三角形計算
計算結果
辺c
- 角A
- 36.87 °
- 角B
- 53.13 °
- 面積
- 6.0000 cm²
- 周長
- 12.0000 cm
三角形計算ツールは、2辺とその間の角から三角形を丸ごと解きます。出てくるのは残り1辺、残り2つの角、面積、周長の4つです。2辺とその間の角という3つの数で三角形が完全に決まる、ということは一度はっきり言っておく価値があります。2辺だけでは形はコンパスのように開いたままで、それを閉じるのが角です。そこから先は余弦定理です。余弦定理が3辺目を直接与え、残った2つの角は正弦定理か、余弦定理をもう一度で求まります。3と4の2辺が直角に交わっていれば、3辺目は5、角は36.87度と53.13度、面積は6cm²、周長は12です。間の角を変えると、最初の2辺以外はすべて変わります。同じ3と4でも60度なら3辺目は3.6056、面積は5.1962、120度なら3辺目は6.0828です。120度のコサインは負なので、補正項が引くのではなく足し、3辺目は長くなります。ところがこの2つの三角形は面積が同じです。sin 60もsin 120も0.866なので、3辺目が違ってもどちらも5.1962cm²を囲みます。このページが計算に足すのは、答えの名前です。3つの角のうち最も大きいものが三角形の種類を決めます。90度未満なら鋭角三角形、ちょうど90度なら直角三角形、90度より大きければ鈍角三角形です。これが答えの下に出る判定で、同じ子類の他のページが答えない問いです。3辺や底辺と高さは三角形の大きさを教えますが、このページは形も教えます。この規則は3辺が分かってからでも確かめられます。最も大きい角は最も長い辺の向かいにあり、短い2辺の2乗の和が最も長い辺の2乗と等しければ直角三角形、大きければ鋭角三角形、小さければ鈍角三角形です。5と5と5の三角形は3つの角がすべて60なので鋭角、10と10と17.3205の三角形は120度の角をもつので鈍角、5と5と7.0711の三角形は等しい2辺の間に直角をもちます。角度の欄は度・ラジアン・グラジアンを受け付けますが、出てくる2つの角はどの単位で入力しても度です。三角形はどの単位でも同じ形で、入力したのと違う単位で答えを出すと図と比べにくくなるだけです。3辺が分かっている場合はヘロンの公式計算がそれを直接受け取り、底辺と垂直な高さが分かっている場合は三角形の面積計算のほうが同じ面積への近道です。分かっている角が直角なら、三平方の定理計算がそのためのページです。
このページが報告する3種類の三角形
| 三角形 | 条件 | 意味 |
|---|---|---|
| 鋭角三角形 | 3つの角がすべて90°未満 | どの角も尖っています。最も長い辺は最も広い角の向かいにあり、短い2辺を2乗した和は最も長い辺の2乗より大きくなります。辺の長さの割に低くて広い三角形です。 |
| 直角三角形 | 1つの角がちょうど90° | 1つの角が直角で、そこで交わる2辺は垂直です。短い2辺の2乗の和が最も長い辺の2乗にちょうど等しくなり、それが三平方の定理で、余弦定理は補正項を失います。 |
| 鈍角三角形 | 1つの角が90°より大きい | 1つの角が直角より広く、その向かいの辺は他の2辺より長くなります。余弦定理の補正項が負になるので引くのではなく足し、同じ2辺に対して面積は直角のときより小さくなります。 |
どの答えの下にも出る判定と、3段階であって1つの数ではない理由です。検査は常に3つの角のうち最も大きいものですが、最も大きい角は最も長い辺の向かいにあるので、同じ検査を辺で走らせることもできます。短い2辺の2乗を足し、最も長い辺の2乗と比べてください。等しければ直角の行、大きければ鋭角の行、小さければ鈍角の行です。直角の行だけは暗記する価値があります。それが三平方の定理で、3-4-5の三角形は現場で角を確かめる標準の方法だからです。
2辺とその間の角で決まる三角形
| 辺a（cm） | 辺b（cm） | 角C（°） | 辺c（cm） | 角A（°） | 角B（°） | 面積（cm²） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 90 | 5 | 36.87 | 53.13 | 6 |
| 5 | 5 | 60 | 5 | 60 | 60 | 10.8253 |
| 5 | 12 | 90 | 13 | 22.62 | 67.38 | 30 |
| 6 | 8 | 90 | 10 | 36.87 | 53.13 | 24 |
| 7 | 8 | 60 | 7.5498 | 53.41 | 66.59 | 24.2487 |
| 10 | 10 | 120 | 17.3205 | 30 | 30 | 43.3013 |
| 5 | 5 | 90 | 7.0711 | 45 | 45 | 12.5 |
| 4 | 4 | 30 | 2.0706 | 75 | 75 | 4 |
