2点間の距離計算

距離 = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) xの変化量 = x₂ − x₁ yの変化量 = y₂ − y₁

1つ目の点

xとyの組で、測り始める側の点。座標はただの数なので、負の数でも小数でも0でもよく、単位を選ぶ欄はありません

2つ目の点

測り終える側の点で、決まりは同じ。1つ目の点から見てどの方向にあってもかまわず、真上・真下・真左・真右も含みます

xの変化量

2つ目のxから1つ目のxを引いた値で、横方向の変化量。負の値なら2つ目の点は1つ目の点より左にあり、傾きを求めるときの横の移動と同じ数になります

yの変化量

2つ目のyから1つ目のyを引いた値で、縦方向の変化量。負の値なら2つ目の点のほうが低い位置にあり、この2つの変化量が直角三角形の2辺を作ります

距離

2つの変化量をそれぞれ2乗して足し、平方根を取った値。負にはならず、0になるのは2点がぴったり重なるときだけです。ふつうは無理数になるので小数第4位に丸めます

2つの点があって、どちらへ向かうかは気にせず間の隔たりだけを知りたいときは、いつでもこれを使ってください。地図上の2つの基準点がどれだけ離れているか、2本の支柱の間に張る柵はどれだけ要るか、部屋を斜めに横切るケーブルは何メートル要るか、配送先が倉庫から直線でどれだけ離れているか。長い計算がおかしくなったときの点検にも向いています。平面上に置ける2つの結果は互いに測り合うことができ、桁が1つずれて出てきた距離は、その上流のどこかで符号を間違えた印です。2つの変化量は別の仕事で役に立ちます。隔たりのうち横にどれだけ、上にどれだけかを直接答えてくれるうえ、符号付きで答えるので大きさだけでなく向きも分かります。傾き・角度・方位を出す前に必要なのはまさにこれで、距離のページはそれらを1つも出しませんが、それらすべての土台になる2つの数を手渡してくれます。身につけておきたい習慣が1つあります。答えを読む前に、2つの変化量を頭の中で2乗してください。9 + 16は25なので距離5は正しく、距離50と出たら小数点の位置がずれている疑いがあります。

1. 横に3、縦に4

   1. xの変化量：3 − 0 = 3
   2. yの変化量：4 − 0 = 4
   3. それぞれ2乗：9と16
   4. 足して平方根：√25 = 5

   このページが開いたときに入っている組み合わせで、3辺とも整数になる最小の直角三角形です。注目すべき点が2つあります。2つの変化量が入力した数そのものになるのは、片方の点が原点にあるときだけです。そして距離が丸めた平方根ではなく正確な値になるのも、このページでは珍しいことです。この入力を基準に使ってください。ここで5が返れば計算は正しく、他の場所で奇妙に見える答えは入力の性質であって不具合ではありません。

2. 距離が無理数になる対角線

   1. xの変化量：5 − 1 = 4
   2. yの変化量：8 − 2 = 6
   3. それぞれ2乗：16と36
   4. 足すと52になり、その平方根は7.21110255…なので四捨五入して7.2111

   きれいに出る例ではなく、ふつうの例です。52は平方数ではないので答えは無理数になり、印字された4桁は答えの全体ではなく先頭部分にすぎません。手間のかからない便利な確認方法があります。距離はどちらの変化量よりも長くなければならないので、変化量4と6に対して7.2111は妥当です。逆に、長いほうの変化量より短い距離が出たら、平方根を取る相手を間違えています。

3. 同じ2点を逆から測る

   1. xの変化量：0 − 3 = −3
   2. yの変化量：0 − 4 = −4
   3. それぞれ2乗：2乗すると符号が消えて9と16
   4. 足して平方根：√25 = 5

   3-4-5の線分の両端を入れ替えたもので、2つの性質を同時に示す最も分かりやすい例です。2つの変化量がどちらも負になるのは、差をどちらも逆方向に測っているためです。一方で距離は5のままです。2乗する段階で符号が先に捨てられるからです。距離が常に正なのはこれが理由で、距離は長さであり、測った向きは計算に一切入りません。

4. 何百万という単位の距離

   1. xの変化量：6,000,000 − 0 = 6,000,000
   2. yの変化量：8,000,000 − 0 = 8,000,000
   3. それぞれ2乗して足す：3.6 × 10¹³ + 6.4 × 10¹³ = 10¹⁴
   4. 平方根を取る：10,000,000

   3-4-5の三角形を200万倍にしたもので、方眼紙ではなくメートル単位の投影座標をそのまま入れるとこうなります。数の大きさでこのページの挙動は変わりません。2つの変化量は入力と同じだけ正確で、距離も整数のまま出ます。大きな座標では丸めが入ると考えている読者が、正確な答えを疑わないようにするための行です。

