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CalcMax

単位円計算

範囲：-1,000,000 °〜1,000,000 °

計算結果

0.5000

サイン

コサイン
0.8660
タンジェント
0.5774

単位円計算ツールは、角度を受け取って、半径1の円の上でそのサイン・コサイン・タンジェントを読み取ります。原点を中心にした半径1の円を方眼の上に描いたところを思い浮かべてください。与えられた角のぶんだけ、x軸の正の向きから反時計回りに回します。着地した点には座標があり、その座標が答えです。x座標がコサイン、y座標がサインで、これは偶然でも後から乗せた約束でもありません。3つの三角関数は円の上の点の座標そのものだからです。タンジェントはその2つの比、yをxで割ったもので、これだけ浮いているのはそのためです。座標ではなく傾きで、傾きは直線が縦になるところで行儀が悪くなります。それが起きるのは直角のときと4分の3周のときで、点が円の上端か下端に移り、x座標が0になります。0で割ることに答えはなく、90度のタンジェントは「とても大きな数」ではなく「数がない」ので、このページは莫大な数を印字する代わりにそう告げます。ページが拒否するのはここだけですが、そのときサインとコサインはまったく行儀よく、90度では点が円の頂上にあるのでサインは1、コサインは0です。もう1つ知っておく価値があるのは、角が1周に収まらないことです。2周しても、負の向きに回っても、同じように円のどこかに着地し、大事なのは点だけなので、390度は30度とまったく同じ3つの値を返します。下の参考表は特別な角を、小数ではなく正確な分数で書いたものです。学校で覚えさせられるのはその形だからです。

特別な角におけるサイン・コサイン・タンジェントの正確な値

θ（度）サインθコサインθタンジェントθ
0010
301/2√3/2√3/3
45√2/2√2/21
60√3/21/2√3
9010—
120√3/2-1/2-√3
1800-10
270-10—

角が8つ、列は4つ。値が小数ではなく正確な分数で書いてあるのは、この表が実際に使われるのがその形だからです。覚えるべきなのは2分の1と2分の√3で、0.5と0.866は電卓が印字するものです。最初の4行はどの授業でも叩き込まれる第1象限の角——0度、30度、45度、60度——で、サインが0から2分の√3まで上がるあいだにコサインが1から2分の1まで下がります。5行目は最初の極、90度で、タンジェントの欄は数ではなくダッシュです。値がないことをページがそう言っているのであって、計算機が同じ角を答えずに拒否する理由でもあります。6行目は第2象限の角で、ここで模様が反転します。サインは正のままですがコサインが負になり、この象限の符号の意味がそこに集約されています。7行目と8行目は半回転と4分の3周で、後者が2つ目の極です。サインの列を上から読み、次にコサインの列を読むのが、この2つが円を回る点の座標だと分かる最短の道です。

公式

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ
x軸の正の向きから反時計回りに測った角。負でもよく、1周より大きくても構いません。円のどこに着地するかだけが意味をもちます
cos θ
角が着地する点のx座標。0度では点は(1, 0)にあるのでコサインは1、90度では0です
sin θ
同じ点のy座標。0度では0、90度では点が円の頂上に来るのでサインは1になります
tan θ
サインをコサインで割ったもので、原点から点へ引いた直線の傾きです。コサインが0になるところでは値をもちません。直線が縦になるからです
半径1
座標をそのまま読み取れる理由。点は原点から1だけ離れているので、三平方の定理により2つの座標は常に2乗して足すと1になります。これがcos²θ + sin²θ = 1という等式です
度またはラジアン
ドロップダウンは、打ち込んだ値を計算の前に度へ直すので、どちらで入れても答えは同じです。4分の1周は90度、ラジアンではπの半分です
小数第4位
値を書く桁幅。正確に割り切れる値はわずかしかありません。30度のサインは2分の1、45度のタンジェントはちょうど1、軸の上に乗る角はどれも整数で、それ以外は√2分の2のような、最後に丸めるしかない値です

単位円は、三角関数の授業が必ず暗記させるあの表です。3つの三角関数はこの円の上の点の座標にほかならないからで、このページはそこに好きな角を打ち込める欄を付けたものです。すぐに思い当たる使い道は、角があってその成分が欲しい場面です。力や速度を水平と垂直に分解するのは、サインとコサインの組そのものです。電子回路の位相や力率を出す、角度をつけて投げ出したものの水平方向の到達距離を求める、といった場面も同じです。測量と航海では、方位を東への距離と北への距離に変えるたびにこれを使います。ちょうど2つの座標です。グラフィックスとゲームは回るものすべてに使います。スプライトの回転、カメラの周回、車輪の上の一点。回転する点の位置はコサインとサインそのもので、これを場合分けの算術ではなく1つの関数で書けるようにするのが、回転のコードを短くする秘訣です。そして純粋に学習のための使い方——このページが本当に作られたのはこれです。特別な角は暗記する価値があり、90度を打ち込んでタンジェントが拒否されるのを見るのは、そこに値がないと教わるよりずっとよく覚えられます。下の参考表は同じ角を、小数ではなく正確な分数で書いたもので、実際に使われるのはそちらの形だからです。

計算例

  1. 角度30度

    1. x軸の正の向きから反時計回りに30度回す
    2. 着地する点は(√3/2, 1/2)
    3. コサインはx座標：0.8660
    4. サインはy座標：0.5
    5. タンジェントはその比：0.5 ÷ 0.8660 = 0.5774

