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CalcMax

正三角形計算

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

計算結果

15.5885 cm²

面積

周長
18.0000 cm
高さ
5.1962 cm

正三角形計算ツールは、1辺の長さを受け取って、3つの測定値を返します。三角形が覆う面積、まわり全体の長さ、そして頂点から向かい合う辺の真ん中へまっすぐ下ろした高さです。三角形のページの中でこれがいちばん単純なのには理由があり、はっきり書いておく価値があります。正三角形は、1つの数ですべてが決まる唯一の三角形だからです。ふつうの三角形は3辺が決まれば形が決まり、2辺とその間の角が決まっても形が決まりますが、1辺だけではその辺を持つ三角形が無限にあります。細長いものから、幅と長さがほぼ同じものまでさまざまです。正三角形は、形があらかじめ決まっていることでそこから逃れています。3辺がすべて同じで、3つの角がすべて60度なので、選ぶものが大きさしか残っておらず、辺の長さがそれを決めます。だからこのページの入力欄は1つだけで、辺を2倍にすると周長は2倍、面積は4倍になるのです。計算は1つの事実から出てきます。高さを下ろすと三角形は2つの直角三角形に分かれ、それぞれ斜辺が辺、底辺が辺の半分になります。三平方の定理から、高さは辺の2分の√3倍と求まります。面積は底辺かける高さの半分で、辺の2乗の4分の√3倍になります。この2つの定数、√3 ÷ 2と√3 ÷ 4は、見ただけで分かるようになっておく価値があります。この形を作っている2つの数そのもので、下の公式はその2つを辺に当てはめただけだからです。高さは面積への途中の値としてだけでなく、それ自体の測定値として印字されます。製図が必要とする数であり、読者が次にいちばん欲しがる数でもあるからです。

辺が0から10までの正三角形

辺（cm）面積（cm²）周長（cm）高さ（cm）
615.5885185.1962
10.43330.866
21.732161.7321
33.897192.5981
510.8253154.3301
7.524.35722.56.4952
1043.3013308.6603
0000

8つの三角形で、1行目はこのページが開いたときに入っているものです。3列目と4列目を下へたどって、変わらないものに注目してください。高さはいつも辺の0.866倍、周長はいつも辺の3倍なので、どちらの列も辺に決まった数を掛けたものです。変わっているのは2列目で、2行目と3行目がいちばんよく示しています。辺を1から2にすると、周長と高さは2倍にしかなりませんが、面積は4倍になります。面積は長さの2乗で伸び、ほかの2つは長さそのままで伸びるからです。3行目はタイプミスに見える行です。辺が2の三角形は面積が1.7321、高さも1.7321になります。この辺ではどちらも√3で、辺を半分にすると高さの2での割り算が打ち消され、2乗すると面積の4での割り算が打ち消されるためですが、それでも別々の量で、片方は平方センチメートル、もう片方はセンチメートルです。表の中で2つの列が一致する唯一の行で、同じ列を2回計算したのではなく、その1つの辺の偶然です。1行目はほかの三角形のページと出会う行でもあります。辺が6で15.5885になり、ヘロンのページが6・6・6から、二等辺三角形のページが底辺6・脚6から出すのと同じ値です。ここにある数はすべてページのビルド時に辺から計算し直しており、センチメートルで、小数第4位は結果パネルと同じ4桁です。

公式

A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s

辺
3つの辺のうちどれか1つの長さをセンチメートルで表したもの。このページの入力はこれだけです。正三角形は3辺がすべて等しく3つの角がすべて60度に決まっているので、残るのは大きさだけだからです
面積
三角形が覆う広さを平方センチメートルで表したもので、辺の2乗に√3 ÷ 4を掛けたものです。この定数はおよそ0.433で、持ち歩くと便利な数です。正三角形は、辺の上に描いた正方形の4割強しか覆いません
周長
まわり全体の長さをセンチメートルで表したもので、3辺が同じなので辺の3倍です。辺が正確な値ならこれも必ず正確になる唯一の出力で、それが他の2つを確かめる値になる理由です
高さ
頂点から向かい合う辺の真ん中へまっすぐ下ろした距離をセンチメートルで表したもので、辺の2分の√3倍です。垂線ともいい、形が対称なのでどの頂点から始めても同じ線になります
√3
3の平方根で、およそ1.7320508です。面積と高さの両方に現れ、丸めの産物ではありません。三角形を半分に割ると、3辺を同時に整数にはできない直角三角形が残るので、はみ出した数がどこかに出てくるのです
小数第4位
すべての出力が書かれる幅です。面積と高さはほとんどいつも√3を抱えているのでほとんど終わりません。周長は厳密で、小数第4位まで印字するのは固定の幅であって精度の主張ではありません