三角形が8つ、列は7つ。並べて読むのは角と3辺目の列です。1行目、3行目、4行目は直角三角形で、3辺目が5、13、10ときれいに出るのはそのためで、隣の2つの角が36.87と53.13、22.62と67.38というおなじみの組になるのもそのためです。2行目は3辺目が強制される唯一の角です。等しい2辺が60度で交われば正三角形になり、3辺目が与えた2辺と同じ長さになり、3つの角がすべて60になります。8行目は同じ等しい2辺をもっと狭い角で開いた場合——4と4が30度——で、3辺目は2.0706まで落ち、残り2つの角はそれぞれ75に開きます。6行目は鈍角の場合です。10の2辺が120度で交わり、3辺目17.3205は与えた2辺のどちらより長くなります。90度を超える角の目印で、面積43.3013は同じ2辺が直角で囲む50より小さくなります。7行目は等しい2辺の間の直角で、3辺目が√2倍になる直角二等辺三角形です。どの欄も、ページを組み立てるときにその行からセンチメートル、度、平方センチメートルで再計算したものです。
公式
c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°
- 辺a、辺b
- 分かっている2辺。センチメートルで入力します。入れ替えても同じで、入れ替えると出てくる2つの角が入れ替わるだけです。どちらも0より大きい必要があります。辺が0では三角形になりません
- C
- 分かっている2辺の間の角。度・ラジアン・グラジアンで入力します。与えた2辺に挟まれているので挟角と呼ばれ、このページが指定を許す唯一の角です。0〜180度の範囲なら何でもよく、ちょうど0度か180度では三角形が線に潰れますが、それでも答えを返し、1つの角が0度、もう1つが180度になります
- c
- 角Cの向かいにある3辺目。センチメートルで、余弦定理から出ます。余弦定理は、直角三角形でない三角形のための補正項をもつ三平方の定理です。Cが90度のときコサインは0で補正項が消え、a² + b² = c² が残ります。他のすべての答えがこれに依存するので、主結果になっています
- A、B
- 入力しなかった2つの角。度で出ます。どちらも、3辺目を丸める前の値で完全に分かった三角形にもう一度余弦定理を当てて求め、2つを足すとCと合わせて最後の桁まで180になります。ほとんど直角に近い三角形も、角を小数第2位に丸めた結果ちょうど90度になって直角三角形として報告されることがあります。判定は画面に出た数で行われ、その背後にある数では行われません
- ½ × a × b × sin C
- 面積。平方センチメートルで、分かっている2辺の積の半分に、間の角のサインを掛けたものです。角が分かっている場合に還元した面積の式で、そうでなければ必要になる高さがb × sin Cだからです。同じ3と4が、直角では面積6、60度では5.1962にしかならない理由です
- A + B + C = 180°
- 角の和。これが判定を可能にします。3つの角がすべて分かれば、最も大きい角が鋭角・直角・鈍角を決め、最も大きい角は常に最も長い辺の向かいにあります。判定はこのページが印字する2つの角を読み、3つ目を180から引いて求めるので、バッジは画面の数を丸めごと裁いており、丸めのせいで数と食い違うことはありません
2辺とその間の角が手元にあるとき——つまり、その場で測ったり指定したりするものごとの大半——に使うページです。土地の2辺とその角、既知の角度で交わる2本の支柱、勾配と水平距離で語られる屋根の垂木、角から切り出した布の三角形。三角形の大きさではなく形が問いであるときにも向いています。角が直角かどうか、鋭角かどうか、その3辺で鈍角三角形が作れるのかどうか。判定が出るので、大工が3-4-5で確かめるあの検査もこのページでできます。3と4を角90度で入れれば直角が返り、同じ2辺を角92度で入れれば、3辺目がすでに直角には長すぎる状態で鈍角が返ります。3辺があって角がないときは、ちょうど裏返しでヘロンの公式計算の出番です。底辺と垂直な高さがあるときは、三角関数を使わない三角形の面積計算のほうが速い。角が直角と分かっていてa² + b² = c²の素直な道が欲しいとき、あるいは直角三角形と1辺と斜辺があるときは三平方の定理計算です。三角形が特別な対称性をもつときは正三角形計算か二等辺三角形計算で、そちらは入れる数が少なく、角を尋ねずに出します。
計算例
3と4が直角に交わる三角形
- 余弦：cos 90° = 0なので補正項が消える：c = √(3² + 4²) = √25 = 5
- 面積：½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
- 周長：3 + 4 + 5 = 12
- 角A（辺3の向かい）：cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0.8、よってA = 36.87°
- 角B：180 − 90 − 36.87 = 53.13°
- 最も大きい角は90°なので、判定は直角三角形
3-4-5の三角形であり、判定をわざわざ出す価値を見せる行です。ページは直角を認識して自分から言います。36.87度と53.13度というこの2つの角は、3-4-5の三角形すべてに出てくる組で、同じ算術の反対側では対角線が6と8のひし形にも現れます。余弦定理が三平方の定理を含んでいることも、ここがいちばん明快です。90度では補正項が0になり、2つの式が同じ一文になるからです。