    ページが読み込まれるときの角で、特別な角がふつう教えられる順の1行目です。正確な値は2分の√3、2分の1、√3分の3で、ここに出ているのは小数、下の参考表には正確な分数が載っています。

  2. 角度45度

    1. 反時計回りに45度回すと、点は対角線上に来る
    2. 点が両方の軸から同じ45度にあるのでサインとコサインは等しい：√2/2 = 0.7071
    3. タンジェントはその比で、数を自分自身で割れば1

    0度と90度の間でサインとコサインが等しくなる唯一の角で、点が直線y = xの上に乗るために起きます。タンジェントがちょうど1になるのがそれを代数で裏づけており、45度の勾配が1対1勾配と呼ばれる理由でもあります。

  3. 角度180度

    1. 半回転させると、点はx軸の負の側に着地する
    2. コサインはx座標：-1
    3. サインはy座標：0
    4. タンジェントは0を-1で割ったもの：0

    半回転で、符号が人を引っかけるところです。コサインは1ではなく-1になります。点が円の反対側へ行ったからです。サインはここでちょうど0に戻りますが、ページの内部の計算は途中でごく小さな数を作っています。値を丸めるのは最後で、それが正直な扱い方です。

  4. 角度390度

    1. 1周すると出発点に戻るので、390度は30度と同じ
    2. 点は(√3/2, 1/2)で、30度のときとまったく同じ

    30度の例とまったく同じ3つの値です。もう1周して同じ点に着くからです。角が0度から1周の間に収まらない場合にもこのページが使えるのは、このおかげで、巻き戻しは手で先にやるのではなくページのほうが引き受けます。

適用限界

このページは角を1つ受け取り、そのサイン・コサイン・タンジェントを返します。タンジェントは90度と270度、およびそれらと整数周だけ違う角で値をもちません。点がx座標の0のところへ移り、比に割るものがなくなるからです。そのときページは莫大な数を印字する代わりに拒否して説明します。サインとコサインはその角でもまったく問題なく定義され——1と0です——が、このページは3つをまとめて返すので、2つだけ返すのではなく3つとも出しません。下の参考表にはその2つの正確な値が載っています。それらの値にごく近い角は受け付けられ、非常に大きなタンジェントを返します。数学的には正しく、ほぼ垂直な傾きは本当に急です。ですから惜しい外れは当たりとは違いますし、ページも同じ扱いはしません。3つの値はドロップダウンに関係なく単位のないただの数です。ドロップダウンが選ぶのは角の入力のしかたで、出力ではありません。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではなく、ほとんどの角は正確な小数の値をもちません。参考表がよく使う角を正確な分数で載せているのはそのためです。ここでは逆の問題は扱いません。このページは角を座標に変えますが、座標を角に戻すことはしませんし、弧の長さも扇形の面積も、角が円をどれだけ回ったかという量も出しません。

よくある質問

90度でタンジェントに答えがないのはなぜか
タンジェントはサインをコサインで割ったもので、90度ではコサインが0だからです。点は円の頂上へ移り、x座標は0で、割るものがありません。正直な言い方をすれば、そこにタンジェントの値はない、ということになります。莫大な値なのではありません。サインとコサインはその角でもまったく問題なく定義されています。点は円の頂上にあり、サインは1、コサインは0です。このページは3つをまとめて返すので、2つだけ返すのではなくどれも出しません。角を拒否して理由を告げます。下の参考表にはその行の正確な値が載っています。
360度より大きい角を入れられるのか
入れられますし、負の角も入れられます。大事なのは角が円のどこに着地するかだけなので、390度は30度とまったく同じ3つの値を返し、マイナス30度は330度と同じです。巻き戻しは手で先にやるのではなくページが引き受けます。方位や回転は1周を超えるのが普通だからです。
学校の表は分数なのに値が小数なのはなぜか
結果パネルが計算機で、表が図だからです。特別な角の正確な値は√2分の2、2分の√3とその親戚で、それらは正確な小数では書けません。0.7071はその1つを丸めたものです。下の参考表は同じ角を正確な分数で載せており、暗記する価値があるのはそちらの形です。
タンジェントは実際には何に使うのか
傾きです。角のタンジェントは、原点から点へ引いた直線の立ち上がりを水平の走りで割ったもので、勾配や屋根の勾配、縦と横の比で測るあらゆるものに出てきます。サインとコサインは座標で、タンジェントはその2つの比です。この違いが、タンジェントだけが定義域に穴をもつ理由です。
単位は関係あるのか
ドロップダウンが選ぶのは角の入れ方——度、ラジアン、グラジアン——だけで、それ以外は何も変えません。3つの値は単位のないただの数です。半径1の円の上の座標に単位はありませんし、その2つの比にも単位はありません。ページは角を内部で度に直すので、0.5236ラジアンと30度はまったく同じ答えを返します。
直角三角形の計算と同じものか
その特別な場合です。どんな直角三角形でも、サインは斜辺分の対辺、コサインは斜辺分の隣辺です。単位円では斜辺が1なので、比はそのまま2つの脚になります。どの直角三角形も単位円の図を拡大縮小した写しで、このページの数がどんな大きさの三角形にも効くのはそのためです。

参考文献

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