正三角形でできているものはどれもこのページの対象で、名前から想像するよりずっと多くあります。屋根のトラス、自転車のフレーム、橋の格子、棚の金具はどれも正三角形を使います。三角形は、辺の長さを変えずに形を崩せない唯一の多角形だからです。四角い枠を横から押すとぺしゃんこに折れますが、門の斜めの筋交いがあるのはそのためです。板から三角形を切り出すなら、何枚取れるかを教えるのが面積で、三角形を何段積めるかを教えるのが高さです。上向きに並べると、隣り合う段はちょうど高さ1つ分だけ重なるので、間隔として効くのは面積ではなく高さのほうです。帯を折って形にするなら、必要になる帯の長さは周長に継ぎ目の分を足したものです。図面を確認するなら、高さは三角形の中で決まった場所にあります。形を2つの同じ直角三角形に切り分け、向かい合う辺とはちょうどその真ん中で交わります。ですから、計算した高さが2つの等しい半分を残さないなら、その図面の三角形はラベルに何と書いてあっても正三角形ではありません。算数の注意が1つ、小さい字ではなくここに属します。このページが印字する高さはすでに小数第4位に丸められているので、それを手で掛け戻して面積を出すと最後の1桁がずれます。パネルの2つの値はどちらも正しく、印字された高さを経由する往復で1桁が失われるだけです。

計算例

  1. 辺が6のとき

    1. 周長：3 × 6 = 18
    2. 高さ：(√3 ÷ 2) × 6 = 5.196152… なので四捨五入して5.1962
    3. 面積：(√3 ÷ 4) × 36 = 15.588457… なので四捨五入して15.5885

    このページが開いたときに入っている入力で、覚えておくべき行です。ほかの三角形のページと出会う場所だからです。3辺がすべて6の三角形はこのページで面積15.5885になり、同じ15.5885が、二等辺三角形のページから底辺6・脚6で、ヘロンのページから6・6・6で出てきます。同じ形への3通りの道筋で、3つが最後の1桁まで一致します。算数の落とし穴もここに見えています。6 × 5.1962 ÷ 2は15.5886で上の面積より1桁大きく、その1桁はどちらの公式でもなく高さの丸めで失われています。

  2. 辺が1のとき

    1. 周長：3 × 1 = 3
    2. 高さ：(√3 ÷ 2) × 1 = 0.8660254… なので四捨五入して0.866
    3. 面積：(√3 ÷ 4) × 1 = 0.4330127… なので四捨五入して0.433

    単位三角形で、2つの定数を覚えるための行です。1辺が1の正三角形は高さが0.8660、面積が0.4330になります。1辺が1の正方形の面積が1であるのに対して、同じ辺で覆う広さは半分を少し下回り、√3 ÷ 4がどこから来るのかを見るいちばん素直な形です。3つの値のうち2つは、どちらも小数第4位が0なので末尾の0が落ちて印字されます。

  3. 辺が2のとき

    1. 周長：3 × 2 = 6
    2. 高さ：(√3 ÷ 2) × 2 = 1.7320508… なので四捨五入して1.7321
    3. 面積：(√3 ÷ 4) × 4 = 1.7320508… なので四捨五入して1.7321

    間違いに見えて間違いでない行です。面積と高さがどちらも1.7321と印字されます。この辺では両方とも√3になります。辺を半分にすると高さの2での割り算が打ち消され、2乗すると面積の4での割り算が打ち消されるからです。それでも1つは1.7321平方センチメートル、もう1つは1.7321センチメートルで、この1つの辺の長さでたまたま数値が一致した別々の量です。表のほかの辺では同じことは起きません。

  4. 辺が10のとき

    1. 周長：3 × 10 = 30
    2. 高さ：(√3 ÷ 2) × 10 = 8.660254… なので四捨五入して8.6603
    3. 面積：(√3 ÷ 4) × 100 = 43.301270… なので四捨五入して43.3013

    10センチメートルの三角形で、屋根の金具くらいの大きさです。高さ8.6603は辺の86.6パーセントで、この比は変わりません。正三角形の高さは大きさにかかわらずいつも辺の0.866倍です。上向きに並べて置くなら、段の間隔はこの数で取ります。隣り合う段はちょうど高さ1つ分だけ重なるからです。

