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CalcMax

アークコサイン計算

範囲：-1〜1

計算結果

60.00 °

角度

角度（ラジアン）
1.0472 rad

アークコサイン計算ツールは、コサインの値からその値を持つ角度を、度とラジアンの両方で返します。値は−1から1のあいだでなければなりません。角のコサインはその帯から出ないからです。そして答えは常に0度から180度のあいだ、つまり半周の上半分にあります。どちらも逆正弦のページと同じ事実から出てきます。コサインの値は1つの角に属していません。コサインが0.5なのは60度のコサインであり、300度のコサインでもあり、それらに整数周を足し引きしたすべての角のコサインでもあります。逆余弦（アークコサイン）はそのうちちょうど1つ——円の上半分にあるもの——を返し、残りは同じ方程式への答えで、関数が返してよい範囲の外にあります。この関数はarccosと書かれ、cosの右上に小さなマイナス1を添えても書かれます。このページを隣と分ける点が3つあります。値域は右半分ではなく円の上半分なので、答えが負になることはありません。鈍角に属する値は90度より大きい角として返り、逆正弦なら同じ向きを0度より下の負の角として返していたところです。値域は減少列でもあり、下の表はサイトで唯一、答えの列が入力と逆向きに走ります。上端が180度、下端が0度です。そして2つ目の解は半周ではなく1周から引いて求まります。コサインが垂直軸ではなく水平軸についての鏡像どうしで共有されるからです。2つのページは1つの等式で結ばれます。同じ値の逆余弦と逆正弦は足すと90度になり、これがどちらを確かめるにもいちばん安い方法です。

9つのコサインの値と、主値・2つ目の解

コサインθθ（度）もう1つのθ（度）θ（ラジアン）
-11801803.1416
-0.8661502102.6179
-0.70711352252.3562
-0.51202402.0944
0902701.5708
0.5603001.0472
0.7071453150.7854
0.866303300.5236
1000

入力の列を上から下へ読み、そのあと答えの列を読んでください。入力がマイナス1から1へ上がるあいだに、答えは180から0へ下がります。サイトで唯一、こうして逆向きに走る表で、これはこのページではなくコサインの曲線の性質です。2つの角の列はどの行でも足すと1周になり、それが水平軸についての鏡像の算術です。両端では組が潰れます。上端は180と180、下端は0と0で、その2点はコサインの曲線が折り返す場所であり、折り返し点の鏡像はその点自身だからです。真ん中の行に注目してください。コサインが0のときはちょうど90度になり、2つの読みが入れ替わる地点です。逆正弦との等式がいちばん素っ気ない形で現れるのもここで、90足す0です。

公式

θ = arccos x　｜　x ∈ [−1, 1]　｜　θ ∈ [0°, 180°]　｜　[0°, 360°) におけるもう1つの解 = 360° − θ

x
出発点のコサインの値で、−1から1のあいだ。その帯の外ではどの角もその値を持たず、ページは近似せずに拒否します
θ
関数が返す角。逆正弦と違って負になることはありません。値域が右半分ではなく円の上半分を覆うからです
360° − θ
同じコサインを持つ円の上の2つ目の角。水平軸についての鏡像はコサインを共有するので、相方はここでは1周から引き、逆正弦のページでは半周から引いて求まります

手元にあるのが隣辺を斜辺で割った比で、そのあいだの角が欲しいときに使います。はしごが壁となす角、2つのベクトルの内積から割り出したなす角、コサインとして保存されていた方角から復元する向き。三角形の問題が3辺を渡して角を尋ねてきたときにも手が伸びる関数です。余弦定理が出すのはコサインで、それ以上は出ないからです。この「どの角を返すか」という規則は3つの逆三角関数に共通で、それぞれ値域だけが違います。隣の2ページが関係します。持っている比が対辺わる斜辺ならそれは逆正弦で、値域が上半分ではなく円の右半分を覆い、答えに符号が付きます。2つは第1象限で一致し、そこを離れると別れます。角からコサインが欲しいときは、コサインのページが逆向きに走ります。

計算例

  1. コサインの値が0.5

    1. 値は帯の内側なので、見つけるべき角がある
    2. 値域の中でコサインが0.5になる角は60度なので、ページは60度を報告する
    3. ラジアンでは60かけるπわる180、つまり3分のπで、1.0472

    ページが読み込まれるときの値で、2つの逆関数のページがどう噛み合うかを示す値です。0.5の逆正弦は30度、0.5の逆余弦は60度で、30と60を足すと90になります。これは偶然ではなく、2つのページを結ぶ等式で、帯の中のどの値でも成り立ちます。同じ値は2つ目の解の出どころも見せてくれます。300度のコサインも0.5で、それは60度の水平軸についての鏡像だから、表の3列目はこの行で300と読みます。

  2. 負のコサインの値、マイナス0.5

    1. マイナス0.5は帯の内側なので、ページは角を見つける
    2. 値域の中でコサインがマイナス0.5になる角は120度
    3. ラジアンでは3分の2πで、2.0944

