弓形の面積計算

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c = 2r sin(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

半径

中心から弧までの距離（センチメートル）。切り落とす三角形の底辺の半分で、どの大きさの円だったのかを言う唯一の数です

中心角

弦が中心に張る角（度）。半径とともに弓形を決めます。扇形が円のどれだけを取るかと、取り除く三角形がどれだけ高いかの両方を決めるからです

面積

弓形の広さ（平方センチメートル）で、扇形の面積から三角形の面積を引いた値です。180度より下では弦が作る2つの領域のうち小さいほうで、それを超えると引き算が足し算に変わり大きいほうが出てきます

弦

弓形をふさぐ直線（センチメートル）で、取り除いた三角形の底辺でもあります。180度で直径まで伸び、そこからまた縮んで、一周すると0になります

弧の長さ

曲がった縁に沿った長さ（センチメートル）。扇形の弧と同じです。三角形を取り除いても曲線は変わらないからです。弓形の外側の境界で、角度とともに増え続けるだけです

弓形の高さ

弧が弦の真ん中でどれだけ盛り上がっているか（センチメートル）。弓形の深さにあたり、平らな側に物差しを渡して測る量です。角度が0のときの0から、一周したときの直径まで伸びます

½r² sin θ

2本の半径と弦が作る三角形の面積。90度で最大になり、180度で0に落ちます。半円に引く三角形が無いのはそのためです

小数第4位

すべての読みを書く桁幅。4つの読みはどれもπか正弦を含むのでほとんど終わりません。しかも面積はそういう数2つの差なので、末尾の桁はこのページでいちばん信用できない桁です

このページは、直線が円から切り取る部分のためのものです。そう言うと、もとになっている扇形より珍しい形に思えますが、実際はよくある形です。上部が曲線のアーチ窓や扉は長方形の上に載った弓形ですし、天井が弧で側面が直線のトンネルの断面も同じです。半分まで液体の入った管やタンクは典型的な例です。横倒しの円筒の濡れている部分は弓形なので、樽の中の液体の量は円ではなく弓形の問題になります。地図の上では、直線の境界線と曲がった道路や川の間の面積が弓形ですし、円形の畑が直線のフェンスの外に残す細い部分もそうです。製作の現場では、丸棒や円形の板を弦で切ると切り落としが弓形になります。そのときに頼りになるのが高さの式です。測れるのが角度ではなく切り込みの深さである場合、平らな側に物差しを渡して曲線のいちばん深いところまで測れば高さが直接出て、そこから角度を逆算できます。そしてこれは噛み跡の形でもあります。丸いビスケットをかじった跡は弓形で、弦が歯形を横切り、高さがかじった深さになります。

1. 4分の1の円の弓形

   1. 扇形の面積：(90 ÷ 360) × π × 5² = 19.6349…
   2. 三角形の面積：½ × 5² × sin(90°) = 12.5
   3. 弓形の面積：19.6349 − 12.5 = 7.1349…、四捨五入して7.135
   4. 弦：2 × 5 × sin(45°) = 7.0711
   5. 弧の長さ：(90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7.854
   6. 高さ：5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0.2928932 = 1.4645

   このページの初期値で、引き算が何をしているかがいちばんはっきり出る例です。扇形が19.6349で、三角形がそのうち12.5を持っていき、7.135が残ります。1切れが覆っていた広さの3分の1です。高さを見ると形が具体的になります。弧は弦から1.4645センチメートルしか盛り上がっていないので、これは分厚い1切れではなくかなり平たい細片です。

2. 60度の浅い弓形

   1. 扇形の面積：(60 ÷ 360) × π × 5² = 13.0899…
   2. 三角形の面積：½ × 5² × sin(60°) = 12.5 × 0.8660254 = 10.8253
   3. 弓形の面積：13.0899 − 10.8253 = 2.2646…、四捨五入して2.2647
   4. 弦：2 × 5 × sin(30°) = 5
   5. 弧の長さ：(60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5.236
   6. 高さ：5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0.1339746 = 0.6699

   すぐ上の行と同じ円で角度だけを狭めた行です。角度の変化に比べて弓形はずっと小さくなります。角度が3分の2なのに面積は7.135に対して2.2647です。理由は三角形が1切れのほとんどを食べてしまうことにあります。扇形が13.0899で、三角形がそのうち10.8253を持っていきます。小さな角度では弓形は薄い細片で、面積は角度よりずっと速く落ちます。

3. 半円

   1. 扇形の面積：(180 ÷ 360) × π × 5² = 39.2699…
   2. 三角形の面積：½ × 5² × sin(180°) = 0
   3. 弓形の面積：39.2699 − 0 = 39.2699
   4. 弦：2 × 5 × sin(90°) = 10
   5. 弧の長さ：(180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15.708
   6. 高さ：5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

   三角形が消える角度です。180度では弦が直径になり、2本の半径はその上に平らに重なるので、引くべき三角形の面積がありません。弓形は半円そのもの、つまり39.2699になり、これは扇形のページが半円に対して印字する数とちょうど同じです。高さは半径と同じ5で、これがこの円の弓形が盛り上がれる最大値です。

4. 円の3分の1

   1. 扇形の面積：(120 ÷ 360) × π × 6² = 37.6991
   2. 三角形の面積：½ × 6² × sin(120°) = 18 × 0.8660254 = 15.5885
   3. 弓形の面積：37.6991 − 15.5885 = 22.1106…、四捨五入して22.1107
   4. 弦：2 × 6 × sin(60°) = 10.3923
   5. 弧の長さ：(120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12.5664
   6. 高さ：6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0.5 = 3

