基準角計算

a = ((θ mod 360) + 360) mod 360、a > 180° → a = 360° − a、基準角 = min(a, 180° − a)

θ

入力する角度。度単位です。実数なら何でもよく、正でも負でも、1回転より小さくても何回転ぶん大きくても、整数でも小数でもかまいません。負の角は水平軸から時計回りに測った角で、測量や、逆回りに回るものごとの慣習です

a

半回転ぶんに畳まれた角度。1行目が入力を0以上360未満の範囲に収め、2行目が180を超えたぶんを折り返します。両方を済ませると角度は0から180の間にあり、基準角が必要とする情報はそれで全部です。円の2つの半円は互いの鏡像だからです

基準角

動径が水平軸となす鋭角。度単位で、常に0から90の間です。回転ではなく距離なので、180度の基準角は0になります。動径が、測る基準にしている軸の上にそのまま乗っているからです。表示は小数第2位までで、同じ入力を持つ余角・共終角のページと桁幅をそろえてあります。4分の1度まで測った角が、同じ精度の答えで返ります

mod 360

1回転で割った余り。整数回転ぶんを捨てるのがこれです。360を足してからもう一度余りを取る形になっているのは、多くのプログラミング言語の剰余演算子が負の入力に対して負の結果を返すためです。そうしないとマイナス45度は315度ではなくマイナス45度のまま出てきて、負の角がすべて間違った枝に折り込まれます

min(a, 180° − a)

最も近い水平軸までの距離。半径1の円の上では、その角と180度向こうの点が、動径の当たる2つの場所です。だから基準角は近いほうになります。4つの象限の規則ではなく1つの式で書いてあるので、軸の上の角も特別扱いなしで片づきます。式がこう書かれている理由はそれだけです

象限

角度を一周ぶんに収めて折り返したあと、動径がどの4分の1に落ち着くか。第1象限は0度から90度、第2象限は90度から180度、第3象限は180度から270度、第4象限は270度から360度です。ちょうど軸の上に乗る4つの角はどの象限にも属さず、このページは隣に押し込まず、そう印字します

三角関数の値を手で求めるとき、つまり基準角が本来役に立つ場面と、それに加えて象限が要るときに使ってください。この2つはいつも一緒です。基準角がサイン・コサイン・タンジェントの大きさを与え、象限が符号を与えます。片方しか出さないページは、もう片方を暗記で埋めさせることになります。これがいちばん効くのは教科書で出会う角です。120度、135度、150度、210度、225度、240度、300度、315度、330度。どれも基準角は同じ短い一覧から取られます。30度、45度、60度です。そこがこの考え方の要点で、角は無限にありますが覚える価値のある基準角はごくわずかしかありません。だから9行の表が3行の表に畳まれ、残りは符号の事務作業になります。三角関数をまったく使わない向きでも、角の位置をつかむ道具として役に立ちます。測量で315度という方位を渡されたとき、基準角が45度だと分かれば最も近い軸から45度ずれていると分かり、象限がどの軸かを教えてくれます。風向、画面の座標、決まった向きから測った角なら何でも同じ読み方です。使う前に試しておく価値のある入力が2つあります。180を入れて答えが0になるのを見てください。動径が軸の上にあり、そこまでの距離はゼロです。マイナス45を入れて答えが45になるのを見てください。負の角は拒否されずに畳み込まれ、時計回りの角の基準角は反時計回りの鏡像と同じになります。共終角のページと見比べるなら、2つは同じ入力を受け取って別の問いに答えます。あちらは同じ動径を持つ別の角を返し、こちらはその動径が最も近い軸からどれだけ離れているかを返します。三角関数の問題が普通必要とするのはこの2つ組です。動径を、位置と軸からの距離の両方で特定したものが欲しいからです。

1. 210度の角

   1. 一周ぶんに収める：210 mod 360 = 210、すでに1回転の中
   2. 折り返す：210は180より大きいので、360 − 210 = 150
   3. 近いほうの軸までの距離：min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30

   このページが開くときの角度で、教科書通りの例です。210度は第3象限にあり、サインもコサインも負で、基準角は30度です。だから210度のサインは30度のサインにマイナスを付けたもの、つまりマイナス2分の1、コサインは30度のコサインにマイナスを付けたもの、つまりマイナス2分の√3です。そのために要る2つの事実は、このページと下の表にそろっています。大きさは基準角から、符号は象限からです。

2. 135度の角

   1. 一周ぶんに収める：135 mod 360 = 135
   2. 折り返す：135は180より大きくないので、135のまま
   3. 近いほうの軸までの距離：min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45

   第2象限で、30度・60度と並んで暗記する価値のある基準角です。135度は垂直軸から45度ぶん先なので基準角は45度、サインとコサインは大きさが等しく——どちらも2分の√2——サインが正、コサインが負になります。2つの手順の形に注目してください。折り返しが角を円の後半へ移し、距離がそこから軸まで運びます。第2・第3・第4象限のどんな角にも、この2つがどちらも要ります。

3. 100.25度の角

   1. 一周ぶんに収める：100.25 mod 360 = 100.25
   2. 折り返す：180より大きくないので、100.25のまま
   3. 近いほうの軸までの距離：180 − 100.25 = 79.75

   小数第2位を名乗っている根拠になる行です。100度を4分の1度だけ超えた角は、80度に4分の1度だけ足りない基準角を返します。答えを整数度に丸めるページなら80と印字し、4分の1度ぶん間違えることになります。このあたりの角度は測量や天文学では普通に出てきて、整数度ではなく分単位で測られます。79.75は、このページを通っても壊れずに出てこなければならない種類の答えです。

