ヘロンの公式計算

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

辺a

3辺のうち1つ目の長さ（センチメートル）。3つの入力欄は入れ替え可能で、どれをaと呼びどれをbと呼んでも答えは変わりません。測った順に入力してください

辺b

2つ目の辺の長さ（センチメートル）。残り2辺とともに三角不等式を満たす必要があります。各辺は他の2辺の合計より短くなければならず、そうでなければ3つの長さは三角形として閉じません

辺c

3つ目の辺の長さ（センチメートル）。最も長い辺をどの欄に入れてもかまいませんが、そのあと半周長を読んでください。半周長はそれより大きくなければならず、この比較ひとつが3つの和を計算し直すより手早い確認になります

半周長

三角形のまわりの長さの半分（センチメートル）。3辺を足して2で割った値です。途中の計算ではなく答えとして表示しているのは、公式がこれを軸に書かれているからであり、同時に3辺が出会えるかどうかの確認にもなるからです

面積

三角形が占める広さ（平方センチメートル）。半周長と、そこから各辺を引いた3つの差との積の平方根で求まります。3つの入力をすべて必要とする唯一の出力で、周長は足すだけ、半周長はその合計を半分にするだけです

周長

まわりを一周する長さ（センチメートル）。3辺の合計です。片方がもう片方の途中の値なので混同しやすいこと、そして縁のトリムやエッジ材は周長で買うことから、ここに表示しています

√

4つの因数の積に適用する平方根。ほとんどすべての三角形は無理数の面積を返すので、3、4、5が6を返すように辺の組が整数を生むのは、規則ではなく例外として注目する価値があります

3辺を測ってしまって高さを測っていないとき、つまり実際にはほとんどの場面でこのページが要ります。土地が典型例です。直線で囲まれた区画は辺を測鎖でたどって測量し、面積はそこから直接出ます。不規則な区画は三角形に分け、それぞれをこのページにかけてください。板金や板材も同じで、三角形のガセット、コーナー棚、帆はどれも3つの縁で見積もられ、面積が分かると必要な板材と増える重量が分かります。学校の課題では、高さが扱いにくいときや図形の外に出てしまうときに面積を出す手段になります。鈍角三角形では必ずそうなります。最も広い角から下ろした垂線は向かい合う辺の外側に落ちるので、材料に沿って測ることができません。3つの長さがどこからか来ている場合にも、このページは正直な道です。設計ソフトの出力、切断リスト、辺に寸法が入った図面など、換算するものも測り直すものもありません。注意すべき点が2つあります。1つ目は、3辺が出会えなければならないことです。最も長い辺が他の2辺の合計より長ければ三角形は存在せず、このページは数を返さずにそう告げます。負の数の平方根を求めることになるからです。2つ目は、実測値は不等式をきっちり満たさないことです。辺が10、4、6メートルと書かれた区画は三角形になりませんが、同じ区画をセンチメートル単位まで測ると10.01、3.99、6.00のようになり、面積はごく小さくなります。これは公式が失敗したのではなく、3点がほぼ一直線に並んでいることを算術が伝えているのです。

1. 3辺が3、4、5の三角形

   1. 周長：3 + 4 + 5 = 12
   2. 半周長：12 ÷ 2 = 6
   3. 3つの差：6 − 3 = 3、6 − 4 = 2、6 − 5 = 1
   4. 面積：√(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

   3-4-5の三角形は、建築現場であらゆる直角を出すのに使われる組み合わせで、答えが整数になる最も分かりやすい例です。同時に、このページと三角形の面積のページを突き合わせる確認にもなります。底辺3・高さ4ならあちらは6を返し、3辺ならこちらが6を返します。同じ三角形、2通りの入力、面積は1つです。平方根がきれいに外れるのはこの組の性質であって公式の性質ではなく、他のほとんどの組は無理数を残します。

