中心角計算
計算結果
中心角
- 中心角（ラジアン）
- 1.0000 rad
中心角計算は、円の半径と、その上の弧の長さから、中心にある角がどれだけ大きいか——その弧に対する中心角を——度とラジアンの両方で返します。2つは同じ角を2通りの書き方で表したもので、このページで面白いのはどちらが先に出るかです。弧度法で測った中心角は、弧の長さを半径で割ったものと定義されます。これは誰かが導いた式ではなく、ラジアンという単位がそういうものだからです。だからラジアンの値はπがどこにも入らない割り算1回で、度の値はその数を180/π倍したものになります。このページが読み込まれるときの組がそれを示します。半径5で弧の長さも5なら、弧が半径とちょうど同じ長さなので、中心角はちょうど1ラジアン、つまり57.2958度です。ほかの計算もすべて、数を入れ替えた同じ割り算です。弧の長さと半径が分かっていれば、中心角の求め方はいつもこの割り算1回だと考えてかまいません。このページと弧の長さのページが別々にあるのも同じ理由です。2つは同じ等式を反対向きに読んだもので、片方は角から弧を出し、もう片方は弧から角を出します。どちらも要るのは、問いが反対向きに来るからです。曲がった壁を測っている人には長さがあり、それが何度回っているかを知りたい。扇形を描いている人には角があり、縁がどれだけの長さになるかを知りたい。持ち越しておきたい警告が1つ、簡潔な式L = rθについてです。この形のθは常にラジアンです。その形はそうでないと成り立たないからです。ここに度を入れると答えはおよそ57倍になり、しかも間違って見えず、ただ長く見えるだけです。このページは両方の値を出すので、ラジアンから度への換算は済んでいます。それでも、よそで簡潔な形に出会ったときにはこの警告が効いてきます。
弧の長さとその円の半径から中心角を求める
| 半径（cm） | 弧の長さ（cm） | 中心角（°） | 中心角（ラジアン） |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 57.2958 | 1 |
| 10 | 5 | 28.6479 | 0.5 |
| 5 | 10 | 114.5916 | 2 |
| 4 | 1 | 14.3239 | 0.25 |
| 3 | 3 | 57.2958 | 1 |
| 6 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 31.4159 | 359.9997 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 360.0008 | 6.2832 |
8つの弧と4つの列で、入ってくる測定が2つ、出ていく同じ角が2つです。1行目はこのページが読み込まれるときの組であり、ラジアンの定義が1行で出ています。半径と同じ長さの弧はちょうど1、つまり57.2958度になります。2行目と3行目は同じ割り算を上下に振ったもので、半径の半分の弧は0.5ラジアン、半径の2倍の弧は2になります。並べて読むと、ラジアンの列がただの割り算として振る舞っているのが分かります。4行目は4分の1ラジアンで、半径4に弧の長さ1を載せると0.25、つまり14.3239度になるので、度の列はラジアンの値を57.2958倍したものであり続けます。最後の2行は同じことを反対向きにやったもので、この表の要点です。半径5に自分自身の印字された円周を入れると359.9997度、半径2に入れると360.0008度になります。片方の丸めは下へ、もう片方は上へ行ったからです。だから360をわずかに超える値は正しく、そのことを言うために両方の行がここにあります。
公式
θ（ラジアン） = L ÷ r, θ（度） = θ（ラジアン） × 180 ÷ π
- 弧の長さ
- 曲線に沿った距離で、単位はセンチメートルです。円の一部の長さであって、両端の間の直線距離ではありません
- 半径
- 中心から弧まで出た距離で、単位はセンチメートルです。弧の長さをこれで割るので、0より大きい必要があります
- θ
- 中心角をラジアンで表したもので、弧の長さを半径で割った値です。それがあのラジアンという単位です。1回転はその2π個ぶん、およそ6.2832です
- 180 ÷ π
