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CalcMax

アークサイン計算

範囲：-1〜1

計算結果

30.00 °

角度

角度（ラジアン）
0.5236 rad

逆正弦計算ツールは、サインの値からその値を持つ角度を求めます。−1から1のあいだの数を渡すと、その数をサインとして持つ角が、度とラジアンの両方で返ってきます。この計算ツールにできないことは、すべて1つの事実から出てきます。サインの値は1つの角に属していません。サインが0.5なのは30度のサインであり、150度のサインでもあり、390度のサインでもあり、それらから整数周を引いたすべての角のサインでもあります。逆正弦（アークサイン）はそのうちちょうど1つ——マイナス90度と90度のあいだにあるもの——を返し、その選択を主値と呼びます。ほかが存在しないという主張ではありません。この関数はarcsinと書かれ、ページは答えを2回報告します。1回は度で、1回はラジアンで。どちらも頻繁に聞かれるうえ、手で換算するのがこの分野の計算間違いのほとんどが起きるところだからです。答えを縛る限界が2つあります。値は−1から1のあいだでなければなりません。角のサインはその帯から出ないからです。1.5の逆正弦を求められても渡す角が無いので、ページは空白を印字する代わりに拒否します。そして答えは符号付きです。負の入力は円の下半分の等価な角ではなく負の角を返し、2倍角や半角のページと読みが違うのはここだけです。下の表は9つの値について、主値とそのラジアン、そして同じサインを共有する円の上の2つ目の角を並べています。

9つのサインの値と、主値・2つ目の解

サインθθ（度）もう1つのθ（度）θ（ラジアン）
-1-90270-1.5708
-0.866-60240-1.0471
-0.7071-45225-0.7854
-0.5-30210-0.5236
001800
0.5301500.5236
0.7071451350.7854
0.866601201.0471
190901.5708

2列目が関数の返すもので、3列目が切り捨てられるものです。この組が表の要点です。まず真ん中の行を読んでください。値が0なら0と180の組、0.5——ページが読み込まれるときの値——はおなじみの30と150の組に属します。表全体を通して2つの列は足すと180になり、それが鏡像の算術で、両端でも成り立ちます。両端は2つの意味で面白くなくなるところです。上端では組が90と90になります。サインの曲線が頂点で折り返すので、90度の鏡像はまた90度で、どちらの列も同じ数を印字します。下端では組がマイナス90と270で、同じ向きを2通りに書いたものです。2列目は関数が返す符号を保ち、3列目はすでに円の上に置かれています。2つが違う角に見えるのは、片方だけが負を許されているからです。4列目は2列目の換算です。両端はマイナス1.5708と1.5708、つまりπの半分ずつ左右に広がっているのに対し、角の列は半周ぶんを走っていることに注目してください。

公式

θ = arcsin x　｜　x ∈ [−1, 1]　｜　θ ∈ [−90°, 90°]　｜　[0°, 360°) におけるもう1つの解 = 180° − θ

x
出発点のサインの値。−1から1のあいだでなければなりません。角のサインはその帯から出られないので、その外の値に対応する角は1つもありません
θ
関数が返す角で、主値と呼ばれます。常にマイナス90度と90度のあいだにあり、度とラジアンの両方で報告されます
180° − θ
同じサインを持つ円の上の2つ目の角。垂直軸についての鏡像はサインを共有するので、相方は180から足すのではなく引いて見つかります

比があって角が欲しいときに使います。サインとして報告された測量の勾配、全体の割合として与えられた力の成分、比しか表にされていない表からの読み。三角形の問題が2辺を渡して、その片方に向かい合う角を尋ねてきたときにも手が伸びる関数です。角のサインは対辺を斜辺で割ったものだからです。隣の2ページが関係します。比からではなく角における3つの比が欲しいときは、三角関数のページが逆向きに走り、両方が定義されるところでは一致します。手元にあるのが隣辺を斜辺で割った比なら、それは逆余弦で、値域が右半分ではなく円の上半分を覆います。

計算例

  1. サインの値が0.5

    1. 値は−1から1の帯の内側なので、見つけるべき角がある
    2. 主値の範囲でサインが0.5になる角は30度なので、ページは30度を報告する
    3. ラジアンでは30かけるπわる180、つまり6分のπで、0.5236

    ページが読み込まれるときの値で、値域が何を犠牲にしているかを示すものです。150度もサインは0.5です——垂直軸についての30度の鏡像です——が、関数は数を1つしか返せず、範囲に入っているのは30度のほうです。表が失われた角を見えるようにしています。9行のうち6行目が0.5で、その行の3列目が150です。どちらの角も同じ問いへの答えで、関数が返してよいのはそのうち片方だけです。

  2. サインの値が0.25、特別な角ではない場合

    1. 4分の1はふつうの表にあるどの角のサインでもないので、答えは小数になる
    2. サインが0.25の角は14.48度、小数第2位まで
    3. 同じ角をラジアンで表すと0.2527で、サインの値そのもののおよそ4分の1

