アークタンジェント計算

θ = arctan x　｜　x ∈ ℝ　｜　θ ∈ (−90°, 90°)　｜　[0°, 360°) におけるもう1つの解 = θ + 180°

x

タンジェントの値で、どんな実数でもかまいません。ここでは何も拒否されません。タンジェントは円の上のどこかで実数の値をすべて取るからです

θ

関数が返す角で、常にマイナス90度と90度のあいだに厳密にあります。両端は除かれます。どちらでもタンジェントが値を持たないからです

θ + 180°

同じタンジェントを持つ円の上の2つ目の角。タンジェントは半周ごとに繰り返すので、相方は軸についての鏡像ではなく、足し算で求まります

手元にある比が傾きであるときに使います。立ち上がりわる走り、道路や屋根の勾配、平面のベクトルの向き。既知の2辺が直角で交わる2辺であるときにも手が伸びる逆関数です。角のタンジェントは対辺わる隣辺で、大きすぎる入力を拒むことがないのは3つのうちこの関数だけです。3つの逆三角関数は手元の比で選び分け、傾きから角度を戻してくれるのはそのうちこれ1つです。隣の2ページが関係します。持っている比が対辺わる斜辺なら逆正弦で、値域は真ん中の帯ではなく円の右半分を覆います。角からタンジェントが欲しいときは、タンジェントのページが逆向きに走り、そのページが直角で比が吹き飛ぶ理由を説明しています。

1. タンジェントの値が1

   1. 値は何であれ受け付けられるので、見つけるべき角がある
   2. 値域の中でタンジェントが1になる角は45度なので、ページは45度を報告する
   3. ラジアンでは4分のπで、0.7854

   ページが読み込まれるときの値で、半周先の相方のいちばん小さい例です。タンジェントが1なのは225度のものでもあり、それは45度に半周を足した角です。表の3列目はこの行で225と読みます。相方が何ではないかに注目してください。逆正弦や逆余弦のページの2つ目の解のように、どちらの軸についての鏡像でもありません。タンジェントが半周後にそのまま繰り返すだけで、それはタンジェントの周期が360度ではなく180度であるという主張と同じことです。

2. 負のタンジェントの値、マイナス1

   1. 値は受け付けられ、負なので答えも負になる
   2. 値域の中でタンジェントがマイナス1になる角はマイナス45度
   3. ラジアンも符号をたどり、マイナス0.7854

   逆正弦のページと同じ、逆余弦とは違う符号付きの約束です。負の傾きは負の角になります。値域がマイナス90から90の帯で、その半分が0より下にあるからです。ここでの相方は135度で、マイナス45度に半周を足した角であり、同時に45度の垂直軸についての鏡像でもあります。ただしその一致はこの値に属するものでページに属するものではなく、値がちょうどマイナス1でなくなった瞬間に成り立たなくなります。

3. タンジェントの値が0.5、特別な角ではない場合

   1. 2分の1はふつうの表にあるどの角のタンジェントでもないので、答えは小数になる
   2. タンジェントが0.5の角は26.57度
   3. 同じ角をラジアンで表すと0.4636

   ほとんどの傾きは特別な角ではなくこのような行に着地します。答えの形がいちばんよく見える場所でもあります。値が大きくなるほど角は90度へ上がり、決して触れません。値が0へ小さくなるほど角は0へ下がります。小さな角のタンジェントはラジアンで表した角そのものに非常に近く、ここでは0.5に対して0.4636です。逆正弦のページにも現れた小さな角の近似と同じもので、こちらはあちらより緩やかです。

4. タンジェントの値が100万、値域の端

   1. 100万はここではふつうの入力で、上限が当てはまらない
   2. タンジェントが100万の角は89.99994度で、90度のほんのわずか下
   3. 小数第2位ではその差を出せないので、ページは90度と印字する

