同じ位置を表す角計算

θ′ = θ + 360°n、同じ位置を表す角 = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

入力する角で、単位は度です。負でもよく、1回転よりはるかに大きくもなれます。どちらもここでは特殊な場合ではなく、ふつうの入力です

n

正負どちらでも、0でもよい整数です。nの値ごとに、同じ終わりの動径を共有する角の一族から1つが選ばれるので、その数は無限にあり、このページはそのうち役に立つ2つを印字します

360°

1回転です。これを引いても動径はまったく同じ向きを指したままなので、2つの角は別物ではなく同じ位置を表すことになります

⌊θ ÷ 360°⌋

取り除く回転数を、マイナス無限大の向きへ切り下げて数えたものです。0の向きへ丸めると、負の角が区間の中に入らず外に残ってしまいます。このページが静かに間違えうる唯一の箇所です

同じ位置を表す角

0以上360未満の代表です。三角関数表や単位円が前提にしている数で、答えとして求められることがいちばん多いものです

同じ位置を表す負の角

同じ動径を負の回転として表したもので、畳んだ角から1回転を引いたものにあたり、マイナス360以上0未満に落ちます。常に他の値よりちょうど360だけ下です

小数第2位

表示の桁幅です。角はふつう秒の小数ではなく度の小数まで測るもので、分度器の読みとして正直に言えるのは小数第2位くらいまでです

1回転を超えて巻き取られた角があり、1回転の中の答えが欲しいときはいつでも使えます。いちばん素直なのは軸と回転機械です。3回転と4分の1回された継手は、最後の向きを360未満の角で述べることになります。同じ畳み込みが、カム、クランク、ターンテーブル、回転数で可動範囲を言うロボットの関節にも当てはまります。2つ目は巻き取りと巻き付けです。14回巻いたコイル、繰り出して巻き戻したケーブル、決まった回転数だけ回したばね。どれも回転数で数えられ、度で必要になります。3つ目は測定器です。信号の何周期にもわたって積み上がった位相角、リセットせずに数え続けるエンコーダから読み取った累積角、積み上がった方位の誤差、そして1回転を超えて走ることを許された角を報告するあらゆる計器。航法と測量では、足し引きの結果が0から360の範囲を外れた方位や、2つの方位の差に使います。マイナス30度の方位を330と書き直すのはそのためです。数学では、三角関数の計算のほとんどで最初の一歩になります。サインとコサインの値表は1回転ぶんしか載っていないので、その範囲外の角は表を使う前に連れ戻さなければなりません。教室では周期性の視覚的な実演になります。30度、390度、750度で同じ終わりの動径を描いてみると、3本とも同じ直線に乗ります。サインが360度ごとに繰り返す理由が、暗記する規則ではなくなります。日常の算術では、ある角から別の角を引いて負になったときのためのものです。多くの人がここで初めて、符号付きではなく0から360の答えを欲しくなります。

1. 400度の角

   1. 回転数を数える：400 ÷ 360 = 1.11なので、1回転ぶんを取り除く
   2. 引く：400 − 360 = 40
   3. 負の代表のためにさらに1回転引く：40 − 360 = −320

   このページが読み込まれるときの組で、1回転をわずかに超えたところだから選んであります。はじめて見る人でも操作全体を1手で見られます。2つの答えは360離れており、これは表のどの行でも成り立つので、結果の筋が通っているかを確かめる最短の方法です。

2. 750度の角

   1. 回転数を数える：750 ÷ 360 = 2.08なので、2回転ぶんを取り除く
   2. 引く：750 − 720 = 30
   3. さらに1回転引く：30 − 360 = −330

   30度の角と同じ終わりの位置で、そこから2回転ぶん先です。この表が何のためのものかを示す2行でもあります。回転数の列から畳み込みを読む、つまり750から2回転を取って30、というのが手計算のやり方そのもので、その列が表にある理由です。

3. マイナス30度の角

   1. 回転数を切り下げて数える：−30 ÷ 360 = −0.08で、切り下げると−1
   2. その回転を足し戻す：−30 − 360 × (−1) = 330
   3. 負の側のために1回転引く：330 − 360 = −30

   多くの人がたどり着く向きです。ある方位から別の方位を引くと負の角が出るからです。負の代表がもとの角そのままで変わっていないことに注意してください。マイナス30はすでに負の区間の中にあります。ここでは切り下げが要ります。0に向かって丸めるとマイナス30はそのまま残り、属すべき正の区間の外に出てしまいます。

4. 1,000度の角

   1. 回転数を数える：1,000 ÷ 360 = 2.78なので、2回転ぶんを取り除く
   2. 引く：1,000 − 720 = 280
   3. さらに1回転引く：280 − 360 = −80