2. 3辺が6、5、5の二等辺三角形

   1. 周長：6 + 5 + 5 = 16
   2. 半周長：16 ÷ 2 = 8
   3. 3つの差：8 − 6 = 2、8 − 5 = 3、8 − 5 = 3
   4. 面積：√(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

   底辺6・2辺5の二等辺三角形で、隣の二等辺三角形のページが開いたときに入れている既定値そのものです。返ってくる12と周長16も同じです。これがこのバッチ2つ目の突き合わせで、二等辺三角形のページは底辺と脚から、このページは3辺から面積にたどり着き、両者は最後の桁まで一致します。半周長の8が最も長い辺の6より余裕をもって大きいことにも注目してください。これがこの3つの長さが閉じることの確認です。

3. 3辺が6、6、6の正三角形

   1. 周長：6 + 6 + 6 = 18
   2. 半周長：18 ÷ 2 = 9
   3. 3つの差：9 − 6 = 3が3つ
   4. 面積：√(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15.588457…、小数第4位で丸めて15.5885

   正三角形の場合で、15.5885という数への3つ目の道です。正三角形のページは辺6ひとつから、二等辺三角形のページは底辺6・脚6から、このページは3辺6から同じ値を出します。3つのページ、同じ三角形の3通りの書き方、面積は1つです。√243は9√3であり、正三角形のページが定数に抱えている√3がここに現れます。

4. 3辺が5、12、13の三角形

   1. 周長：5 + 12 + 13 = 30
   2. 半周長：30 ÷ 2 = 15
   3. 3つの差：15 − 5 = 10、15 − 12 = 3、15 − 13 = 2
   4. 面積：√(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

   目を引く行です。面積が30で周長も30になっています。同じ量ではなく、単位すら違います。片方は平方センチメートルでもう片方はセンチメートルで、この三角形がたまたま同じ数を2回出しただけです。5-12-13はピタゴラスの三つ組なので直角三角形で、直角三角形は辺の平方が整数になるため、整数に着地しやすい形です。

5. 3辺が9、10、17の三角形

   1. 周長：9 + 10 + 17 = 36
   2. 半周長：36 ÷ 2 = 18
   3. 3つの差：18 − 9 = 9、18 − 10 = 8、18 − 17 = 1
   4. 面積：√(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36

   面積と周長が同じ数を印字する2行目で、こちらは直角三角形ではありません。9の2乗と10の2乗を足すと181、17の2乗は289です。つまり36と36の一致は直角から来ているのではなく、だからこそ指摘する価値があります。1つの表で2行がそうなるから最初の行が規則に見えるのであって、この行がそうでないことの証拠です。

6. 3辺が1、1、2の退化した場合

   1. 周長：1 + 1 + 2 = 4
   2. 半周長：4 ÷ 2 = 2
   3. 3つの差：2 − 1 = 1、2 − 1 = 1、2 − 2 = 0
   4. 面積：√(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

   ちょうどの境界の場合で、拒否されずに通されます。1足す1はちょうど2なので、三角形は2つの短い辺を端どうしつないだ一直線に潰れています。面積は本当に0で周長は本当に4なので、ここで0が返るのは失敗の印ではなく正しい答えです。3つ目の辺を2.1にするとこのページは拒否します。2つの短い辺が届かず、三角形が存在しないからです。

3つの数は三角形を作れなければなりません。各辺が他の2辺の合計より短いことが条件です。満たさない場合、このページは数を返さずに止まってそう告げます。負の数の平方根を求めることになるからです。最も長い辺が他の2辺の合計にちょうど等しい場合は通され、面積0を返します。一直線に潰れた三角形にとってそれが正直な答えです。出力は単位のドロップダウンを何にしてもセンチメートルと平方センチメートルなので、インチで入力した辺はセンチメートルの答えで返ってきます。小数第4位は精度についての主張ではなく表示幅であり、3辺を実測した場合、それぞれの誤差が面積に乗ります。ミリメートル単位まで測った三角形でも、面積は小数第3位あたりが怪しいことはよくあり、最後に印字された桁を意味のある値として読むべきではありません。ヘロンの公式は、非常に細い三角形とも相性が悪い手法です。1辺が他の2辺の合計に近いとき、4つの因数にごく小さなものが1つ現れ、平方根が測定にもともと含まれていた丸めを増幅します。ですから細長い三角形の面積は、何桁印字されていても近似として扱う価値があります。このページは平面の計算で、物理的な三角形の厚みを入れる欄がないため、角柱の体積や板の重量は出せません。

