三平方の定理計算

a² + b² = c²、c = √(a² + b²)、a = √(c² − b²)、b = √(c² − a²)、面積 = ab ÷ 2、周長 = a + b + c

a

2つの脚のうちの片方で、直角で交わるほうの辺です。どちらの脚をaと呼んでもよく、2つの脚の欄は入れ替えが利きます。数値を入れ替えても答えは何も変わりません

b

もう片方の脚です。2つの脚のどちらを埋めてどちらを空けるかは三角形にとって違いになりません。bと書かれた欄は、aに使わなかったほうの欄というだけです

c

斜辺で、直角の向かい側にある3辺でいちばん長い辺です。ここが間違えやすい唯一の欄です。他の辺の欄と同じ顔をしているからです。斜辺は与えた脚より長くなければならないとページが言ってきたら、2つの数が入れ替わっています

不明な辺

空けたままにした1辺で、他の2辺から計算され、いちばん先に表示されます。それがあなたの尋ねた問いだからです。空けた欄によって、脚にも斜辺にもなることに注意してください

面積

2つの脚の積の半分で、単位は平方センチメートルです。使うのは脚だけで、斜辺は直角三角形の面積に決して入りません。検算するときに覚えておくと役に立つ性質です

周長

3辺を足したもので、単位はセンチメートルです。丸める前の長さから計算するので、入力した2つの数と表示された不明な辺を自分で足した値と、最後の1桁で違うことがあります

小数点以下2桁

3つの出力を書く幅です。平方根から出てくる辺は、たまたま整数の組である場合を除いて無理数なので、ほとんどの入力でこの2桁は終わりではなく切り取った場所になります

直角が関わっていて、長さが1つ足りないときはいつでもこのページです。壁に立てかけたはしごでは、測れる2辺が壁と地面で、はしごが斜辺になります。長方形の畑では、柵のために対角線が要り、2辺はすでに分かっています。屋根では、立ち上がりと水平の距離が分かっていて、垂木の長さが分かりません。画面では、対角線が表示されていて2辺が分かりません。長方形とその対角線に還元できるものは、すべてこのページの仕事です。座標の上で計算した距離を確かめるときにも使います。2点の間の水平と垂直の移動が脚で、2点を結ぶ直線の距離が斜辺になります。同じ子類の距離のページとこのページが、同じ算術を別の衣装で持っているのはそのためです。2つの習慣が答えを信じやすくします。斜辺はいつもいちばん長い辺なので、入力した斜辺より長い辺が欠けている辺として出てきたら、2つの欄を逆に埋めた合図です。そして欠けている辺は、他の2辺の和より必ず短くなります。2点の間の直線は、3つ目の点を経由して回り込むどんな道より短いからです。どちらかの境界を破る結果は、算術がどう見えようと誤りです。3辺がそろったら、面積を一度見ておくと検算になります。脚が3と4の三角形は6平方単位を覆い、60を覆うものは小数点の位置がずれています。

1. 脚が3と4

   1. 斜辺が欠けているので足す：3² + 4² = 9 + 16 = 25
   2. 平方根を取る：√25 = 5
   3. 面積：(3 × 4) ÷ 2 = 6
   4. 周長：3 + 4 + 5 = 12

   ページが読み込まれる入力で、3辺がすべて整数になる最小の直角三角形です。ここに出る数はすべて正確で、それが較正の事例になります。3、4、5、面積6、周長12、どこにも丸めがありません。直角三角形を1つだけ覚えるならこれにすべきです。同じ単位のどんな答えでも検算する最短の道だからです。9足す16は25で、そこに還元されない結果はどこかで道を外しています。

2. 脚が5と12

   1. 斜辺：25 + 144 = 169
   2. 平方根：√169 = 13
   3. 面積：(5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. 周長：5 + 12 + 13 = 30

   次の整数の組で、誤りと取り違えないように気づいておく価値のある偶然でもあります。面積と周長がどちらも30です。これはこの三角形に固有の性質であって規則ではなく、規則でないことはすぐ自分で示せます。上の3・4・5の三角形は面積6・周長12で、等しくありません。直角三角形の面積は脚の積の半分、周長は3辺の和で、この2つが一致するのは脚が特定の1つの方程式を満たすときに限られます。

