三角関数計算
計算結果
サイン
- コサイン
- 0.8660
- タンジェント
- 0.5774
三角関数計算ツールは、1つの角度を受け取って、そのサイン・コサイン・タンジェントを返します。角度を打ち込み、度かラジアンかを選べば、ページは3つを一度に返します。その角がどこに着地するかを表す3つの数です。サインとコサインは1つの点の2つの座標です。原点を中心にした半径1の円を描き、x軸の正の向きから反時計回りに角のぶんだけ回してください。着地した点にはx座標とy座標があり、その座標がコサインとサインです。タンジェントはその2つの比、サインをコサインで割ったもので、原点からその点へ引いた直線の傾きでもあります。タンジェントは座標ではなく比なので、ほかの2つが決してしないことをします。尽きるのです。コサインが0になるところ——直角と4分の3周——には割るものがなく、そこのタンジェントは「とても大きな数」ではなく「数がない」のです。このページはそういう角を拒否して名指しします。莫大な値を印字して、同じことだと思ってくれと読者に委ねることはしません。下の表は12の角について3つを並べ、1周に4つずつ、模様を信じてもらうのではなく見えるようにしてあります。1周を超える角もここでは普通の入力です。390度は30度と同じ角で、ページはそう読めます。以下はすべて小数第4位までで、教科書と照合するには足り、ここでの正確な答えが小数では割り切れない根号や分数であることには正直です。
円の周りの12の角におけるサイン・コサイン・タンジェント
| θ（度） | サインθ | コサインθ | タンジェントθ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | 0.5 | 0.866 | 0.5774 |
| 45 | 0.7071 | 0.7071 | 1 |
| 60 | 0.866 | 0.5 | 1.7321 |
| 90 | 1 | 0 | — |
| 120 | 0.866 | -0.5 | -1.7321 |
| 135 | 0.7071 | -0.7071 | -1 |
| 150 | 0.5 | -0.866 | -0.5774 |
| 180 | 0 | -1 | 0 |
| 210 | -0.5 | -0.866 | 0.5774 |
| 270 | -1 | 0 | — |
| 330 | -0.5 | 0.866 | -0.5774 |
角が12、1周に4つずつ、そしてタンジェントの列にある2つのダッシュがこの表の要点です。90度と270度でタンジェントは値を持たず、ページは莫大な数ではなくダッシュでそう言います。サインの列を上から読むと、最初の4分の1周で0から1へ上がり、半回転までに0へ戻り、負になってまた戻ってきます。1周ごとに1つの波です。コサインの列は同じ波を4分の1周ずらしたものです。タンジェントは種類が違い、1周ごとではなく半周ごとに繰り返します。0度から180度までの4行にその話が全部入っているのはそのためです。正の側の2列がどこで山になるかも見てください。サインはコサインが0になるまさにその90度で1になり、タンジェントはその2つの比です。だからその角が極になるのです。
公式
sin θ = 対辺 ÷ 斜辺 ｜ cos θ = 隣辺 ÷ 斜辺 ｜ tan θ = sin θ ÷ cos θ
- θ
- 角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周より大きくても構いません。円のどこに着地するかだけが意味をもちます
- 対辺 ÷ 隣辺
- 角θを含む直角三角形の2つの脚——θに向かい合う辺と、θの隣にある辺。斜辺を1とすると、この2つがサインとコサインが読み取る2つの座標になります
- 斜辺
- 直角三角形のいちばん長い辺で、直角に向かい合うもの。これで割ることが、サインとコサインをマイナス1から1の間に留めています
このページは1つの問いに3通りで答えます。角度が与えられたとき、そのサイン・コサイン・タンジェントは何か。角度のほうを先に持っているときに使います。度で分かっている屋根の勾配を傾きとして欲しい、ラジアンで分かっている位相がある、これから成分に分けようとしている向きがある——そういうときに、三角比を1つずつではなく3つまとめて欲しいはずです。12の角における三角関数の値の表があるのも同じ理由です。実際に出会う角のほとんどはこの12のどれかで、3つを並べて見ると、30度のサインと60度のコサインが同じ数だと気づけます。思い描きたいのが点そのものなら単位円のページ、分かっているのが角度ではなく2辺なら直角三角形のページへ。比のほうがあって角度を戻したいときは逆向きの計算です。ある角のサイン・コサイン・タンジェントは角度を教えてくれず、それは逆関数のページの仕事です。
計算例
角度30度
- 角は第1象限にあるので、3つの読みはどれも正
- 半径1の円の上で30度の点は(√3/2, 1/2)
- よってコサインは√3/2、サインは1/2、タンジェントはその比で√3/3
ページが読み込まれるときの角で、下の表の1行目でもあります。正確な値は2分の1、2分の√3、√3分の3で、出ている小数はそれを4桁に丸めたものです。注目に値するのは0.5774のほうで、根号の3分の1であって循環小数ではありません。
角度45度
- 45度では点が直線y = xの上に来るので、2つの座標が等しい
- 座標が等しいとはサインとコサインが同じ数√2/2ということ
- 等しい2数の比はちょうど1で、だからここではタンジェントも正確
