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CalcMax

サイン計算

範囲：-1,000,000 °〜1,000,000 °

計算結果

0.5000

サイン

象限（0なら軸上）
1

サイン計算ツールは、角度からそのサインを返します。サインとは、その角に向かい合う辺を斜辺で割った比のことで、単位円の上では角が着地する点の高さにあたります。直角三角形が持つ6つの比のうち、高さを答えるのがこれです。どの角度にも定義されます。対辺と斜辺が答えのない食い違いを起こすことはないので、タンジェントと違ってこのページは打ち込まれた値を拒否しません。とくによく働く性質が2つあります。サインは奇関数なので、負の角を入れると答えも負になります。コサインはその鏡像で、負の角でも正の角とまったく同じ値を返します。もう1つ、サインは半周ではなく1周ごとに繰り返します。点の高さは、まる1周してはじめて元の場所に戻るからです。2列目は象限です。これがこのページがコサインのページと違って印字する唯一のものです。象限とは座標平面が4つに切られた区画のことで、水平の正の向きから反時計回りに数えます。サインの符号は点が軸より上か下かを、コサインの符号は左か右かを示し、2つを合わせるとどの区画かが決まります。30度ではサインが2分の1で象限が1、つまり点は軸より上で右側にあります。150度でもサインは2分の1のままですが、象限は2になります。高さは同じで、反対側です。この組がこのページでいちばん分かりやすいところです。ある角のサインはその補角のサインに等しく、だから表には同じ数が2回、隣り合う象限を変えて現れます。ちょうど軸の上に乗る角——0度、90度、180度、270度——はどの象限にも属さず、列はそれらに対して1ではなく0と読みます。下の参考表は12行すべてを載せています。角度からサインとコサインとタンジェントをまとめて見たいときは、三角関数のページが3つ並べて印字します。

12の角におけるサインと象限

θ（度）サインθ象限
000
300.51
450.70711
600.8661
9010
1200.8662
1350.70712
1500.52
18000
210-0.53
270-10
330-0.54

角が12、列が3、そしてどこにもダッシュがありません。角を拒否しないのがこのページで、それが表に出ています。象限の列を上から読むと、4つの区画が順に現れます。最初の90度までが1、90度から180度までが2、そこから270度までが3、1周までが4——そのあいだの4か所に0が入り、それらはどの区画にも属さない軸上の角です。値の列にも模様があります。最初の4分の1周で0から1まで上がり、次の4分の1周で0に戻り、軸の下へ下がって270度でマイナス1に達し、また登ってきます。そして値の列は2つずつ組で繰り返します。30度と150度、45度と135度、60度と120度、210度と330度。どの組も、ある角と垂直軸についてのその鏡像で、これは2つが互いに補角だと言っているのと同じことです。0は2回——0度と180度——現れます。平角は点を水平軸の上に戻すからです。

公式

sin θ = 対辺 ÷ 斜辺　｜　sin θ = y ÷ r　｜　sin θ = −sin(−θ)

θ
角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周より大きくても構いません。円のどこに着地するかだけが意味をもちます
対辺 ÷ 斜辺
角θを含む直角三角形が与えてくれる2辺——θに向かい合う辺と、いちばん長い辺。サインは前者を後者で割ったもので、だから1より大きくならず、マイナス1より小さくもなりません
y ÷ r
同じ比を半径rの円の上で読んだもの。yは角が着地する点の高さです。単位円ではrが1なので、サインはその高さそのものになります
象限
角が座標平面のどの区画に着地するかを、水平の正の向きから反時計回りに数えたもの。0は角がちょうど軸の上にあり、どの象限にも属さないことを意味します

角度があって、それに対応する高さが欲しいとき——坂の垂直成分、斜面をその長さで測ったときの立ち上がり、力を上向きの成分に分ける計算——に使います。符号の確認にもいちばん速い道です。角が直角を超えていると分かっていても、サインは180度までは正のままで、このページは象限を印字するので、点が上に留まったまま左へ移ったことが見て取れます。参考表はコサインのページと同じ12角を同じ順で並べているので、横に並べて読めます。あちらはタンジェントが音を上げるところにダッシュが入りますが、このページにはダッシュが1つもありません。サインをコサインとタンジェントの隣で見たいときは、三角関数のページが3つまとめて印字します。サインの値のほうがあって角度を戻したいときは逆向きの計算で、マイナス1から1までのどの値にも角が2つ対応します。

計算例

  1. 角度30度、ページが読み込まれるときの値

    1. 正三角形を半分に切ると、30度の角を持つ直角三角形になる
    2. 30度の角に向かい合う辺は斜辺のちょうど半分
    3. 2分の1を1で割って0.5、点は軸より上で右側なので象限は1

    ページが読み込まれるときの角で、小数を使わずに正確だと分かる唯一の行でもあります。30度は、値が0でない特別な角のうちサインがいちばん小さい角でもあります。4分の1周は1、8分の1周は0.7071、ここは0.5です。象限の列が1なのは、点が水平軸より上で垂直軸より右にあるからです。

  2. 角度150度、別の象限で同じサイン

    1. 150度は、平角まであと30度のところ
    2. 点は垂直軸の左へ渡ったが、水平軸より上には留まっている
    3. 高さは30度のときと同じなのでサインは0.5、象限は2に変わった