   このページが警告するために存在する行です。90度は値域に入っておらず、これからも入りません。そこにはタンジェントがまったく無いからです。しかしこれほど大きな入力は、印字される答えが繰り上がってそこに着くほど近くに来ます。印字された数は自分が何であるかに正直です。その精度では角は90度です。誤りになるのは、それを正確な値として読むこと、ましてやタンジェントが90度で100万になると読むことです。入力をさらに1億まで押し出すと、本当の角は印字を変えずに90度へ近づきます。

このページがしないことが3つあります。1つ目、値域の両端は返されません。90度とマイナス90度は除かれます。そこにタンジェントが無いので、答えは着かずに近づくだけです。差が小数第2位より下になるほど大きな入力では、ページはそれでも端を印字しますが、その読みは正確な値ではなく丸めた値です。2つ目、答えは主値だけです。タンジェントは半周ごとに繰り返すので、このページのどの値も1周のうち2つの角に属し、何周にもわたって無限個の角に属します。ページはマイナス90度と90度のあいだに厳密にあるものを返し、相方は表の3列目に半周離れてあります。3つ目、ラジアンは小数第4位、度は小数第2位まで印字されるので、丸めると特別な角に乗る値はその角として印字されます。1.7321の逆正接は60度と印字されますが、60度の正確なタンジェントは1.7321よりわずかに大きいのです。

ほかの2つは1より大きい値を拒むのに、ここではどんな値でもよいのはなぜか

タンジェントには上限が無いからです。逆正弦と逆余弦は3辺のうちいちばん長い辺を下に置いた2辺の比を取るので、入力は1を超えられません。タンジェントは対辺わる隣辺で、そのどちらもいちばん長い辺ではないので、三角形が急なほど比は大きくなれます。100万のタンジェントは、幅の100万倍の高さの壁の傾きです。

とても大きな値でちょうど90度になるのはなぜか

厳密にはなっていません。90度のわずか下の角が出ていて、それが繰り上がって90度になっているだけです。90度は値域に入っていません。そこにはタンジェントが無く、比は0で割ることになるからです。入力が大きくなるほど答えは90度へ上がり、決して着きません。だからおよそ1万を超えるあたりから、印字される答えは小数第2位までの90度になります。その精度では正しく、正確な値として扱うと間違いです。

2つ目の角が鏡像ではなく半周離れているのはなぜか

タンジェントが360度ごとではなく180度ごとに繰り返すからです。角に半周を足すと対辺と隣辺の符号がどちらも反転するので、その比は変わりません。逆正弦と逆余弦のページは2つ目の解を軸についての鏡像で見つけます。サインとコサインは鏡像どうしで共有されるからです。タンジェントはそうではないので、相方は引き算ではなく足し算から出てきます。

手計算でタンジェントの値から角を求めるには

タンジェント1は45度、1.7321は60度と覚えておいて、残りは表か電卓から出し、円の上でもう1つの角が欲しければ180度を足します。傾き——立ち上がりわる走り——に使う逆関数はこれで、既知の2辺が直角で交わる2辺であるときにもこれを使います。

負の値で答えが負になるのはなぜか

値域がマイナス90度から90度までで、その半分が0より下にあるからです。負のタンジェントは対辺と隣辺の符号が反対ということで、上りではなく下りの傾きであり、ページは入力の符号が示すとおりに報告します。半周先の相方は正の角です。マイナス45度と135度は、向きが反対の同じ傾きです。

逆正接はタンジェント分の1と同じなのか

いいえ。逆正接はタンジェントを元に戻します。1を渡すと45度が返ります。タンジェント分の1は1を渡すと1が返り、それは45度の余接——角ではなく比です。2つが一致するのは45度だけですが、まさにそういう偶然がこの混同をしぶとくしています。

• Inverse Tangent — このページが計算する関数、その開いた値域、大きな値での振る舞い — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — 3つの逆関数をまとめて、実数をすべて受け付けるのが1つだけなのはなぜか — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — 比の定義、半周という周期、値を持たない角 — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — 同じ3つの関数を平易な言葉で、値域の図を並べて説明した入門 — Math is Fun (United Kingdom)