3. 脚と斜辺が分かっていて、脚が欠けている場合

   1. 欠けているのは脚なので引く：10² − 6² = 100 − 36 = 64
   2. 平方根を取る：√64 = 8
   3. 面積：(6 × 8) ÷ 2 = 24
   4. 周長：6 + 8 + 10 = 24

   引き算を使う向きで、2つの演算が符号1つしか違わないために人を引っかけるほうです。3・4・5の三角形を2倍にしたもので、面積と周長がまた同じ数になるのはそのためです。すべての辺を2倍にすると面積は4倍、周長は2倍になり、ここではその2つが交わります。画面から答えを読むと、欠けている辺8は斜辺10より短く、脚6より長く、あるべき位置にきちんと収まっています。

4. 別の組み合わせから、もう片方の脚

   1. 欠けているのは脚なので引く：169 − 144 = 25
   2. 平方根：√25 = 5
   3. 面積：(5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. 周長：5 + 12 + 13 = 30

   2番目の例と同じ三角形を、別の組み合わせの欄から解いたもので、ページ自身による自己確認にあたります。5・12・13の三角形は2つの脚からも、脚と斜辺からも解けます。2番目の例が前者、これが後者で、どちらの道でも同じ3辺が出なければなりません。ここで空ける欄が違うことに注意してください。上の例と同じく答えは脚ですが、上では脚bだったのに対し、ここでは脚aです。埋める欄も脚aから脚bに移り、斜辺の欄はどちらでも埋まっています。

5. 2つの脚が同じ

   1. 斜辺：1 + 1 = 2
   2. 平方根：√2 = 1.4142135…、四捨五入して1.41
   3. 面積：(1 × 1) ÷ 2 = 0.5
   4. 周長：1 + 1 + 1.41421 = 3.41421…、四捨五入して3.41

   最小の直角二等辺三角形で、答えがたいてい整数にならないことを示す標準的な例です。1辺が1の正方形の対角線は2の平方根で、終わることも繰り返すこともない数です。1対1対√2の辺の比を持つ整数の三角形は存在せず、だからこそこの定理の答えは丸めなければなりません。ここで面白いのは周長です。丸める前の斜辺に依存する唯一の出力で、表示された2つの数と表示された1.41を自分で足してもこの入力では同じ値になりますが、すべての入力でそうなるわけではありません。

6. 脚が0.5と1.2

   1. 斜辺：0.25 + 1.44 = 1.69
   2. 平方根：√1.69 = 1.3
   3. 面積：(0.5 × 1.2) ÷ 2 = 0.3
   4. 周長：0.5 + 1.2 + 1.3 = 3

   変装した整数の組です。0.5、1.2、1.3は5・12・13の三角形のすべての辺を10で割ったもので、小数が付いているのに丸めではなく正確です。整数の組は縮尺が利くので、無限に存在することになり、見た目の厄介な小数の辺を持つ直角三角形でもきれいに出ることがあります。小数の答えが丸めた答えと同じではないことも示します。この1.3は正確で、上の例の1.41はそうではありません。そしてページには、どちらを見ているのかを教える手段がありません。

このページは1辺を解き、面積と周長を付けます。与えられた辺が整数の組になるか、二等辺三角形か、その他どんな三角形かは教えてくれません。それは省略ではなく判断です。ある3辺がピタゴラスの組かどうかという問いは、このページの内部からは信頼できる形で答えられません。解算器が受け取る数はすでにセンチメートルに換算されているからです。3インチと4インチの辺は7.62と10.16として届き、元の3・4・5が整数の組だったかという情報は、換算がすでに捨てています。ユーザーが選んだ単位によって答えの変わる判定は、判定しないより悪いので、ページは黙っています。別の道具がふさわしい場所です。出力はドロップダウンが何を言っていてもセンチメートルと平方センチメートルで、換算は三角形を解く前に行われます。2乗は線形ではないので、元の単位で解いてから答えを換算するのとは違う結果になり、インチで打ち込んだ整数の組が整数のセンチメートルを生むことはありません。欠けている辺は平方根から出るので、ほとんどすべての入力で無理数です。ですから小数第2位は完全な答えではなく切り口ですが、入力そのものは正確であることもあります。周長と面積は丸める前の長さから計算するので、画面に出た数を組み合わせて復元すると最後の1桁で違うことがあります。3つの欄のうちちょうど2つを埋めます。1つだけでは形が決まらないので拒否され、3つすべてでは辺どうしが互いを縛るので、食い違う組はどの三角形も記述しないため拒否されます。辺の0は受け付けません。隣の円のページで半径0がそうであるのとは違い、辺の長さが0の三角形は存在せず、面積も周長も意味を失います。斜辺は、一緒に入れた脚より厳密に長くなければならず、そうでないときはエラーコードではなく2つの数を入れ替えるよう促します。そのメッセージは2つの欄を逆に埋めたという意味で、この形がいちばん招きやすい間違いです。最後に、これは直角を持つ平面三角形なので、斜三角形や球面上の三角形はこの定理の守備範囲の外です。

