コサイン計算

cos θ = 隣辺 ÷ 斜辺　｜　cos θ = 角θが着地する点のx座標

θ

角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周より大きくても構いません。円のどこに着地するかだけが意味をもちます

隣辺

角θの隣にある辺。θの向かい側でも斜辺でもないほうで、θを含む直角三角形ではこの辺がθのすぐ隣に来ます

斜辺

直角に向かい合う、いちばん長い辺。隣辺と同じかそれより長いので、この比が1を超えることはありません

3つではなく1つの数が欲しいときに使います。これから成分に分解しようとしている位相角のコサイン、面に沿って働く力の割合、回転させている点のx座標。下のコサインの値の表は12の角を1周に4つずつ並べており、関数の形を一望するいちばん速い道です。1から始まり、直角で0に落ち、半回転でマイナス1に達し、また戻ってきます。同じ角のサインとタンジェントも要るときは、三角関数のページが3つをまとめて印字し、数は最後の桁まで一致します。思い描きたいのが点そのものなら、単位円のページがそれを中心に組み立てられています。コサインのほうがあって角度を戻したいとき——コサイン0.5は1つの角のものではないので、これは答えが1つではなく集合になる別の問いです——は、アークコサインのページが受け持ちます。

1. 角度60度

   1. x軸の正の向きから反時計回りに60度回す
   2. 着地する点は(1/2, √3/2)
   3. x座標がコサインなので、コサインは1/2——√3/2のほうはサインのもの

   ページが読み込まれるときの角で、三角関数のページと比べる価値がある角です。あちらでは同じ角がコサイン0.5とサイン0.866を与え、0.5はここで得られる値とちょうど同じです。この組は、60度のコサインと30度のサインが同じ数だと教えてくれる最も明快な例です。60度と30度は1つの直角三角形の2つの角だからです。

2. 角度0度、コサインが取る最大の値

   1. 0度はまったく回さないということで、点はx軸の正の向きのまま
   2. その座標は(1, 0)
   3. x座標が1なので、コサインは1

   1が天井です。コサインはどの角でもこれを超えられません。原点から1だけ離れた点のx座標であり、そんな点が1より右に行くことはないからです。この値になるのは0度と、そのあとの1周ごと——360度、720度——だけで、そのあいだのどこでもありません。

3. 第2象限の角、120度

   1. 120度は1周の3分の1なので、点は第2象限にある
   2. x座標は原点より左に来るので、負になる
   3. 読みの大きさは60度のときと同じで、符号が反転した

   直角を過ぎると点はy軸の左へ渡り、コサインは負になります。270度までそこに留まります。コサインの符号が教えてくれることで最も役に立つのがこれです。コサインが負なら、表している向きは後ろ向きです。サインが何をしていようと関係ありません。

4. 負の角、マイナス60度

   1. 負の角は反時計回りではなく時計回りに回す
   2. 点はx軸より下、(1/2, −√3/2)に着地する
   3. x座標は同じ1/2なので、コサインは変わらない

   コサインは偶関数です。ある角とそのマイナスの角に対して同じ答えを返します。サインとタンジェントはそうではありません。ここではどちらも符号が変わります。1列だけの表ではこれが見やすいので、下の12の角には、向かい合う角のマイナスになっているものが2つ入っています。

覚えておきたいことが2つあります。読みは小数第4位までで、表のほとんどの角では正確な値が根号や分数になり、小数では割り切れません。30度のコサインは2分の√3で、0.866はそれを丸めた着地点であって数そのものではありません。値が正確になる角——0度、60度、90度、120度、180度——は読みがきれいに見える角で、それはそれらの角の性質であって計算ツールの性質ではありません。2つ目、このページは逆向きの計算をしません。コサイン0.5は60度のものでも300度のものでも、その先の無限個の角のものでもあります。関数は1周ごとに繰り返し、0について対称だからです。コサインから1つの角を取り出すには、どの範囲が欲しいかを決める追加の判断が要り、それはアークコサインのページの仕事です。

コサインに値のない角はあるのか

ありません。コサインはどの角にも定義され、タンジェントが値を持たない角でもそうです。90度ではコサインが0、270度でもまた0で、どちらもまったく普通の数です。これが2つの関数の違いを1文で言ったものです。タンジェントは0で割り得る比で、コサインは決してそうなりません。だからこのページは読みを拒否しません。

60度のコサインが30度のサインと同じなのはなぜか

60度と30度が1つの直角三角形の2つの鋭角だからです。その三角形では、60度の角の隣にある辺が、30度の角の向かい側にある辺です。だから一方のコサインを与える比が、もう一方のサインを与える比になります。下の表も円の側から同じことを示しています。コサインの列とサインの列は、4分の1周ずらした同じ数です。

コサインが負というのは何を意味するのか

表している向きがy軸より左を指している、ということです。出発点から4分の1周より多く、4分の3周より少ないということでもあります。誤りでも小さな値でもありません。マイナス2分の1はマイナス1より大きく、コサインが最小になるのは半回転のところです。90度から270度まではどのコサインも負で、その外側ではどのコサインも正です。

角度はラジアンでも入れられるのか

入れられます。入力欄の隣に単位の選択があり、どちらを選んでも同じ読み方をします。60度と1.0472ラジアンは同じコサイン2分の1を返します。注意すべきなのは、比べている出典がどちらの単位を前提にしているかだけです。ふつうは度を意味しています。

90度のコサインが0なのに、同じ角のサインがちょうど1なのはなぜか

直角では点がy軸の上にあるからです。x座標は0、y座標は1になります。コサインはx座標なので0、サインはy座標なので1です。どちらも正確で、この組が2つの関数とは何かをいちばんよく示します。コサインは点がどれだけ右にあるかを測り、その角では点はまったく右にありません。

三角関数のページが3つ返すのに、このページが1つだけなのはなぜか

2つのページの役割がそうなっているからです。三角関数のページは3つの比を互いに比べるためにあり、表にそれぞれの列があります。このページはコサインだけが欲しい読者のためにあり、列が1つだからこそ関数の形が見えます。0で1、直角で0、半回転でマイナス1、4分の3周でまた0、そして1に戻る。2つのページはどの角でも最後の桁まで一致するので、選ぶ基準は算法ではなく見せ方です。

• Cosine — 単位円がx座標として読み取る関数。偶関数であることと、特別な角で取る値 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — サイン・コサイン・タンジェントの定義と値域、コサインはどこでも定義されタンジェントはそうでない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — 半径1の円と、その上の点の座標がなぜコサインとサインなのか — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 直角三角形の3つの比を一から歩き、特別な角を主張ではなく導出で示している入門 — Math is Fun (United Kingdom)