い角、6、30度、8

   1. 共有される比は辺aを角Aのサインで割ったもので、6を0.5で割って12
   2. 角Bのサインは辺bをその比で割ったもので、8を12で割って0.6667
   3. サインが0.6667の角は41.81度——そしてその補角138.19度も同じサインなので、どちらも候補になる
   4. 角Cは平角の残りで、180から30と41.81を引いて108.19
   5. 辺cは同じ比から、12かけるサイン108.19度で11.4

   このページ自身の初期値で、曖昧な場合の教科書どおりの絵です。2つ目の辺が1つ目より長いので、垂直線のどちら側へも振れて、それでも図形を閉じられます。4つの読みは鋭角のBで作った三角形——2つ目の辺が底辺のほうへ後ろに傾くほう——を記述しています。もう1つの三角形は41.81度の鈍角の相方、138.19度を使い、下の表の最後の列にあり、その3つ目の角は108.19ではなく11.81度という狭いものです。どちらも同じ3つの情報への正しい答えです。

2. 同じ角で2つ目の辺が短い場合、8、30度、6

   1. 共有される比は8をサイン30度で割ったもので16
   2. 角Bのサインは6を16で割ったもので0.375
   3. サインが0.375の角は22.02度。その補角157.98度には角Aの居場所が無く、30と157.98はすでに平角を越えるので、鋭角のほうだけが生き残る
   4. 角Cは180から30と22.02を引いて127.98
   5. 辺cは16かけるサイン127.98度で12.61

   2つの辺を入れ替えると曖昧さが消えます。6は8より短いので、2つ目の位置ではもう図形を閉じられず、三角形は1つだけになります。ほかの数の性質は何も変わらないのに個数が2から1へ落ちる——個数を先に印字する理由がここにあります。同じ3種類の入力が、2つの長さの比べられ方だけで違う答えを生みます。残った三角形がCの鈍角、127.98度のほうであることに注目してください。2つ目の辺が短いと、図形はもっと先まで伸ばして閉じるしかないからです。

3. 境界の場合、5、30度、10

   1. 共有される比は5をサイン30度で割ったもので10
   2. 角Bのサインは10を10で割ったもので、ちょうど1
   3. サインが1なら角は90度に決まり、2つ目の選択肢は無い。0度から180度のあいだに同じサインを持つ角はほかに無いからだ
   4. 角Cは180から30と90を引いて60、辺cは10かけるサイン60度で8.66

   2つ目の辺がちょうど1回だけ届く長さです。3つ目の辺へ直角に落ち、三角形はBがちょうど90度の直角三角形になります。三角形が無い場合と2つある場合の分割線で、下からまたいだときに何が起きるかを見る価値があります。辺がこれよりほんの少し長くなった瞬間に2つの解が一緒に現れ、片方は90度をわずかに越え、もう片方はわずかに届かず、辺が伸びるにつれて離れていきます。ちょうどの値では1つで、そのサインは丸めなしのちょうど1になります。

4. 求めずに与えられた90度の角

   1. 共有される比は10をサイン90度で割ったもので、10そのもの
   2. 角Bのサインは6を10で割って0.6で、36.87度
   3. 角Cは180から90と36.87を引いて53.13
   4. 辺cは10かけるサイン53.13度で8

   ここでは直角が、計算が見つけ出すものではなく、与えた部品の1つです。共有される比は斜辺を1で割ったもの、つまり斜辺そのものになります。そこから正弦定理が2つの鋭角を直接与え、3つ目の辺はちょうど8になります。3・4・5の三角形を2倍にしたものにほかならないので、きれいな数です。ページ全体の検算に使えます。直角に向かい合う辺が3つのうちいちばん長いときはいつでも、すべてが三平方の定理と一致するはずで、ここでは一致しています。