  5. 辺が0のとき

    1. 周長：3 × 0 = 0
    2. 高さ：(√3 ÷ 2) × 0 = 0
    3. 面積：(√3 ÷ 4) × 0 = 0

    0は空欄ではなく正規の入力です。1辺が0の三角形は1点に潰れており、3つの測定値がすべて0になるので、0が並んだ行も本当の答えです。空欄のままにするのは別の場合で、何も入っていなければこのページは結果をまったく出しません。手がかりが何もないからです。

適用限界

このページは正三角形専用です。3辺がすべて同じで、3つの角がすべて60度の三角形だけを扱います。二等辺三角形にすぎないもの、直角三角形、そのほかこの長さの辺を1つ持つだけの形は、その1つの数では表せないので、このページはその形が別物だと伝えるのではなく、正三角形としての値を返します。一般の三角形で2辺が分かっているなら、三角形の面積のページが底辺と高さを受け取り、ヘロンのページが3辺を受け取ります。出力は単位の選択が何であってもセンチメートルと平方センチメートルなので、インチで入れた辺はセンチメートルの答えで返ってきます。小数第4位は表示の幅であって精度の主張ではなく、測った辺に対しては過剰な桁数です。高さと面積は独立に印字されます。面積は丸める前の高さから出しているので、印字された高さを手で掛け戻すと小数第4位が1桁ずれますが、これはどちらの値の誤りでもなく丸めの違いです。このページは徹頭徹尾2次元で、物としての三角形の厚みを入れる欄がないので、三角柱の体積や三角形の板の重さは分かりません。

よくある質問

なぜ1つの測定値で正三角形を表せるのですか
形が最初から決まっているからです。正三角形は3辺がすべて同じ長さで、3つの角がすべて60度なので、選べるのは大きさだけになり、辺の長さがそれを決めます。一般の三角形にはそのような余裕がありません。1辺だけでは形が無限にあり、3辺、または2辺とその間の角が分かって初めて三角形が確定します。
高さはどうやって求めるのですか、√3はどこから来るのですか
頂点から高さを下ろすと、三角形は2つの同じ直角三角形に分かれます。それぞれ斜辺が辺、底辺が辺の半分なので、三平方の定理から、高さは辺の2乗から辺の2乗の4分の1を引いたものの平方根、つまり辺の2分の√3倍になります。この半端な数は丸めの産物ではなく、辺の等しい図形を半分に切ったときに残るものです。
印字された高さに底辺の半分を掛けても、印字された面積にぴったりなりません。なぜですか
パネルの高さがすでに小数第4位に丸められていて、面積は丸める前の高さから計算してから別に丸められているからです。辺が6のとき高さは5.1962と印字され、底辺の半分は3なので積は15.5886、面積は15.5885と印字されます。どちらの値も正しく、往復の途中で4桁目が失われるだけで、どちらの計算の誤りでもありません。厳密な面積が必要なら、組み立て直さずに面積の行を使ってください。
高さは辺のどれくらいの割合ですか
三角形の大きさにかかわらず、いつも辺の0.866倍、およそ86.6パーセントです。同じ√3 ÷ 2から出てきます。辺を大きくすれば高さも同じ割合で大きくなるので、両者の比は変わりません。三角形を段に並べるときに使う数で、上向きに並べた段はちょうど高さ1つ分だけ下の段と重なります。
同じ辺の正方形と面積はどう比べられますか
辺が1のとき、正方形が1平方単位であるのに対して三角形はおよそ0.433で、正方形のほうが大きくなります。同じ辺に対して使う材料は少なくて済みますが、その面積に対する周長は短くなるので、比べるなら辺あたりの材料として述べたときに意味を持ちます。実際に三角形が選ばれる理由は面積よりも剛性です。三角形は辺の長さを変えずには変形できませんが、正方形はできます。
辺は0でもよいのですか。空欄のままとは同じですか
0は正規の入力で、3つの出力がすべて0で返ります。大きさのない三角形に対して正直な答えです。空欄は別で、何も入っていなければこのページは結果をまったく出しません。手がかりが何もないからです。この区別は入力中に効いてきます。数を打ち直すために欄を空にしたときに、0の行が一瞬光って見えてはいけないからです。

参考文献

関連する計算ツール

三角形の面積計算底辺と高さから三角形の面積を計算。ヘロンの公式計算三角形の3辺から面積・周長・半周長を計算。二等辺三角形計算底辺と脚から二等辺三角形の面積・高さ・角を計算。三角形計算2辺とその間の角から、残りの辺・角・面積を計算。