弧の長さ計算

L = (θ ÷ 360) × 2πr

半径

円の中心から弧までの距離。センチメートルで表します

θ

中心にある角で、単位は度です。弧の両端に引いた2本の半径がつくる角のことです。弧そのものが紙の上で曲がっていく角度ではなく、外側から見た両端の間の角でもありません

360

円一周を度で表した数であり、この式がこの形で書かれている理由でもあります。角を360で割ると、弧が円全体のどれだけの割合を占めるかが出ます

2πr

円周、つまり円全体の長さで、割合を取る対象になるものです。πはどの円にも共通のあの定数で、rはまた半径です

L

弧の長さで、単位はセンチメートルです。角が360度のうちのどれだけかを占めるのと同じ割合を、円周のうちで占めます

L = rθ

同じ式の簡潔な形で、教科書や参考書が載せているのはこちらです。この形のθは度ではなくラジアンなので、1.0472の代わりに60を入れるのが、このページ全体が警告している間違いです

小数第4位

表示の桁幅です。答えは普通ぴったりとは書けません。πがぴったり書けないからで、半径5の円の4分の1は7.8540で止まります

円の一部であって、その長さが問題になるものすべてに使えます。いちばん素直なのは測ることです。曲がった壁、曲がったカウンター、出窓、道のカーブ、直線ではなく曲線に沿うフェンスの長さ。発注するのは曲線に沿った長さで、両端の直線距離より長くなります。2つ目は帯状で来て曲げられる材料です。縁飾り、モール、目張り、電線管、手すりの曲がった部分、半径に合わせて丸めた板金。切る前に長さを出すことが目的そのもので、短く切った弧は廃材になります。3つ目は乗り物と機械です。ワイパーが掃く距離、ロボットアームの軌跡、曲がったガイドの上を走るベルト、スプロケットに掛かるチェーンの長さ。どれも弧の長さが実際に進む距離で、モーターの選定はそれに対して行われます。それから教室での使い方があります。比例はコンパスで描いた円の上では見やすく、90度の弧は円周の4分の1で、式と見比べられます。そしてこれは扇形へ、弓形へ、やがてラジアンへ進むための部品でもあります。ラジアンは、同じ比例を反対向きに述べたものにすぎません。

1. 半径5、中心角90度

   1. 円全体に対する角の割合：90 ÷ 360 = 1/4
   2. 円周全体：2 × π × 5 = 31.4159
   3. その4分の1：31.4159 ÷ 4 = 7.854

   円の4分の1で、このページが読み込まれるときの組です。並べて覚えておきたいのはこの7.854と、同じ半径で360度のときに出る31.4159です。片方はもう片方のちょうど4倍で、角が本当に割合として使われていて、何か別物として使われていないことが一目で分かります。

2. 半径5、中心角60度

   1. 円全体に対する角の割合：60 ÷ 360 = 1/6
   2. 円周全体：2 × π × 5 = 31.4159
   3. その6分の1：31.4159 ÷ 6 = 5.236

   円の6分の1で、正三角形が中心につくる角にあたり、何かを6等分すると60度が出てくる理由でもあります。この行は扇形のページも印字する行なので、2ページを並べて見られます。ここで弧の長さがいくつになっても、扇形のページは同じ半径と角に対して同じ数値を示します。

3. 半径5、1回転

   1. 円全体に対する角の割合：360 ÷ 360 = 1
   2. 円周全体：2 × π × 5 = 31.4159
   3. その全部：31.4159

   境界の場合で、このページ全体の検査にもなります。360度では弧は一周して閉じてしまうので、それは円周であり、半径5の円の円周は31.4159です。この行が別の数を印字したら式が間違っているということなので、表に載せてあります。

4. 半径10、中心角90度

   1. 円全体に対する角の割合：90 ÷ 360 = 1/4
   2. 円周全体：2 × π × 10 = 62.8319
   3. その4分の1：62.8319 ÷ 4 = 15.708