    ほとんどの値は特別な角ではなくここに着地し、この行が実際の照合の姿です。ラジアンの列をちらりと見る価値があります。小さな角ではラジアンの測度がサインの値そのものに非常に近く、だから0.2527が0.25の近くにあるのです。これが小さな角の近似で、それが表の中で促されるままに現れるという事実が、微積分がラジアンを使う理由のいちばん短い証明になっています。

  3. 負のサインの値、マイナス0.5

    1. マイナス0.5は帯の内側なので、ページは角を見つける
    2. 主値の範囲でサインがマイナス0.5になる角はマイナス30度
    3. ラジアンも同じ符号をたどり、マイナス0.5236

    このページが2倍角や半角のページと読みが違う、もう1つの場所です。あちらでは負の角は何よりも先に範囲へ戻され、円の上半分の位置として戻ってきました。ここでは答えは符号付きのまま残されます。主値の範囲がマイナス90から90の帯で、その半分が0より下にあるからです。水平から30度下と30度上は符号が反対の同じ角で、関数は入力の符号に合うほうを報告します。マイナス0.5の行は両方の読みを示しています。2列目がマイナス30、3列目が210です。

  4. サインの値が1、帯の端

    1. 1はどの角のサインよりも大きい最大値なので、答えは主値の範囲の上端
    2. 90度のサインは1で、それより大きいサインを持つ角は無い
    3. ラジアンでは直角はπの半分で、1.5708

    2つの解が1つに潰れる行です。帯の中のほかのどのサインの値も2つの違う角のものですが、1は90度のもので、円の上ではほかにどこにも属しません。サインの曲線がそこで折り返すので、90度の垂直軸についての鏡像はまた90度です。表がそれを明快に示しています。最後の行の2列目と3列目はどちらも90と読みます。重複した項目ではなく、曲線がその頂点で平らになっているのです。

適用限界

このページがしないことが3つあります。1つ目、−1から1の帯の外の値には答えがなく、近似ではなく拒否されます。1.5は何のサインでもありません。2つ目、答えは主値だけです。−1から1のあいだのどのサインの値も、1周のうち2つの角に属し、何周にもわたって無限個の角に属します。ページはマイナス90から90の帯にあるものを返します。欲しいのがもう片方の角なら、表の3列目にあり、同じ角に整数周を足し引きしたものなら、何周ぶんかはここでは何も教えてくれません。3つ目、ラジアンは小数第4位、度は小数第2位まで印字されるので、丸めた結果として特別な角に乗る値はその角として印字されます。0.866の逆正弦は60度と印字されますが、60度の正確なサインは0.866よりわずかに大きいのです。

よくある質問

0.5の逆正弦が150ではなく30度になるのはなぜか
どちらの角もサインが0.5で、関数は数を1つしか返せないからです。逆正弦の値域はマイナス90度から90度の帯と決まっており、その帯にあるのが30度です。150度は方程式へのまったく正しい答えで、このページの表は3列目にそれを示していますが、関数が返すものではありません。
1より大きい値を入れるとどうなるのか
ページは拒否します。サインが1より大きい角は存在しないからです。角のサインは角が何をしようと−1と1のあいだに留まるので、逆関数の値域はちょうどその帯で、その外に角は対応しません。割り算で1.5のような値が大きな数を小さな数に変えるのとは違います。ここでは問いそのものに答えがありません。
負の値で答えが負になるのはなぜか
主値の範囲がマイナス90度から90度までで、その半分が0より下にあるからです。サインは奇関数で——マイナス30のサインは30のサインのマイナス——なので、負の値で逆算すると負の角が出ます。円の下半分の等価な角、マイナス0.5なら330度は同じ向きです。ページは符号付きのほうを報告します。
手計算でサインの値から角を求めるには
サインの表で値を引くか、帯から見当をつけます。サイン0.5は30度、0.7071は45度、0.866は60度です。そのあいだの値には電卓が実用的な道です。手で行うときに覚えておくべきは2つ目の角です。開いた帯の中のどのサインの値も1周のうち2つの角に属し、表はふつう最初の1つしか載せていません。
ラジアンでの逆正弦とは何か
同じ角を別の測り方で表したものです。30度は6分のπで0.5236ラジアン。ページは両方を印字するので、換算を手ですることはありません。ラジアンはサインの導関数をコサインに等しくする単位で、微積分が絡むものは角をそのように書き、分度器で測るものは度で書きます。
逆正弦はサイン分の1と同じなのか
いいえ、どちらもサインという言葉で書かれるので混同しやすいだけです。逆正弦はサインを元に戻します。0.5を渡すと30度が返ります。サイン分の1は0.5を渡すと2が返り、それは30度の余割——角ではなく比です。記法が事態を悪くしていて、逆関数は指数とそっくりに見える上付きのマイナス1で書かれることがよくあります。

参考文献

関連する計算ツール

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