4. 180度の角

   1. 一周ぶんに収める：180 mod 360 = 180
   2. 折り返す：360 − 180 = 180
   3. 近いほうの軸までの距離：min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0

   人を引っかける例で、最後の手順が「回転した角度」ではなく「距離」として書かれている理由です。基準角は動径が水平軸からどれだけ離れているかを測ります。180度では動径がその軸に沿って寝ているので、距離はゼロです。答えは180ではなく0で、この角はどの象限にも属しません。表はこれを第2象限や第3象限に押し込まず、軸の上だと印字します。どちらの象限に入れても間違いです。

5. マイナス45度の角

   1. 一周ぶんに収める：−45は−45 + 360 = 315になる
   2. 折り返す：315は180より大きいので、360 − 315 = 45
   3. 近いほうの軸までの距離：min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45

   水平軸から時計回りに測った負の角で、畳み込みの手順が働いているところを見せる行です。マイナス45は315度と同じ動径を持ち、第4象限にあり、基準角は45——正の45と同じです。大きさの等しい時計回りと反時計回りの角は基準角を共有し、違うのは象限だけです。参考表の2列の役割分担が、ちょうどそれです。

このページは度で動き、出す基準角も度です。ラジアンは入力欄が受け付けず、出力にも出てきません。ラジアンで与えられた角は先に換算してください。180を掛けてπで割ります。答えは常に0度から90度まで（両端を含む）なので、まったく違う2つの角が1つの答えを共有します。30度、150度、210度、330度はどれも基準角が30度で、基準角だけではどれから始めたのか分かりません。それには象限が要りますが、このページはそれを表には出しても、結果パネルには出しません。象限に良いも悪いもなく、このサイトのバッジは出るときに意味を持つからです。ちょうど軸の上に乗る4つの角——0度、90度、180度、270度と、その負および整数倍——は象限を持たず、このページは勝手に近いほうへ割り当てず、そう書きます。それらを象限に含めたい読者は、自分の教科書がどちらの流儀を取るかを決めることになります。角度の入力欄は正負どちらにでも100万度まで受け付けますが、実際の用途からはるかに遠く、しかも整数回転ぶんは捨てられるので、回転数を数える道具ではありません。出力の小数第2位は精度の主張ではなく表示幅で、4分の1度や100分の1度まで測った角にはちょうどよく、整数度までしか測っていない角には過剰です。三角関数の値を求めるページでもありません。基準角と、表の中の象限という2つの材料は出しますが、サイン・コサイン・タンジェントの値そのものは別の手順で、このページはそこまで行いません。3次元の角、球面座標、平面上の固定した軸まわりではない回転についても何も言えません。どれも関係した考え方を使いますが、この考え方ではありません。

第3象限の角の基準角はどう求めるか

180を引きます。第3象限の210度なら基準角は30度、240度なら60度、225度なら45度です。円全体の一般的な規則はこうなります。180度から270度の角は180を引き、270度から360度の角は360からその角を引き、第2象限では180からその角を引き、第1象限ではそのまま読みます。このページはその4つの規則を1つの式で適用します。だから4つの規則が間違える軸の上の角も正しく扱えるのです。

180度の基準角が180でないのはなぜか

基準角が回転ではなく距離だからです。動径が水平軸からどれだけ離れているかを測る量で、180度では動径がその軸に沿って寝ています。距離はゼロです。同じ理屈で90度と270度はどちらも90になります。この2つの動径は垂直軸の上に立ち、水平軸から90度離れているからです。これら4つの角はすべて軸の上にあってどの象限にも属さず、このページの表はそれを最も近い象限に押し込まずに印字します。

基準角が負になることはあるか

ありません。何を入れても答えは常に0度から90度まで（両端を含む）です。負の角が拒否されるわけではありません。マイナス45度は水平軸から時計回りに測った角で、315度と同じ動径を持ち、基準角は45度です。大きさの等しい時計回りと反時計回りの角は基準角を共有し、違うのは最後に落ち着く象限だけです。

覚えておく価値のある基準角はどれか

30度、45度、60度の3つです。教科書が訊いてくる角はどれもこのどれかに帰着します。120度、135度、150度、210度、225度、240度、300度、315度、330度はすべて3つのうちの1つになります。残りの作業は象限から符号を選ぶことだけです。この還元こそが基準角の目的で、角は無限にありますが三角関数の値を知っておく必要があるのはほんの一握りです。

基準角と共終角は何が違うのか

共終角は同じ場所に行き着く別の角です。400度と40度は同じ動径を持ち、そのためのページが共終角計算です。基準角は、その動径が最も近い水平軸からどれだけ離れているかで、常に0度から90度の間です。2つは同じ入力を受け取って別の問いに答えます。三角関数の問題は普通どちらも欲しがります。動径の位置と、軸からの距離の両方です。

マイナス45度は45度と同じ基準角になるのか

はい、どちらも45度です。2つの角は水平軸をはさんだ鏡像なので、軸からの距離が同じで、違うのは軸のどちら側にあるかだけです。45度は第1象限、マイナス45度すなわち315度は第4象限にあります。だから基準角の答えだけでは、最初に入れた角を特定できないのです。

• Reference angle — 角の動径と水平軸がなす鋭角。このページが計算する量で、象限ごとの値と軸の上の場合も載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric functions — 基準角と、象限が与える符号から値が復元されるサイン・コサイン・タンジェント。基準角が役に立つ理由がそこにある — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit circle — このページの算術が実際に扱っている絵。動径が半径1の円と出会い、基準角はその出会った点から最も近い軸までの距離になる — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。鋭角の三角関数と任意角の三角関数は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部