   2回転と余り280で、ここから算術が自明でなくなります。答えは0の近くではなく1回転の近くになり、前の例のような小さな余りを期待した人は面食らいます。このページは100万度も受け付け、それも同じ280とマイナス80になります。回転数は変わりますが、終わりの位置は変わりません。

5. 0度の角

   1. 取り除く回転はない：0はすでに区間の中にある
   2. 正の代表は0
   3. 負の側のために1回転引く：0 − 360 = −360

   負の側の規則を決めてくれる場合です。もう1つの流儀だと両方の値が0と印字され、何もできなかったページに見えます。負の代表を畳んだ角より1回転下と決めておけば、印字される2つの数が同じになることはなく、この境界でもほかのどこでも同じように成り立ちます。

このページが行うのは角を畳むことだけで、それ以外は何もしません。終わりの動径がどの象限にあるかは言いませんし、基準角も出しませんし、三角関数の値を求めることもしません。どれもそれぞれのページの領分です。受け付けるのは度だけで、ラジアンの出力はなく、ラジアンで与えられた角は先に換算してください。入力はどちらの向きでも100万度までで、およそ2,778回転にあたります。それを超えると、算術は動き続けますが、その数は誰かが測る何かに対応しなくなります。印字される2つの値は常にちょうど360度離れており、負のほうが常に低いので、負の入力から正の出力が出ることも、その逆もあります。厳密には、同じ位置を表す角は「一致しない2つの角で、終わりの動径が一致するもの」と定義されるので、入力した角はその厳密な意味では自分自身と同じ位置を表しません。自分自身と一致しています。このページは、同じ終わりの動径にある角はすべて数に入るという日常の用法に従い、脚注ではなくここでそう述べます。角は小数第2位まで丸めますが、これは表示の幅であって精度の主張ではありません。度・分・秒を別々の単位として扱うことはなく、グラードや回転数で測った角も扱いません。

40を入れたら同じ位置を表す角も40だった。何か起きたのか

起きる必要がありませんでした。40はすでに1回転の中にあるので、それ自身が代表で、畳み込みは何も変えません。厳密には、同じ位置を表す角は「一致しない2つの角で、同じ動径で終わるもの」と定義されるので、その定義では角は自分自身と同じ位置を表しません。自分自身と一致しています。このページは、同じ終わりの動径にあるものは何でも数に入るという日常の用法に従うので、入力がすでに畳まれていれば1つ目の値は入力をそのまま繰り返します。変わるのは2つ目の値のほうです。

負の角が、同じ角を負で書いただけではなく1回転下なのはなぜか

明らかな代案が0で壊れるからです。負の代表をマイナス360から0までのどれかとすると、0を入れたとき0と0が印字されます。2つが同じ値で、何もしなかったページに見えます。畳んだ角よりちょうど1回転下と決めておけば、印字される2つの値が等しくなることはなく、常にちょうど360度離れます。これは表のどの行でも確かめられます。

負の角は入れられるか

はい、しかもよくある入力の1つです。負の角は、ある方位から別の方位を引いたときや、回転を反時計回りに測ったときに出てきます。マイナス30度はふつう330と書き直されます。畳み込みが0ではなく下向きに丸めるのはまさにこのためで、0に向かって丸めるとマイナス30は区間の中に入らず外に残ってしまいます。

2つの答えがいつも360度離れているのはなぜか

2つ目が1つ目からちょうど1回転を引いたものだと、そう決めてあるからです。角から360度を引いても動径はまったく同じ向きを指したままなので、2つの値は同じ終わりの動径を表し、ちょうど1回転だけ違います。このページが出すどんな結果に対しても最短の健全性検査になります。低いほうに360を足せば、高いほうにたどり着くはずです。

角がどの象限にあるかも分かるか

いいえ、角を畳んでそこで止まります。終わりの動径がどの象限に落ちるか、そしてその動径と最も近い軸との間の基準角は、基準角のページと単位円のページの主題です。このページが行う畳み込みは、そのどちらよりも前の一歩なので、誰かの出力の1行ではなく、それ自身のページになっています。

ラジアンは入れられるか

このページでは入れられません。度だけを受け取り、単位の切り替えもありません。ラジアンで与えられた角は、180を掛けてπで割る換算を先に済ませてください。畳み込みそのものはどちらの単位でも同じ考え方ですが、1回転が何かを決める前に、どちらの単位なのかをページが知っている必要があります。

• Coterminal Angle — 終わりの動径が一致する角。このページが実装している定義と、一致するのであって同じ位置を表すのではないn = 0の場合 — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — 角とは何か。標準位置の角を含み、そこから始めの動径と終わりの動径が定義される — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — 値の表を使う前に角を1回転の中へ畳んでおく必要がある理由。この畳み込みが欲しくなるいちばん一般的な理由 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、角と任意角は義務教育段階と高等学校段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部