底辺かける高さ割る2ではなく、こちらを使うのはどんなときですか

高さは測りにくく、3辺は測りやすいからです。高さは頂点から向かい合う辺へ下ろす垂線なので、測るには三角形に直角定規を当てがう必要があり、鈍角三角形では図形の外側に落ちてしまいます。各辺に沿って巻尺を当てるのはそこまで手間がかからず、ヘロンの公式はその3つの読みを、高さを一切使わずに面積へ変えます。すでに底辺と高さがあるなら三角形の面積のページを使ってください。計算が短く済みます。

半周長とは何で、なぜ表示されるのですか

周長の半分、つまり3辺を足して2で割った値で、ヘロンの公式が軸にしている量です。面積はsにs引くa、s引くb、s引くcを掛けたものの平方根になります。途中の計算ではなく表示しているのは、確認の役目を兼ねているからです。半周長が最も長い辺より大きくなければ3つの長さは三角形にならず、この比較ひとつで3つの差を計算せずに済みます。

3辺が三角形にならないときはどうなりますか

数を返さずに、このページが止まって知らせます。3つの長さが閉じるのは、それぞれが他の2つの合計より短いときだけです。それが崩れると平方根の中の4つの因数のどれかが負になり、実数の面積は存在しません。メッセージには最も長い辺と他の2つの合計が出るので、測定がどれだけずれているかが分かります。通されるのはちょうどの境界、最も長い辺が他の2つの合計に等しい場合だけで、その三角形は本当に一直線に潰れており、面積0はれっきとした答えです。

名前の由来は何ですか

1世紀にこの公式を書き残したアレクサンドリアのヘロンに由来し、それだけに今も日常的に使われている結果のなかでは古い部類に入ります。書かれた目的は測量で、区画の3辺は測鎖がそのまま与えてくれるものであり、高さはそうではありません。同じ人物の名は資料によってつづりが分かれるため、Hero's formulaと呼ばれることもあります。

面積と周長が同じ数になる三角形があるのは規則ですか

いいえ、表がその理由を示しています。5-12-13の三角形は面積30・周長30、9-10-17の三角形も36と36になりますが、両者は単位の違う別の量で、平方センチメートルとセンチメートルであり、等しくなるかどうかは長さをどの単位で測ったかに完全に依存します。同じ三角形をメートルで測れば周長は100分の1になり面積は1万分の1になるので、2つの数は別れます。この偶然を三角形の性質として読む前に知っておく価値があります。

巻尺で辺を測った場合、面積はどのくらい正確ですか

表示される小数第4位が示すほどには正確ではなく、細い三角形では誤差が大きくなります。測った各辺はそれぞれの不確かさを4つの因数すべてに持ち込み、1辺が他の2辺の合計に近いと因数の1つが非常に小さくなり、平方根がもともとの丸めを増幅します。測定に合わせて丸めてください。辺がミリメートル単位まで正確なら、面積は有効数字3桁程度までで、そのあとにパネルが何を印字していても変わりません。

• Heron's formula — 三角形の3辺から半周長を経て面積を求める公式。このページが計算しているのはこれで、証明と、退化して一直線になった場合の扱いも載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 一般の場合。3つの長さが閉じるかどうかを決める三角不等式と、隣の三角形の面積のページが使っている底辺×高さの面積公式が載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — ヘロンの公式が軸にしている辺の合計の半分で、3つの長さがそもそも三角形を作るかどうかの一番安い判定も兼ねている — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。三角形の三辺の関係と面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部