率直に書いておく限界が3つあります。パネルは1つの三角形を印字し、2つは印字しません。個数が2のとき、その下の4つの読みは鋭角のBで作った三角形のもので、鈍角の相方は参考表の最後の列で名指しされ、パネルには出ません。パネルには答えを置く場所が1つしかなく、2つを並べる方法が無いので、小さいほうの角を印字して相方を指し示すことにしました。2つ目、何かを解く前に部品が意味を成さなければなりません。与えられた角は0度と180度のあいだでなければならず、2つ目の辺が3つ目の辺に届くだけの長さが無ければ三角形は存在せず、このページは作話する代わりにそう報告します。ちょうど0度やちょうど平角の角は近似せずに拒否します。角が0の三角形には解くべき形が無いからです。3つ目、読みは小数第2位までで、非常に大きな三角形ではそれがほとんど意味を持ちません。数億センチの辺は倍精度で100分の1を運べないので、そこまで大きい図形では印字された辺の小数を参考程度に扱ってください。角は正確なままです。100分の1度は三角形の大きさが何であれ100分の1度だからです。

正弦定理の曖昧な場合は何か

2辺と挟まれていない角が、1つではなく2つの違う三角形を許す状況です。与えられた角は片方の辺の向きを決めますが、もう片方がどちらへ振れるかは決めないので、2つ目の辺は後ろへ傾いて早く閉じることも、前へ傾いて遅く閉じることもできます。片方は小さくて鈍角を持ち、もう片方は大きくて鋭角です。どちらも同じ3つの情報を使います。このページは可能な個数を先に数え、それから鋭角のほうを解きます。2つ目の位置が存在するかどうかが、2つの長さの比べられ方で決まるからです。

三角形が1つか2つかはどうやって分かるのか

2つ目の辺を1つ目と比べてください。2つ目の辺に与えられた角のサインを掛け、1つ目の辺で割ります。その数が1より大きければ部品は三角形を作りません。サインが1より大きい角は存在しないからです。1より小さければ鋭角が手に入り、その鈍角の相方にまだ与えられた角の居場所が残っていれば——つまり2つの角を足しても180度未満なら——2つ目の三角形があります。ページはこの比較を代わりに行い、個数を見出しの答えとして印字します。

計算ツールは2つのうちどちらを見せてくれるのか

小さいほうの角Bで作った三角形で、3つ目の角が大きいほうです。パネルは個数を印字し、それからその三角形の4つの読みを印字します。Bの鈍角の相方は隣の参考表の最後の列に現れるので、どちらもページの上にあります。両方ではなく片方を示すのは、結果パネルには答えを置く場所が1つしかないからです。4つの数の組を2つ、ラベルを付ける余地もなく印字するのは、1つ印字してもう1つを名指しするより悪いことです。

0度や180度の角が拒否されるのはなぜか

角が0の三角形は三角形ではないからです。点が1つ乗った線分であり、0度の角に向かい合う辺も0になるはずです。この2つの値は図形が存在しなくなる境界にあり、算術の端にあるのではありません。0度の角と0の辺という、答えのように見えるものを返すより、そう告げるのが正直な答えです。そのあいだの角は問題ありません。どちらの端に非常に近い角も含めて、そこでは三角形は非常に長く薄くなりますが本物の三角形のままです。

正弦定理と余弦定理のどちらを使うのか

辺とそれに向かい合う角、そしてもう1つ何かがあるときは正弦定理、3辺があるとき、または2辺とそのあいだの角があるときは余弦定理を使います。どちらかに決めるのは2辺と挟まれていない角の場合で、それがこのページの形であり、余弦定理が2次方程式を解かされるためにぎこちなく引き受ける形です。曖昧さを運ぶ形でもあり、だからこのページは見出しを個数に使っています。

印字される辺の長さが小数第2位までしか正確でないのはなぜか

ページが丸める先が小数第2位で、ふつうの三角形では倍精度が表せる範囲に十分収まるからです。非常に大きな三角形ではそうなりません。数億の辺は小数が動き出す前に数の精度を使い切っているので、そういう読みの末尾の桁は測定値ではなくおまけです。角にはこの問題がありません。100分の1度は三角形がどんなに大きくても100分の1度のままだからです。

• Law of Sines — 辺と向かい合う角のサインの共有された比と、この関係が2つの三角形を許す条件 — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — 3辺のための対になる関係と、このページが引き受けられない形の三角形 — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 三角不等式、いちばん大きい辺がいちばん大きい角に向かい合う規則、部品から決まらない場合 — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — 定理を一から解き、曖昧な場合と、解の個数が辺の長さからどう決まるかを示した解説 — Math is Fun (United Kingdom)