5. 同じ点を2つ入力する

   1. xの変化量：2.5 − 2.5 = 0
   2. yの変化量：−1.5 − (−1.5) = 0
   3. それぞれ2乗：0と0
   4. 足して平方根：√0 = 0

   同じ点を2回入れたときの距離0は正しい答えで、0を出せる入力はこれだけです。2乗の和が0になるのは、どちらの2乗も0のときしかありません。このページはこれを空の結果として扱いません。変化量の列に0が並んでも、入力欄が埋まらなかったわけではないと分かるように、一度は見ておく価値があります。

このページは平面の中で測り、平面の中でしか測りません。3つ目の座標を入れる欄がないので、空間にある2点の距離は出せません。3つ目の軸の差も足す必要があり、このページにはそれを置く場所がありません。zを任意入力にする案は検討したうえで捨てました。片方の点にだけzがある場合にまともな答えがなく、そうすると同じ仲間の座標ページ2つも同じ欄を抱えることになるからです。座標に単位はないので、答えは測った単位そのままです。単位の混在にも気づけません。片方の点がメートルでもう片方がミリメートルなら、計算は何事もなく進んで間違った数を返し、ページは何も言いません。2つの変化量は距離ではなく符号付きの差なので、負の値で印字されても正しい答えであり、直すべき誤りではありません。距離そのものは小数第4位に丸めており、ほとんどの場合無理数なので、印字された値は桁がそこで止まるという意味です。座標は±10億までに限られます。方眼紙にはるかに大きな範囲ですが、メートル単位の投影座標系には収まらないことがあり、その場合は計算せずに断ります。最後に、これは直線距離であって経路ではありません。道路や壁や海岸線に沿って進む必要があるとき、ここに出る数は取りうる最短の経路で、実際に進める距離より必ず短くなります。

距離の公式とは何ですか

座標を入れた三平方の定理です。2つのxの差と2つのyの差を取り、それぞれを2乗して足し、平方根を取ります。この2つの差が直角三角形の2辺で、距離はその斜辺にあたるので、公式は別に覚える規則ではなく、点と点の間の移動に三角形の規則を当てはめたものになります。(0, 0)と(3, 4)なら√(9 + 16)で5です。

変化量が負になることがあるのはなぜですか

変化量は間隔ではなく向きを持った移動だからです。xの変化量は2つ目のxから1つ目のxを引いた値なので、2つ目の点が1つ目の点より左にあるときちょうど負になります。yの変化量も同じで、2つ目の点が低いときに負です。このページは符号を意図的に残しています。2つ目の点がどちら側にあるかを語る唯一の情報であり、傾きや方位を求めるときに次に必要になる数だからです。距離そのものは符号を無視します。2乗の段階で消えるからです。

3次元の点でも使えますか

使えませんし、このページは使えるふりもしません。3つ目の座標を入れる欄がないからです。3次元の距離には3つ目の軸の差も必要で、2乗和に足してから平方根を取ります。座標が2つしかなければ、ページは3つ目の値を勝手に決めるしかありません。空間の2点を扱うときは、このページで平面の距離を出し、高さの差と自分で組み合わせてください。その一手間をこのページが代わりにやることはありません。

座標の単位はメートルですか、センチメートルですか

入れた単位がそのまま答えの単位です。このページは座標をただの数として扱い、答えに単位を付けず、単位を選ぶドロップダウンも用意していません。方眼紙や地図の格子から取った座標には、何で描かれたかを決めるまで単位がないからです。メートルで入れたなら距離もメートル、経度の度で入れたなら距離も度です。後者は、地球上のどこなのかが分からなければキロメートルに換算できません。

距離が負や0になることはありますか

負にはなりません。2つの変化量は2乗の段階で符号が消え、負でない数の平方根も負にはならないからです。0になるのは2つの変化量がどちらも0のとき、つまり2つの点が同じ点であるときだけです。これは失敗した計算ではなく正しい答えです。離れた2点であれば、どんなに近くても距離は正になります。

電卓なしで答えを確かめるにはどうしますか

2つの変化量をそれぞれ2乗して足し、その合計がどの数の2乗になるかを考えます。4と6なら16 + 36で52、7.2111の2乗は52に近いので、52が平方数でなくても答えは正しい範囲にあります。確認を速くする性質が2つあります。距離は直角三角形の斜辺なので、どちらの変化量よりも必ず長くなります。そして2つの変化量を足した長さよりは必ず短くなります。この範囲から外れたら間違いです。

• Distance — 平面上の2点間の距離。座標の差を2乗して足し、その平方根として与えられ、このページが評価している式そのもの — Wolfram MathWorld (United States)
• Cartesian Coordinates — 点を2本の軸からの垂線の長さで名付ける座標系。このページの2つの変化量が水平と垂直になるのは、この設定の中だから — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — 直角三角形の2辺と斜辺の関係。座標の差が2辺、距離が斜辺にあたるので、距離の公式はこれと同じもの — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平面直角座標系における2点間の距離の公式は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部