- 1ラジアンが何度にあたるかで、およそ57.2958です。ラジアンの値にこれを掛けると度の値になり、計算にπが入るのはここだけです
- 度
- 同じ角を、多くの人が角を読む形で、1回転を360とした数で表したものです。分度器が示すのはこちらなので、先に表示されます
- L = rθ
- この関係の簡潔な形で、θはラジアンです。並べ替えるとこのページが行っている割り算になり、ラジアンのところに度を入れてそのまま使うと答えはおよそ57倍になります
- 小数第4位
- 両方の値の表示の桁幅です。1回転は6.2832ラジアン、つまり360度で、そのあたりでは入力の4桁の丸めが答えに透けて見え始めます
曲線に沿って測ったものがあり、それを角に変えたいときに使います。いちばん分かりやすいのは機械加工の現場です。曲がった溝、曲げた管、巻いた輪の一部は長さを持った状態で来て、図面は角を指定しています。この割り算が片方からもう片方へ渡す橋です。製作と建築も同じ形の問題です。長さに沿って測った曲がった手すり、曲げた縁石、アーチ状の開口、れんがの弧はどれも、墨を出す前に中心角が要ります。航法と天文学では向きが逆で、地上や空で測った弧を、緯度や経度や方位の度に変換します。教室での使い方も、単位を理解するいちばん明快な道として本当に役立ちます。円を描き、半径と同じ長さに切ったひもを円周に沿って置いてください。中心でそれが覆う角が1ラジアンで、6個と少しで一周します。一度やっておけば、ラジアンは覚えるしかない任意の単位ではなくなります。それからソフトウェアや工学で繰り返し出てくる実用的な使い方があります。半径と長さが与えられたとき、円のどれだけの割合が使われたかを出すことです。その割合はラジアンの値を2πで割ったもので、このページの2つの値はそのためにあります。
計算例
半径5、弧の長さ5
- 弧を半径で割る：5 ÷ 5 = 1ラジアン
- 度に換算する：1 × 180 ÷ π = 57.2958
このページが読み込まれるときの組で、ラジアンの定義が1行で出ています。半径と同じ長さの弧は1ラジアンの角を張ります。度のほうの57.2958は、ラジアンについて1つだけ覚えるならこれ、という数です。ラジアンの値がぴったり出ていることに注意してください。割り算が割り切れるように選んだ組なので、丸めは要りませんでした。
半径10、弧の長さ5
- 弧を半径で割る：5 ÷ 10 = 0.5ラジアン
- 度に換算する：0.5 × 180 ÷ π = 28.6479
同じ弧を大きな円の上に置いたので、角は小さくなります。ここでは弧の長さ5は半径の半分で、全部ではありません。0.5ラジアン、28.6479度です。角が弧だけでなく比で決まることを示す行で、弧の長さのページが反対側から述べているのと同じ事実です。
半径4、円周の4分の1
- 円周全体：2 × π × 4 = 25.1327
- その4分の1：25.1327 ÷ 4 = 6.2832 = π
- 弧を半径で割る：12.5664 ÷ 4 = 3.1416ラジアン
- 度に換算する：3.1416 × 180 ÷ π = 180.0004
半回転で、入力の4桁がどこへ行くかを示す行です。角は本当は180度ですが、弧は円周の4分の1を丸めた12.5664として入力されており、丸めた数を4で割るとその丸めが0.0004度として答えに乗ります。ラジアンの値は4桁までのπで、これも半回転だと分かるもう1つの見方です。
半径2、印字された円周
- 円周全体：2 × π × 2 = 12.5664、小数第4位まで印字した値
- 弧を半径で割る：12.5664 ÷ 2 = 6.2832ラジアン
- 度に換算する：6.2832 × 180 ÷ π = 360.0008
1回転で、360度をわずかに超える値です。これは誤りではなく正しいものです。半径2の円の円周は12.5663706で、このページはそれを12.5664として切り上げて印字します。その丸めた値を入れ直すと、角は1回転を小数第4位ぶん超えます。表に出ているのは入力側の丸めであって、計算の誤りではありません。
半径6、弧の長さ0
- 弧を半径で割る：0 ÷ 6 = 0ラジアン
- 度に換算する：0 × 180 ÷ π = 0