   1つ目の例と同じ4分の1の円で、半径5の180度の弧と同じ長さです。半径を2倍にして角を半分にすると弧は変わりません。弧の長さはどちらか一方ではなく、2つが一緒に効くからです。式が足し算ではなく掛け算になっている理由をいちばん安く示す例です。

5. 半径5、中心角0度

   1. 円全体に対する角の割合：0 ÷ 360 = 0
   2. 円周全体：2 × π × 5 = 31.4159
   3. その0倍：0

   角が0度というのは、2本の半径が互いに重なり、弧が円上の1点に縮んだということなので、長さは0です。これは本物の答えであって、このページはそれを報告します。空欄を残すのとは違います。空欄には計算の手がかりがなく、結果はまったく表示されません。

このページが返すのは弧の長さだけで、それ以外は何も出しません。扇形の面積、両端を結ぶ直線である弦の長さ、角、半径は出しません。最初の2つは扇形のページが扱っていますし、弧の長さから逆に角を求めるのは別のページです。角は度で、上限は360度です。1回転より大きい中心角は、丸め込まずに拒否します。中心角は定義上1回転を超えないからです。どちらの入力にも0を入れることができ、そのとき弧の長さは0になります。これは点として正しい答えで、空欄と同じではありません。2つの入力は同じ単位で取るので、半径をインチで入れれば弧の長さもインチで出ます。換算は一切しません。答えは円弧に沿った長さで、ほかの曲線については何も言えません。楕円のアーチ、らせん、カテナリー、真円ではないカーブは正しく出ません。そのうち楕円は、人が思っているより簡単だと思われやすい形です。

角は度か、それともラジアンか

度です。このページが計算する式は (θ ÷ 360) × 2πrで、ほかの何よりも先に度を割って始末する形で書いてあります。よそで見かけたことがあるかもしれない簡潔な形L = rθはラジアンを取ります。そこに60を入れると答えがおよそ57倍になるので、知っておく価値があります。しかも長いだけの答えは、間違って見えません。

図の中でどの角が中心角か

円の中心にあり、弧の両端へ引いた2本の半径の間にある角です。弧の上のどこかから測った両端の間の角でも、曲線が紙の上で曲がって見える角度でもありません。図にいくつか角が描かれているとき、中心角は頂点が中心にあるものです。

扇形の計算ツールとの違い

扇形のページは同じ2つの入力に対して3つの値を出します。くさび形の面積、弧の長さ、両端を結ぶ直線である弦の長さで、扇形を扱う人はたいてい1つでは足りないからです。このページは弧の長さだけを出します。その1つの数については2ページが完全に一致するので、長さだけ欲しいならこちらが近道です。

角は360度を超えてもよいか

いいえ。このページは丸め込まずに拒否します。中心角は定義上、円の中心にある角で、1回転を超えることはできません。400度というのは円周全体より長い弧を意味し、それは弧ではありません。上限は意図したもので、扇形のページと同じなので、同じ2つの数はどちらのページでも同じように受け付けられるか拒否されます。

弧の長さは半径に依存するか

はい、しかもその依存は足し算ではなく掛け算です。半径を2倍にすれば弧も2倍になり、角を2倍にしても同じです。だから半径5の180度の弧と半径10の90度の弧は同じ長さになります。式が2つを掛け合わせていて、それ以外のことをしていないのはそのためです。

曲線が円でない場合はどうなるか

そのときはこのページでは正しい答えが出ませんし、警告も出ません。ここで扱う弧はすべて真円の一部です。楕円のアーチ、らせん階段、カテナリー曲線、投げた物の軌道は、それぞれ違う数学を必要とします。そのうち楕円は、円の簡単な割合だと思われがちな形ですが、そうではありません。

• Arc — 円弧の定義と、その長さ・半径・中心角の間の比例関係 — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular Arc — 同じ主題をより詳しく扱ったもの。簡潔な形であるL = rθと、そこでの角がラジアンで測られるという記述を含む — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 円弧がその一部になっている円周と、その割合を取る対象になる2πr — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、円周と弧の長さは義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部