5と5が60度で交わる三角形
- 余弦：cos 60° = 0.5なのでc = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0.5) = √(50 − 25) = √25 = 5
- 3辺目が与えた2辺と等しくなり、3辺とも5になる
- 面積：½ × 5 × 5 × sin 60° = 12.5 × 0.866025… = 10.8253
- 周長：5 + 5 + 5 = 15
- 3辺が等しいので3つの角も等しい：(180 − 60) ÷ 2 = 60で、残り2つの角も60
- 最も大きい角は60°なので、判定は鋭角三角形
等しい2辺が60度で交わるのは、3辺目が2辺と同じ長さを強制される唯一の場合で、三角形は正三角形になります。60度は、二等辺三角形の底辺がちょうど等辺と同じ長さになる角度です。同じ子類の正三角形計算はこの同じ図形を1辺から解きます。3辺が等しい以上、そこに言うことは残っていないからです。ここでやる意味は、3辺目が5に着地するのを教えられるのではなく見られることにあります。面積10.8253は、1辺が5で角が60度のひし形に出てくる数と同じです。偶然ではありません。そのひし形はこの三角形2枚ぶんで、2 × 10.8253がその21.6506cm²になります。
7と8が60度で交わる三角形
- 余弦：cos 60° = 0.5なのでc = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0.5) = √(113 − 56) = √57 = 7.549834… → 7.5498
- 面積：½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0.866025… = 24.2487
- 周長：7 + 8 + 7.5498 = 22.5498
- 角A（辺7の向かい）：cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7.5498) = 72 ÷ 120.797 = 0.596、よってA = 53.41°
- 角B：180 − 60 − 53.41 = 66.59°
- 最も大きい角は66.59°なので、判定は鋭角三角形
何も特別でない普通の場合で、ページが素の仕事をするところを見たいならこの行です。長さの違う2辺、60度の角、そして丸い数にならない3つの答え。3辺目7.5498は7より長く8より短い——前もって言えるのはそれだけで、60度の角の向かいの辺はそれを挟む2辺の間に収まり、残りの120度は向かい合う辺の比で分けられます。短いほうの辺7が小さいほうの取り分、53.41対66.59です。面積24.2487は、台形のページが別の4辺から出す24cm²に近く、しかし同じではありません。この惜しさは、丸い数は入力から来るのであって式から来るのではないという注意書きです。
10と10が120度で交わる三角形
- 余弦：cos 120° = −0.5なのでc = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0.5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17.320508… → 17.3205
- 面積：½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0.866025… = 43.3013
- 周長：10 + 10 + 17.3205 = 37.3205
- 等しい2辺は等しい2角を残す：(180 − 120) ÷ 2 = 30ずつ
- 最も大きい角は120°なので、判定は鈍角三角形
鈍角三角形であり、余弦定理の補正項が縮むのではなく育つ場合です。120度のコサインは負なので、それを引くことは和に足すことで、3辺目は与えた2辺のどちらよりも長くなります。17.3205に対して10です。これが90度を超える角の目印で、判定が読んでいるものもまさにこれです。面積は43.3013で、同じ2辺が直角で囲む50cm²より小さくなります。角を90度より広げると、向かいの辺の長さと引き換えに面積を失う——ひし形のページが傾けたときにやるのと同じ取引で、このページが数から推測させるのではなく種類を報告する理由でもあります。
適用限界
