コタンジェント計算

cot θ = 1 ÷ tan θ　｜　cot θ = 隣辺 ÷ 対辺　｜　cot θ = cos θ ÷ sin θ

θ

角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周より大きくても構いません。円のどこに着地するかだけが意味をもちます

隣辺 ÷ 対辺

角θを含む直角三角形の2つの脚——θの隣にある辺と、θに向かい合う辺。コタンジェントは前者を後者で割ったもので、タンジェントを逆さまにしたものです

tan θ

同じ角度のタンジェント。これで1を割れば、0でないところではコタンジェントになります。直角ではタンジェントに値がなく、そこのコタンジェントは代わりに0です

欲しい比が、隣辺のほうを上に置くもののときに使います。傾きを立ち上がりわる走りではなく走りわる立ち上がりで表す、勾配を逆の向きで言う、度で分かっている角をそのタンジェントの逆数として欲しい——そういう場面です。下のコタンジェントの表は2列を並べているので、タンジェントとコタンジェントがどう入れ替わるかを見るいちばん速い道でもあります。片方の列がダッシュになっているすぐその行で、もう片方の列が0を持っています。逆数ではなくタンジェントそのものが欲しいとき、サインとコサインも一緒に欲しいときは、三角関数のページが3つまとめて印字し、数は最後の桁まで一致します。コタンジェントのほうがあって角度を戻したいときは逆向きの計算で、答えが1つではない別の問いです。

1. 角度45度、唯一の整数の答え

   1. 45度では、直角三角形の2つの脚が等しい
   2. コタンジェントは隣辺を対辺で割ったもの
   3. 等しい量どうしを割ればちょうど1になるので、読みは1であって0.9999ではない

   ページが読み込まれるときの角で、この関数が整数を返す唯一の角です。45度はタンジェントも1になるところで、これは偶然ではありません。ある数がそれ自身の逆数なら、関数とその逆数はそこで一致します。このページのほかの読みはすべて根号かその逆数で、下の表が小数第4位まで書かれているのはそのためです。

2. 角度30度

   1. 30度のタンジェントは√3/3で、およそ0.5774
   2. コタンジェントはそれを1で割ったもの、つまり√3
   3. 小数第4位に丸めると、√3は1.7321

   30度のコタンジェントは60度のタンジェントと同じ数で、これは偶然ではなく規則です。直角三角形の2つの鋭角を足すと90度になり、片方に向かい合う辺がもう片方の隣にある辺だからです。だからある角のコタンジェントは常にその補角のタンジェントで、下の表はその組を隣り合う行に並べています。

3. 第2象限の角、135度

   1. 135度は直角を45度過ぎたところ
   2. 点は第2象限にあるので、隣辺は負になり、対辺はまだ正のまま
   3. 負を正で割れば負なので、コタンジェントは−1

   45度の読みにちょうどマイナスを付けたもので、第2象限全体がこの型です。第1象限の角を折り返したときとコタンジェントの大きさは変わらず、動くのは符号だけです。絶対値がここで1に戻るのは、三角形が45度のときと同じ形で、置かれ方だけが違うからです。

4. 角度90度、コタンジェントが0になるところ

   1. 直角では、隣辺が0まで縮んでいる
   2. コタンジェントは隣辺を対辺で割ったものなので、0を正の数で割ったものになる
   3. 0を0でないもので割れば0なので、読みは0

   タンジェントのページが拒む角で、ここでは0というごく普通の読みになっています。特別扱いしているのではありません。比の下ではなく上に0があるだけで、0を数で割ることは許されます。逆数の関係が何をするかをいちばん明快に示す例です。この角で2つの関数は大きさが違うのではなく、定義されるものと定義されないものを入れ替えています。

率直に書いておく限界が3つあります。読みは小数第4位までで、そのほとんどは無理数です。30度のコタンジェントは√3なので、1.7321は答えではなく切り詰めたものです。このページで正確に終わる値を持つ角は45度だけで、下の表が不揃いに見えるのはそのためです。きれいな数に着地する行と、そうでない行があります。2つ目、コタンジェントは0度と180度、およびそのどちらかに帰着するすべての角——負の角も1周を超える角も含めて——に値をもちません。このページはそのすべてを拒否し、同じ拒否はあの2つの角に整数周を足した角にも及びます。3つ目、このページは逆算しません。コタンジェントが1.7321だと分かっても、角は30度か210度か、半周だけ違う無限個の角のどれかになり、どれを取るかはこのページが決めない選択です。

0度でコタンジェントに値がないのはなぜか

コタンジェントは隣辺を対辺で割ったもので、0度では対辺が縮んで無くなるからです。0で割ることに答えはありません。タンジェントが90度で起こすのと同じ失敗が、4分の1周ずれて起きています。2つの関数は逆数どうしなので、片方が0になるところではもう片方が定義されず、0と極が場所を入れ替えるのです。

コタンジェントはタンジェント分の1と考えてよいのか

はい、それがいちばん短い説明です。コサインをサインで割ったものでもあり、隣辺を対辺で割ったものでもあり、3つは同じことを言っています。気をつけるのはタンジェントが0か定義されない角だけです。0分の1は数ではないので、コタンジェントは0度と180度で定義されず、タンジェントが定義されない90度と270度では0になります。

90度のコタンジェントが0なのはなぜか

直角では隣辺が無くなるまで縮み、対辺は最も長くなっているからです。上に0が来る比は0なので、読みはごく普通の0です。特別扱いは何もしていません。これは三角関数のページが拒む角で、対比がこのページの要点です。2つの関数は、どちらが答えを持ちどちらが持たないかを入れ替えます。

コタンジェントが負というのは何を意味するのか

三角形の2つの脚の符号が反対になっている、ということです。第2象限と第4象限でそうなります。直角を過ぎると隣辺が逆向きを指し、対辺はそうではないので比が負になり、180度までそのままです。第3象限では両方が負になるのでまた正になり、270度を過ぎるともう一度負になります。

コタンジェントはどのくらいの周期で繰り返すのか

半周ごとで、サインやコサインの2倍の頻度です。角に180度を足すと隣辺と対辺の両方の符号が反転し、2つとも反転した量の比は変わりません。だから30度と210度はコタンジェント1.7321を共有し、下の表はその組を8行違いに並べています。サインとコサインは、戻ってくるのにまる1周を要します。

角度はラジアンでも入れられるのか

入れられます。入力欄の隣に単位の選択があり、どちらで入れても同じ角として読まれます。45度と0.7854ラジアンは同じコタンジェント1を返します。確かめるべきなのは、比べている出典がどちらの単位を前提にしているかです。表の多くは度で書かれています。

• Cotangent — タンジェントの逆数、周期が半周であること、0度と180度にある極 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — 6つの比それぞれの定義と定義域、どれがどの角で定義されないか — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — これが逆数を取る相手の関数。90度と270度にある自身の極と、2つの逆数の関係 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 直角三角形の比を一から歩き、残りの3つがそこからどう出るか — Math is Fun (United Kingdom)