弧がまったくないので角もありません。2本の半径が互いに重なり、弧は点に縮んでいます。ここでは0は正しい入力で、答えは本物の0です。0になってはいけないのは半径のほうで、弧の長さをそれで割るので、半径0には答えがまったくありません。
適用限界
このページが返すのは角だけで、それ以外は何も出しません。弧も半径も扇形の面積も出しません。角と半径が与えられて弧の長さを出すのは別のページです。半径は0より大きい必要があります。弧の長さをそれで割るので、半径0には答えがなく、このページは空欄を出すのではなくそう報告します。弧の長さは0でもよく、そのとき角は0になります。弧はその円の円周全体より長くてはなりません。半径5の円の円周は31.4159なので、弧の長さ32は拒否されます。この上限は、完全精度の値ではなく、このページが印字する小数第4位までの円周と比べて判定されます。そのため見える結果が1つあります。360度をわずかに超える値が出ることがあり、それが正しいのです。自分の円の円周が、印字するときに切り上げられる桁で終わる場合、その印字された値を入れ直すと360.0008度のような角になります。丸めは入力した数にもう入っていたからです。このページが自分の上限を超えたのではありません。2つの入力は同じ単位で取り、換算はしません。2つの出力は、どのドロップダウンが選ばれていても常に度とラジアンです。
よくある質問
- 値が2つ出るのはなぜか
- 角には標準的な単位が2つあり、このページが換算を済ませてくれるからです。ラジアンの値は弧の長さを半径で割ったもので、これがラジアンの定義です。度の値はその数を180/π倍したものです。どちらも同じ角で、両方あるおかげで手で換算したり、式がどちらを求めているかを調べたりせずに済みます。
- 答えが360.0008度になった。間違いか
- いいえ、正しい値です。入力した弧がすでに丸められた数だったときに起こります。半径2の円の円周は12.5663706で、このページはそれを12.5664として印字します。切り上げです。その印字された値を入れ直すと、角は1回転を小数第4位ぶん超えます。見えているのは入力側の丸めであって、割り算の誤りではありません。
- 半径は0でもよいか
- いいえ。角は弧の長さを半径で割ったものなので、半径0には答えがまったくありません。角を測る円が存在しないからです。このページは空欄や無限大を出すのではなく、そう告げます。反対に弧の長さは0でもよく、そのとき角は0になり、これは本物の答えです。
- 弧は最大どこまで取れるか
- その円の円周までです。弧は円の一部なので、全体より長くはなれず、このページはそれを超える入力を拒否します。半径5なら上限は31.4159です。それを超えると中心角は存在しません。弧が1回転より先へ行ってしまうからです。
- 弧の長さの計算ツールとの関係
- 同じ等式を反対向きに読んだものです。このページは半径と弧を受け取って角を出し、あちらは半径と角を受け取って弧を出します。問いがどちら向きにも来るので両方あります。曲線を測ると長さが出て、扇形を描くと角が出るからです。どちらの表にも、もう一方が印字する行が1つずつ入っています。
- ラジアンも度と同じような単位か
- 単位ではありますが、度のような任意の単位ではありません。度は1回転の360分の1で、バビロニアの算術から受け継いだ分割です。ラジアンは、弧がちょうど半径と同じ長さになるときの角です。だからこのページの割り算にはπが出てきません。πは、その結果を度に換算するときに初めて現れます。
参考文献
- Central Angle — 円の中心にある、弧が張る角と、その角・弧・半径の関係 — Wolfram MathWorld (United States)
- Radian — ラジアンの値が使っている単位で、半径と同じ長さの弧が張る角として定義されるもの。このページが行っている割り算そのもの — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — 弧を囲む円周と、1回転がたどり着く2πラジアン — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、円の中心角と弧度法は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部