    このページが負の答えを返さない理由を説明する行です。負のコサインは鈍角に属していて、値域はそれを0度より下に折るのではなく90度より上へ伸ばして受け止めます。120度であって、マイナス60度ではありません。逆正弦のページは同じ入力に向き合い、同じ向きを符号付きの角として答えます。マイナス0.5ならマイナス60度です。どちらも正しく、2つの関数が円の分け方を違えているだけで、等式はやはり成り立ちます。マイナス0.5の逆正弦はマイナス30度で、マイナス30に120を足すと90です。

  3. コサインの値が0.25、特別な角ではない場合

    1. 4分の1はふつうの表にあるどの角のコサインでもないので、答えは小数になる
    2. コサインが0.25の角は75.52度
    3. 同じ角をラジアンで表すと1.3181

    ほとんどの入力は特別な角ではなくここに着地します。この行は減少列がいちばんよく見える場所でもあります。4分の1は小さなコサインで、小さなコサインは値域の下端ではなく上端に近い角に属します。逆正弦のページと比べてください。あちらでは小さな値が小さな角になります。この反転は2つの定義の偶然ではなく、2つの曲線の形に見えているものと同じ反転で、表はそれを公式より分かりやすく見せてくれます。

  4. コサインの値がマイナス1、帯の端

    1. マイナス1はどの角のコサインよりも小さい最小値なので、答えは値域の上端
    2. 180度のコサインはマイナス1で、それより小さいコサインを持つ角は無い
    3. ラジアンでは半周がπで、3.1416

    2つ目の解が2つ目の角にならない、2つの行のうちの1つです。マイナス1のコサインは180度のもので、円の上ではほかにどこにも属しません。コサインの曲線が最低点で折り返すので、その点の水平軸についての鏡像はその点自身です。表がそれを示しています。最初の行の2列目と3列目はどちらも180と読みます。反対の端も同じ振る舞いで、コサインが1なのは0度だけです。その2つの行のあいだでは、帯の中のどの値にも本物の相方がいて、相方との和は1周になります。

適用限界

このページがしないことが3つあります。1つ目、−1から1の帯の外の値は拒否されます。そんなコサインを持つ角が無いからで、逆正弦のページと同じ境界、同じ理由です。2つ目、答えは主値だけです。−1から1のあいだのどのコサインも1周のうち2つの角に属し、何周にもわたって無限個の角に属します。ページは円の上半分にあるものを返します。もう1つは表の3列目にあり、さらに何周ぶん先にも同じ値があることは、ここでは何も教えてくれません。3つ目、ラジアンは小数第4位、度は小数第2位まで印字されるので、丸めた結果として特別な角に乗る値はその角として印字されます。0.866の逆余弦は30度と印字されますが、30度の正確なコサインは0.866よりわずかに小さいのです。

よくある質問

逆余弦が負の角を返さないのはなぜか
値域が0度から180度まで、円の上半分と決まっているからです。負のコサインは鈍角に属していて、この値域はそれを0度より下へ折らずに90度より上の角として報告します。マイナス0.5のコサインは120度にあり、マイナス60度ではありません。2つの角が同じ向きを指しているとしてもです。
逆正弦とは何が違うのか
値域で違い、したがって第1象限を離れたときの振る舞いで違います。逆正弦はマイナス90度から90度の角を返し、逆余弦は0度から180度の角を返します。帯の中のどの値でも2つの答えは足すと90度になり、これがどちらを確かめるにもいちばん速い方法です。0.5の逆余弦は60度、逆正弦は30度です。2つ目の解の求め方も違います。こちらは1周から引き、あちらは半周から引きます。
1より大きい値を入れるとどうなるのか
ページは拒否します。角のコサインは角が何をしようと−1と1のあいだに留まるので、逆関数の値域はちょうどその帯で、その外の値に対応する角は1つもありません。逆正弦と同じ境界で、出どころも同じです。三角形の2辺の比は、下に来る辺が3辺のうちいちばん長い以上、1を超えられません。
手計算でコサインの値から角を求めるには
覚えておく価値のある値を使います。コサイン0.5は60度、0.7071は45度、0.866は30度です。残りは表か電卓から読みます。そのあと2つ目の角を忘れないでください。1つ目の水平軸についての鏡像で、360から引いて求めます。三角形が3辺を渡してきたときに手が伸びるのはこのページです。余弦定理はコサインを渡して、そこで止まります。
表が逆向きに走るのはなぜか
角が大きくなるほどコサインが小さくなるからです。このページが報告する0度から180度の範囲で、コサインは1からマイナス1へ落ちます。だから入力が大きいほど角は小さくなります。表を上から下へ読むと、答えの列は180度から0度へ向かいます。逆正弦のページは逆の振る舞いで、その違いは2つの曲線の形に見えているものと同じです。
逆余弦はコサイン分の1と同じなのか
いいえ。逆余弦はコサインを元に戻します。0.5を渡すと60度が返ります。コサイン分の1は0.5を渡すと2が返り、それは60度の正割——角ではなく比です。記法が事態を悪くしていて、逆関数は指数とそっくりに見える上付きのマイナス1で書かれることがよくあります。

参考文献

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