どの2つの欄に入れればよいですか

3つのうちどれでも2つです。2つの脚でも、片方の脚と斜辺でも動きます。どちらの場合かは、どの欄を空けたかを見てページが判断します。受け付けないのは1つだけのときと3つすべてのときです。1辺だけでは直角三角形が決まらないので解く対象がなく、3つすべてでは過剰に決まってしまいます。どの2辺でも残りは決まるので、食い違う組の後ろには三角形がありません。

足せばよいのか引けばよいのかはどう見分けますか

どの欄を空けたかで決まります。斜辺が欠けているなら、2つの脚をそれぞれ2乗して足し、平方根を取ります。脚が欠けているなら、斜辺の2乗から分かっている脚の2乗を引き、残ったものの平方根を取ります。どちらの場合かは入力の形からページが決めます。電卓ではなくこのページを使う主な理由がそれで、2つの場合は符号1つしか違わず、取り違えると、いかにも正しそうな誤った答えが出ます。

斜辺は脚より長くなければならないと出ました。何を間違えたのですか

2つの数が違う欄に入っています。斜辺は直角の向かい側の辺で、いつも3辺でいちばん長く、脚より短くなることも等しくなることもありません。2つの値を入れ替えれば直ります。このページでいちばん多い間違いがこれなのは、2つの欄が同じ顔をしているからです。素の入力欄のどこにも、長い辺を入れるのはどちらかとは書いてありません。5と5と3の三角形は存在しません。

整数を入れたのに、欠けている辺に小数が付くのはなぜですか

整数の平方根はたいてい整数にならないからです。辺がすべて整数の直角三角形、3・4・5、5・12・13、8・15・17は実在し、数も無限にありますが、すべての直角三角形の中では少数派です。それ以外では欠けている辺は無理数になり、表示される小数第2位はそこで切った場所です。7.62という答えは近似で、8という答えは正確です。

3・4・5かどうかを判定してくれますか

いいえ、意図的に判定しません。算術が走る時点で長さはセンチメートルに換算済みなので、3インチと4インチで入れた三角形は7.62と10.16として解算器に届きます。元の辺が整数だったかという情報は、問いを立てる前に消えています。選んだ単位によって答えの変わる判定は判定しないより悪いので、このページは辺を解くだけにして、分類は別の道具に任せます。

面積と周長は同じですか

偶然一致するだけで、このページの表にもその偶然が1つ載っています。5・12・13の三角形は面積30平方センチメートル、周長30センチメートルです。2つは別の種類の量で、等しいのは数字の上だけです。直角三角形の面積は脚の積の半分、周長は3辺の和で、この三角形とほんの一握りの三角形でたまたま一致します。2行上の3・4・5の三角形は面積6に対して周長12です。

辺に0を入れてもよいですか

いいえ。辺の長さが0の三角形は三角形ではありません。3点が一直線に並ぶか重なることになり、面積も周長も意味を失います。同じ子類の円のページでは半径0が点に縮んだ円を表す正規の入力になるので、これは本当の違いです。0の辺はこのページでは入力欄の時点で拒否され、負の長さも同じように拒否されます。

• Pythagorean theorem — 直角三角形の脚と斜辺の関係。導入が引いている歴史もここにある。ピタゴラスより一千年以上前のバビロニアの計算での使用、初期のインドと中国の資料、中央の正方形のまわりに図形を並べて3辺の上の正方形の関係を導く『周髀算経』の割補による証明（Dauben 2007, Maor 2007） — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean triple — 3、4、5のような辺がすべて整数の組。このページはそれを生み出すが意図的に判定しない。それが規則ではなく例外である理由も含む — Wolfram MathWorld (United States)
• Right triangle — このページが解く形。斜辺を直角の向かい側の辺、したがって3辺でいちばん長い辺と定義している — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。三平方の定理とその逆は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部