90度未満でタンジェントが正確になる唯一の角です。1であって0.9999ではありません。サインとコサインはどちらも0.7071で、45度より先はサインが上がり続けコサインが下がり始めるので、第1象限でこの2つがそろうのはここだけです。タンジェントがサインをコサインで割ったものと一致し、しかもきれいな値になるのもこの角だけです。
第2象限の角、135度
- 135度は直角を45度過ぎたところなので、点は第2象限にある
- y座標はまだ正なので、サインは0.7071のまま
- x座標は負になったので、コサインは−0.7071
- タンジェントは正と負の比なので、負になる
この例の狙いは符号です。135度のサインは45度のサインとちょうど同じで、コサインは符号が反転し、タンジェントも一緒に反転しています。下の表を上から読むと、サインの列は最初の2つの象限で正、後の2つで負、コサインの列は90度で変わり、タンジェントの列も90度で変わります。値そのものが尽きるのと同じ場所です。
適用限界
このページがしないことが3つあります。角度を読んで比を返すだけで、逆向きはしません。0.5があって、それがサインであるような角が欲しいとき、ここは何も教えてくれません。それは逆関数のページの仕事で、答えの集合が本当に違う別の問いです。サイン0.5は1つの角のものではないからです。2つ目、直角または4分の3周のタンジェントは、近似ではなく拒否されます。同じ拒否は、そのどちらかに帰着するすべての角——負の角も1周を超える角も含めて——に及びます。正直な扱いですが、450度という角がサインとコサインにはまったく普通の角であるのに、ここではエラーになるということでもあります。3つ目、読みは小数第4位までです。表の12の角については、これでは正確な答えが見えません。30度のコサインはここでは0.866で、正確には2分の√3です。そして小数を何桁並べても足りません。それらの角の正確な値は無理数だからです。下の表は小数を印字しています。根号そのものが要るときは、標準的な正確値の表を見てください。
よくある質問
- 90度でタンジェントに値がないのはなぜか
- タンジェントはサインをコサインで割ったもので、90度ではコサインが0だからです。点は円の頂上へ移り、x座標は0で、割るものがありません。正直な言い方をすれば、そこのタンジェントには値がない、ということになります。莫大な値なのではありません。その角のサインとコサインはどちらもまったく問題なく定義され、1と0で、下の表にも載っています。
- 角度は度とラジアンのどちらで打ち込むのか
- どちらでも構いません。入力欄の隣に単位の選択があり、どちらでも同じ角として読まれます。30度と0.5236ラジアンは4桁まで同じ3つの数を返します。違いが出るのは、どちらかの単位を前提にした出典と比べるときだけです。教科書の多くがそうで、30度のサインは2分の1と書いてあるページは度の話をしています。
- 下の三角関数の表は何のためか
- 12の角、1周に4つずつ、それぞれの行に3つの関数が並んでいます。この12で、3つの関数が取り得る符号の組み合わせと、タンジェントの2つの極と、4つの象限すべてを覆っています。1列ずつ上から読むと、それぞれの関数の模様が見えます。サインは1まで上がって戻り、コサインは同じ形をずらしたもので、タンジェントは1周ごとではなく半周ごとに繰り返します。
- 角度は負でも、360度より大きくてもよいのか
- どちらも構いませんし、どちらも特別な場合ではありません。負の角は反時計回りではなく時計回りに回り、1周を足した正の角と同じ点に着地します。マイナス30度と330度は同じ角で、同じ3つの読みを与えます。1周を超えたぶんは回り続けるだけで、390度はまた30度です。大事なのは最後の位置だけなので、計算ツールはまず角を還元してから三角比を読み取ります。
- このページと単位円のページは何が違うのか
- 入力欄を共有し、最後の桁まで一致します。わざとそうしてあり、互いに検算できるようにしてあります。違いは見せているものです。単位円のページは絵を中心に組み立てられています。半径1の円の上の点、その座標、正確な値を持つ特別な角。このページは関数と、描きにくい角を中心にしています。負の角、1周を超える角、そしてタンジェントが値を持たない2つの角です。
- 小数第4位までなのはなぜか
- 4桁あれば、教科書の答えと間違った答えを見分けられるからです。それより先の桁は角度の話ではなくなります。表のほとんどの角の正確な値は平方根や分数で、その小数展開は終わりも繰り返しもしません。30度のコサインは2分の√3で、0.8660254037844386はその切り詰めであって別の数ではありません。桁を増やせば、その角が持っていない精度を匂わせることになります。
参考文献
- Trigonometric Functions — サイン・コサイン・タンジェントの定義と定義域、コサインが0のところでタンジェントが定義されない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine — 単位円がy座標として読み取る関数。周期と、特別な角で取る値 — Wolfram MathWorld (United States)
- Tangent — 他の2つの関数が生む比。周期が1周ではなく半周であること、90度と270度に極があること — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine, Cosine and Tangent — 直角三角形の3つの比を一から歩き、特別な角を主張ではなく導出で示している入門 — Math is Fun (United Kingdom)