扇形の面積計算

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sin(θ ÷ 2)

半径

中心から曲がった縁までの距離（センチメートル）。扇形の直線の辺の半分で、どの大きさの円から切ったのかを言う唯一の数です

中心角

2本の直線の辺が中心でなす角（度）。半径とともに扇形を完全に決め、円のうちどれだけを取ったかを言う数でもあります。90度なら4分の1、60度なら6分の1です

面積

扇形が覆う面の広さ（平方センチメートル）。円の面積に割合を掛けた値で、3つのうち半径の2乗で増えるのはこれだけです。半径を2倍にすると面積は4倍になります

弧の長さ

曲がった縁に沿った長さ（センチメートル）。同じ割合を、面積ではなく円周に掛けた値です。だから半径の2乗ではなく半径そのもので増え、中心角が1ラジアンのときちょうど半径と同じ長さになります

弦

弧の両端を結ぶ直線で、弦の長さはセンチメートルで表されます。1切れの平らな側にあたり、3つの出力のうち割合ではなく三角関数を必要とするのはこれだけです。半径の2倍に、中心角の半分の正弦を掛けた値になります

sin(θ ÷ 2)

中心角の半分の正弦。半分であることが要点です。弦と2本の半径は二等辺三角形を作り、その真ん中に垂線を下ろすと、角も弦も同時に2つに分かれます

θ ÷ 360

扇形が円全体に占める割合。面積と弧の長さが共有する因子で、この2つが円自身の対応する量を縮めただけのものになる理由です

小数第4位

すべての出力を書く桁幅。面積と弧の長さはπを含むのでほとんど終わりません。弦が正確になるのは正弦がきれいに出る角度だけで、60度と180度は整数になり、ほとんどの角度はそうなりません

3つの出力は同じ1切れについての3つの別々の問いに答え、どれが欲しいのかを見極めることがこの作業の大半です。面積は面で買うもの、数えるものに使います。トレイで値段が決まるピザの1切れ、角で出会う2本のフェンスに挟まれた土地、曲線の枠に合わせて切ったガラス、あるシャッター設定が通す視野の割合などです。弧の長さは曲線に沿うものに使います。曲がったカウンターに回す見切り材、膨らんだ境界のフェンス、滑車の一部に掛かるベルトの長さ、車輪が一定の角度だけ回ったときに縁の1点が進む距離などです。弦は直線に使います。羽根の先端の幅、皿に当たる切り身の平らな背面、アーチのスパン、同じ中心から同じ角度だけ回した2点がどれだけ離れるかなどです。そして3つすべてに通じる4つ目の使い方があります。扇形は円にまつわる多くのものが組み立てられる単位なのです。円グラフは扇形そのもので、六角形は6つの扇形で、歯車の歯は先端を落とした扇形です。

1. 半径5cmの円の60度の扇形

   1. 円に対する割合：60 ÷ 360 = 1/6
   2. 面積：(1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13.0899…、四捨五入して13.09
   3. 弧の長さ：(1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5.2359…、四捨五入して5.236
   4. 弦：2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5

   これがこのページの初期値で、割合が何をしているかがいちばんよく見える行です。60度は円のちょうど6分の1なので、面積は25πの6分の1、弧は10πの6分の1になります。止まって見る価値があるのは弦のほうで、ちょうど5、つまり半径と同じ値になります。30度の正弦がちょうど2分の1で、頭の2とその2分の1が打ち消し合うからです。この扇形を6つ、頂点を突き合わせて並べると正六角形になり、それが隣のページです。

2. 半径5cmの円の4分の1

   1. 円に対する割合：90 ÷ 360 = 1/4
   2. 面積：25π ÷ 4 = 19.6349…、四捨五入して19.635
   3. 弧の長さ：10π ÷ 4 = 7.8539…、四捨五入して7.854
   4. 弦：2 × 5 × sin(45°) = 10 × 0.7071068 = 7.0710678…、四捨五入して7.0711

   4分の1の円です。90度の扇形の弦は、2つの脚がどちらも半径である直角三角形の斜辺なので、半径の√2倍になります。ここでは5√2で、正方形のページが対角線として印字する7.0711と同じ数です。3つのページが1つの数を共有していて、どれも同じ三角形を別の側から見たものです。

3. 半円

   1. 円に対する割合：180 ÷ 360 = 1/2
   2. 面積：25π ÷ 2 = 39.2699…、四捨五入して39.2699
   3. 弧の長さ：10π ÷ 2 = 15.7079…、四捨五入して15.708
   4. 弦：2 × 5 × sin(90°) = 10 × 1 = 10

   弦が弦であることをやめて直径になる角度です。弧の両端が正反対の位置に来るので、2点を結ぶ直線は中心を通り、長さは半径の2倍になります。90度の正弦がちょうど1なので答えがきれいに出ます。この行は下の円そのものの行のちょうど半分ですが、弦だけは例外で、ここが最大です。180度を超えると弦はまた縮み始め、面積は増え続けます。

4. 半径6cmの円の3分の1

   1. 円に対する割合：120 ÷ 360 = 1/3
   2. 面積：36π ÷ 3 = 12π = 37.6991…、四捨五入して37.6991
   3. 弧の長さ：12π ÷ 3 = 4π = 12.5664…、四捨五入して12.5664
   4. 弦：2 × 6 × sin(60°) = 12 × 0.8660254 = 10.3923048…、四捨五入して10.3923