   両隣のページと数がそろう行です。弦は6√3、弧は4πで、同じ円の120度の扇形について扇形のページが印字する数と同じです。三角形を取り除いても弦と弧は変わりません。どちらもその三角形の一部ではないからです。高さはちょうど3、半径の半分になります。60度の余弦が2分の1だからです。

5. 270度の大きいほうの弓形

   1. 扇形の面積：(270 ÷ 360) × π × 5² = 58.9049
   2. 三角形の面積：½ × 5² × sin(270°) = 12.5 × (−1) = −12.5
   3. 弓形の面積：58.9049 − (−12.5) = 71.4049
   4. 弦：2 × 5 × sin(135°) = 7.0711
   5. 弧の長さ：(270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23.5619
   6. 高さ：5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1.7071068 = 8.5355

   注意して読む行で、このページが答えの妥当さについて何も判定しない理由が書いてあります。270度では正弦が負なので、三角形を引くことは12.5を差し引くのではなく足すことになり、ページは71.4049を返します。弦が切り取る2つの領域のうち小さいほうではなく大きいほうです。算術としては正しい答えで、しかも読者が頭に置いていた領域とはたいてい違います。ここにある答えに「大きい弓形」「小さい弓形」のラベルが付いていないのはそのためです。弦は7.0711で上の90度の行と同じです。sin(135°)とsin(45°) が等しいからで、別の角度が1つの弦を共有しています。

このページは円の弓形専用です。平らな円の上で、直線の弦とその上の弧で囲まれた部分だけを扱います。180度を超えると計算は反対側へ乗り越え、弦が切り取る2つの領域のうち小さいほうではなく大きいほうを返します。これは意図的で避けようがありません。式にはどちらを指したのかを知る手立てが無く、ここにある答えに大きい弓形・小さい弓形のラベルが付いていない理由もそこにあります。面積はπか正弦を含む2つの数の差なので、末尾の桁はこのページでいちばん信用できません。弦と弧は三角形を取り除いても変わらないので、三日月形ではなく1切れが欲しかった人は隣の扇形のページを使ってください。出力はドロップダウンが何であれセンチメートルと平方センチメートルなので、インチで入れた半径はセンチメートルの答えで返り、換算は自分ですることになります。高さは弦から弧のいちばん深いところまで測った値で、角度が分からないときに頼る量ですが、このページは高さから角度へ逆算しません。360度を超える角は一周させずに拒否します。楕円の弓形、弧全体に届かない弦、樽の側板やアーチの煉瓦のような厚みと端面のある立体は扱いません。

弓形と扇形はどう違うのか

扇形は2本の半径と弧で囲まれた1切れで、パイの切り身です。弓形はその1切れから三角形を切り落とした残り、つまり弦と弧の間にできる部分だけを指します。隣の扇形のページは1切れそのものを計算し、このページはそこから三角形を引いた残りを計算します。

270度で大きいほうの領域が出るのはなぜか

三角形の面積が半径の2乗の半分に正弦を掛けた値で、180度を超えると正弦が負になるからです。すると引くことが差し引くことではなく足すことになり、算術としては正しく、答えは弦が切り取る2つの領域のうち大きいほうになります。このページは意図的にどちらが大きいとも小さいとも書きません。半径と角度だけからは、どちらの領域を指したのかを知る手立てが無いので、1つを計算して読み取りは読者に委ねています。

弓形の高さは何に使うのか

弧が弦の真ん中でどれだけ盛り上がっているか、つまり弓形の深さです。この量が載っているのは、実際に測れる唯一の量だからです。平らな側に物差しを渡し、曲線のいちばん深いところまで測れば高さが出て、角度は要りません。角度が0のときの0から一周したときの直径まで伸び、半分まで液体の入った管を説明するときの普通の言い方でもあります。

弦と弧が扇形のページと同じなのはなぜか

どちらも切り落とされる三角形の一部ではないからです。引き算が取り除くのは2本の半径と弦で囲まれた領域で、弦そのものはその三角形の境界であって内部ではありませんし、弧はまったく触られません。だから同じ円の120度の弓形と120度の扇形は、弦も弧もまったく同じで面積だけが違います。

この形は何に使われるのか

直線が円を横切るところならどこでも出てきます。半分まで液体の入った横倒しの管やタンクは、液体の断面が弓形なので、樽の中の液体の量は弓形の問題になります。曲線の屋根をもつアーチ窓、直線の壁の上のトンネルの天井、直線の境界線と曲がった道路の間の面積、丸棒を弦で切ったときの切り落とし、丸いビスケットをかじった跡はどれも弓形です。

高さから角度を逆算できるか

このページではできません。高さは出力であって入力ではありません。高さが半径に1から角の半分の余弦を引いた値を掛けたものなので、原理的には角度を復元できますが、余弦について解いて逆三角関数を取る操作になり、このページはそれをしません。深さしか測れていないときの実用的な道は、高さの列が測った値に合うまで角度を試すか、逆算を別にやるかです。

• Circular segment — 弦とその弧の間の領域。このページが計算する、扇形から三角形を引いた形の面積が載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular sector — このページが三角形を引くもとの1切れ。隣のページでは1切れそのものが答えになる — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 弓形を切り出すもとの形。円全体と弦の性質がまとまっているページでもある — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、円と弦、弧は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部