    このページがなぜ象限を印字するのかが、いちばんはっきり出る場合です。数ひとつでは、この2つの角を区別できません。30度と150度はサイン0.5を共有しており、1周のうちでそうなるのはこの2角だけです。この組は偶然ではなく規則で、ある角のサインはその補角のサインに等しくなります。円を垂直軸で折り返すと見えるとおりです。

  3. 負の角、マイナス30度

    1. マイナス30度は、水平の正の向きから時計回りに30度測ったもの
    2. 点は軸より上ではなく下に来るので、高さは負になる
    3. 読みは−0.5、象限は4

    奇関数とはこういうことです。角の符号を変えると、答えも一緒に符号を変えます。コサインはそうはなりません。マイナス30度での読みは、プラス30度で返すのと同じ0.866です。この違いは覚えておく価値があります。2つを混ぜる公式のたびに顔を出しますし、下の表が最初の行について対称でない理由でもあるからです。

  4. 角度90度、象限の列が0になるところ

    1. 直角では、対辺と斜辺が同じ辺になる
    2. 辺をそれ自身で割れば1なので、サインは1——これが取り得る最大の値
    3. 点は区画の内側ではなく垂直軸の上にあるので、象限は0

    1という読みは値域の上端で、これを超える角はありません。象限の列の0は、軸の上に乗る4つの角すべてにこのページが使う約束です。0度、90度、180度、270度はどの象限にも入りません。象限は開いた区画で、軸はその境界だからです。下の表にある0は2つともこの規則から出ており、この行が「欠けた値ではなく正直な答え」である理由を見るのにいちばん適しています。

適用限界

はっきり書いておくべき限界が3つあります。読みは小数第4位までで、そのほとんどは無理数です。60度のサインは2分の√3なので、0.866は答えではなく切り詰めたもので、短く正確に書けるのは30度と90度とその鏡像の行だけです。2つ目、象限は平面の4分の1に付けたラベルであって測定値ではなく、軸の上に乗る4つの角はどの区画にも属しません。列が0と読むのはそのためです。その0は欠けた値でも第5の象限でもなく、角が境界の上にあるという宣言です。3つ目、このページは逆向きの計算をしません。サインが0.5だと分かっても、角は30度か150度か、あるいはどちらかに整数周を足したものになり、どれを取るかはこのページが決めない選択です。プラスマイナス100万度を超える角は、約分せずに拒否します。その大きさでは約分そのものが意味を失うからです。

よくある質問

タンジェントには無い値があるのに、サインが尽きないのはなぜか
割り算の向きが逆だからです。サインは対辺を斜辺で割ったもので、斜辺はいちばん長い辺なので、分数は常にマイナス1と1の間に収まり、分母が0になることもありません。タンジェントは対辺を隣辺で割ったもので、直角では隣辺が0になります。0で割ることに答えはないので、そこがタンジェントのページが拒否する角です。このページは90度を含めてどの角も受け付け、そこでの読みは1です。
象限の列は何を教えてくれるのか
角が座標平面のどの区画に着地するかを、水平の正の向きから反時計回りに数えたものです。サインの符号が点の上下を、コサインの符号が左右を表すので、2つの符号を合わせると区画が決まります。このページが象限を印字するのは、サインだけではそれが分からないからです。30度と150度はサイン0.5を共有しており、どちらなのかを言えるのは象限だけです。
軸の上の角で象限が0になるのはなぜか
0度、90度、180度、270度は区画の内側ではなく軸の上にあり、象限は軸を境界とする開いた区画だからです。これらを第1象限に入れるのは正しくない主張になります。点は水平軸より上にあるのではなく、水平軸の上にあるからです。0が正直な答えで、参考表の象限の列も同じ約束を使っています。
150度のサインが30度のサインと同じなのはなぜか
ある角のサインはその補角のサインに等しいからです。150度は平角まであと30度で、円を垂直軸で折り返すと一方がもう一方に重なるので、2つの点は同じ高さに来ます。サインを共有する角は1周のうちで常に1組で、水平軸ではなく垂直軸についての鏡像になります。だから値は変わらないのに象限は変わるのです。
サインが負になることはあるのか
あります。水平軸より下に来る角、つまり1周のうちの後半と、すべての負の角です。180度から360度のあいだで読みは負になり、いちばん小さい値は270度のマイナス1です。ここでサインはコサインと半周ずれます。コサインは点が垂直軸を渡ったところで負に変わり、サインは水平軸を渡ったところで負に変わります。
角度はラジアンでも入れられるのか
入れられます。入力欄の隣に単位の選択があり、どちらで入れても同じ角として読まれます。30度と0.5236ラジアンは同じサイン2分の1と、同じ象限を返します。確かめるべきなのは、比べている出典がどちらの単位を前提にしているかです。印刷された表の多くは度で書かれていますが、プログラミング言語の多くはそうではありません。

参考文献

関連する計算ツール

三角関数計算任意の角度のサイン・コサイン・タンジェントを計算。単位円計算角度から単位円上のsin・cos・tanの値を計算。コサイン計算角度のコサインを度またはラジアンで計算。直角三角形の計算2辺または1辺と1角から直角三角形を解く。アークサイン計算サインの値から角度を度またはラジアンで求める。