   半径6cmの円の3分の1で、このページを隣のページにつなぐ行です。弦は6√3で、これは一辺6cmの正六角形の短いほうの対角線とちょうど同じ数です。偶然ではありません。この扇形が3つで六角形の半分、6つで全体になります。面積が12π、弧が4πになるのも見どころで、割合がきれいに出るときは答えがπを保ったまま他を落とします。

5. 円そのもの

   1. 円に対する割合：360 ÷ 360 = 1
   2. 面積：1 × π × 5² = 25π = 78.5398…、四捨五入して78.5398
   3. 弧の長さ：1 × 2π × 5 = 10π = 31.4159…、四捨五入して31.4159
   4. 弦：2 × 5 × sin(180°) = 10 × 0 = 0

   360度の扇形は円そのもので、面積と弧の長さは円のページが半径5に対して印字する値とまったく同じです。78.5398と31.4159がそれにあたります。そうならなければおかしいのです。円を全部取った扇形は円だからです。おもしろいのは弦のほうで、ここでは0になり、それは失敗ではなく正しい答えです。弧の両端が一周して出会ってしまったので、2点を結ぶ直線は長さを持ちません。面積が最大のときに弦は最小になっていて、この2つの量が互いに無関係であることが見て取れます。

このページは扇形専用です。平らな円の上で、2本の半径とその間の弧で囲まれた部分だけを扱います。弓形、つまり弦と弧の間に残る部分は別の形で、隣に専用のページがあります。出力はドロップダウンが何であれセンチメートルと平方センチメートルなので、インチで入れた半径はセンチメートルの答えで返り、換算は自分ですることになります。中心角は度で、ドロップダウンはラジアンとグラードも受け付けますが、計算は常に度に直してから行われます。360度を超える角は、一周させて読み替えるのではなく拒否します。一周を超えると、どの1切れを指したのかに複数の読み方が出てしまい、このページは推測するより断るほうを選びます。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではありません。面積と弧の長さはπを含むのでほとんど終わりませんし、弦が正確なのは正弦がきれいに出る角度だけです。弦は1切れを横切る直線なので、180度を超えると円の半分より大きい部分を近いほうで測ることになります。それも正しいのですが、円グラフを描いている人が頭に置いているものとは普通違います。楕円やその他の曲線の1切れ、先端が丸い扇形、ケーキやチーズの切り身のような厚みのある立体は扱いません。

円のページは入力が1つなのに、こちらが2つなのはなぜか

扇形は1つの数では決まらないからです。円は決まります。半径を入れればその円のことは全部分かります。扇形は円から1切れを欠いた形で、その1切れがどれだけ大きいかを別に言わなければなりません。大きな円の30度の1切れと、小さな円の180度の1切れはまったく別の形です。半径は円を決め、中心角はそのうちどれだけを取ったかを決めるので、両方が要りますし、どちらからも他方は出せません。

60度で弦が半径とちょうど同じになるのはなぜか

弦が半径の2倍に角の半分の正弦を掛けた値だからです。60度なら半分は30度で、その正弦はちょうど2分の1になります。頭の2と2分の1が打ち消し合って半径だけが残ります。弦が整数になる数少ない角度の1つで、六角形が成り立つ理由でもあります。60度の扇形を6つ頂点でつなぐと、6本の半径と6本の弦、つまりすべての辺が同じ長さの形になります。

扇形と弓形の違いは何か

扇形は2本の半径と弧で囲まれた1切れで、パイの切り身のような形です。弓形は弦とその上の弧の間に残る部分で、扇形から2本の半径と弦が作る三角形を切り落とした残りにあたります。隣の弓形のページがそちらを計算していて、その面積はこのページの面積から三角形を引いたものになります。

3つの出力のどれを見ればよいか

面として使うなら面積です。ピザの1切れ、まとまった土地、ガラス板などがそうです。何かが曲線に沿うなら弧の長さです。曲がったカウンターに回す見切り材、膨らんだ境界のフェンス、滑車の一部に掛かるベルトなどです。1切れを横切る直線が要るなら弦です。羽根の先端の幅、アーチのスパン、円周上の2点がどれだけ離れるかなどがそれにあたります。

円のページで弦が0になるのは不具合か

いいえ、あれが正しい答えです。360度では弧の両端が一周して出会ってしまうので、2点を結ぶ直線は長さを持ちません。面積が最大、つまり円そのものになると同時に弦が最小になることを見ておく価値があります。この2つの量は互いに無関係だからです。この振る舞いをするのは弦だけで、弧の長さは円周そのものになるだけです。

中心角はラジアンでも入れられるか

入れられます。中心角の隣のドロップダウンは度・ラジアン・グラードを受け付け、入力した値を度に直してから計算します。参考表の角度はすべて度なので、1.047ラジアンと入れるのは60度の行と同じ1切れです。出力は単位によって変わりません。面積は平方センチメートル、弧と弦はセンチメートルです。

• Circular sector — 2本の半径と弧で囲まれた領域。このページが計算する面積と弧の長さ、および両者が円の何分の一かで表される形が載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — 扇形を切り出すもとの形。4つの量のどれか1つから残り3つが出る、隣のページの対象でもある — Wolfram MathWorld (United States)
• Circular segment — 弦と弧の間に残る領域。この1切れから三角形を取り除いた形で、隣のページが計算しているもの — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、円と扇形、弧の長さは義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部