このページは2辺とその間の角から1つの三角形を解くページで、3つの要素が分かる他の5通りの組み合わせは解きません。3辺を渡しても手がかりがありません。ヘロンの公式計算がそれを受け取って面積を出し、角はこのページがやらない第2段の計算になります。2角と1辺でも同じで、内部ではまさにその計算をしているのですが、入口がありません。逆も効きません。面積や周長からその三角形を復元する道はなく、同じ面積をもつ三角形は無数にあります。出力は入力の単位が何であれセンチメートルと平方センチメートルで、2つの角はラジアンやグラジアンを入力しても常に度で印字されます。単位の選択が変えるのは角度の読み取り方で、答えの書き方ではありません。その選択こそ名指ししておく価値のある唯一の罠です。60ラジアンは60度ではなく、ページはこの数が角として大きすぎると報告するのではなく、選ばれている単位で三角形を計算してしまいます。2辺はどちらも0より大きい必要があり、辺が0の三角形は拒否されます。一方、ちょうど0度か180度の角は受け付け、角が0度、180度、0度の平らな三角形を作ります。これはこのページでは鈍角三角形と判定され、算術としては一貫していますが、望む人はまずいません。図が潰れたことをページは注意しません。2辺が等しく角が0度の場合は、答えではなく拒否になります。3辺目が0になり、三角形が何も残らないからです。答えの下に出る種類は、印字されたままの小数第2位に丸めた角で決まるので、最も大きい角が89.999度の三角形は直角として報告されます。画面の数を正直に読んだ結果であり、判定は表示の精度以上には正確でないという注意書きです。2つの正の辺と範囲内の角なら必ず三角形になるので、このページはそれ以上に3つの数が三角形を表しているかを確かめません。長さの小数第4位と角の小数第2位は、この子類が共有する表示幅であって、精度の主張ではありません。ここには材料のロスや切りしろは入っていません。
よくある質問
- 2辺とその間の角から3辺目を求めるには
- 余弦定理を使います。3辺目は、a² + b² − 2ab × cos Cの平方根です。Cは分かっている2辺の間の角です。3と4を直角で挟めばコサインは0で、答えは√25 = 5になります。60度ならコサインは0.5、補正項は12で、3辺目は√13、およそ3.6056です。同じ2辺から、はっきり短くなります。
- 鋭角・直角・鈍角はどうやって判定しているのか
- 3つの角のうち最も大きいもので判定します。90度未満なら鋭角三角形、ちょうど90度なら直角三角形、90度より大きければ鈍角三角形です。最も大きい角は常に最も長い辺の向かいにあるので、同じ検査は辺でもできます。短い2辺の2乗の和を最も長い辺の2乗と比べ、等しければ直角、大きければ鋭角、小さければ鈍角です。5と5と8.6603なら角が120度になり、鈍角三角形です。
- なぜ2辺とその間の角だけで三角形が決まるのか
- 2辺はコンパスのように自由に開いていて、その開き具合を固定するのが角だからです。角が決まれば、2つの自由端の間の距離は1通りに決まり、3辺目が決まり、3辺が決まれば角も決まります。2辺だけでは足りない理由がここにあります。3と4は0に近い面積から6cm²まで、直角のときが最大で、その間のどれにでもなれます。3つの角だけでも足りません。形は決まりますが大きさが決まらないからです。
- ここで使っている面積の式は何か
- 分かっている2辺の積の半分に、間の角のサインを掛けたものです。A = ½ × a × b × sin Cです。ふつうの底辺×高さ÷2の式で、高さを置き換えた形です。片方の辺から見た高さは、もう片方の辺に挟角のサインを掛けたものだからです。3と4を直角で挟めば ½ × 12 × 1 = 6cm²、同じ2辺を60度で挟めば5.1962になります。sin 60が0.866だからです。
- 角が0度や180度のときはどうなるのか
- 三角形は線に潰れ、それでもページは答えます。3と4の間の角を0度にすると3辺目は1、1つの角は180度、残り2つは0度です。判定は鈍角三角形になります。90度より大きければ鈍角という規則には一貫していますが、潰れた三角形は実在の図形ではなく退化した場合です。はっきり拒否される組み合わせは1つだけで、等しい2辺と角0度です。このとき3辺目が0になり、何も残りません。
- 直角三角形に使えるのか
- 使えますし、ページのほうからそう言ってくれます。3と4を角90度で入れれば直角が返ります。算術のほうもきれいに退化します。90度のコサインは0で、余弦定理はa² + b² = c²に潰れるからです。解く三角形がすべて直角三角形なら、同じ子類の三平方の定理計算が2辺を直接受け取って三角関数を省けます。逆に、角が本当に直角かどうか確かめたいときはこのページです。
参考文献
- Triangle — このページが解く3辺の図形。角の和、鋭角・直角・鈍角への分類、最も大きい角と最も長い辺の関係まで載っている — Wolfram MathWorld (United States)
- Acute Triangle — 3つの角がすべて直角より小さい場合。このページが返す3つの判定のうち最初のもの — Wolfram MathWorld (United States)
- Obtuse Triangle — 1つの角が直角より大きい場合。余弦定理の補正項が負になり、3辺目が与えた2辺のどちらよりも長くなる — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、三角形の内角の和、三角形の分類と面積は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部