2点の傾き計算

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)、θ = arctan(m)、勾配% = m × 100

m

傾き、つまりrise over run。右へ1単位進むごとに直線がどれだけ登るかです。ある距離を別の距離で割ったものなので単位は付きません。正ならxが増えるにつれて登り、負なら下り、0なら水平です。このページの主役の答えで、2点を入れ替えても生き残る唯一の値でもあります。入れ替えると変化量がどちらも符号を変え、負どうしの比は同じ比になるからです

Δy = y₂ − y₁

yの変化量。2つのyの値の差で、傾きの分子です。符号はそのまま残ります。yが5から1へ下がれば変化量は−4で、このマイナスが傾きを負にします。2点のあいだの垂直距離を測って得られる数でもあり、傾きを手で確かめられるようにページに印字されます

Δx = x₂ − x₁

xの変化量。2つのxの値の差で、傾きの分母です。2点のあいだの水平距離で、傾きや角度と違って、左から右へ読む限り実際には負になりません。ただしページは引き算が出した符号をそのまま保ちます。0であってはなりません。xの変化量が0なら垂直な直線で、傾きを持たず、ページはゼロで割らずに止まります。ここで効くのは組み合わせです。x₁はy₁と、x₂はy₂と組になります。4つの数を入れ替えて、測ったのとは違う点にしてしまうと、別の直線の傾きが出ます

θ = arctan(m)

勾配の角度。度で、直線が水平となす角、小数第2位まで印字されます。傾きの逆正接から出るので、常に−90度から90度の間にあり、180度ごとに同じ値を繰り返します。2点を通る直線は両方向へ続いていて、この角度が表すのは特定の線分ではなく直線の向きだからです。傾き0.5なら26.57度、1なら45度、急な10なら84.29度——直線が垂直に近づくほど角度は90度に詰め寄りますが、そこへ届くことはありません

勾配% = m × 100

同じ傾きを百分率の勾配で書いたもの。小数第2位までで、立ち上がりが水平距離に対して何パーセントかです。傾き0.5は50パーセント、1は100パーセント、緩い12分の1は8.33パーセントになります。百分率は角度ではなく、この2つは混同しやすいものです。100パーセントの勾配は45度にしかなりません。勾配は立ち上がりを水平距離と比べ、角度は斜辺と比べるからです

手元にあるのが2点のとき、つまり実際には測定値ではなく座標のときに使ってください。敷地図上の2つの測量位置、グラフから読んだ2つの値、図面から拾った2つの角、xとyの値の表の2つの行。このページは、2点間の距離のすぐ次に来る問いに答え、しかも数学で直線を記述するときの形で答えます。傾きが出れば直線の式はそこから直接続きます。下り坂の直線にとっても正直なページで、傾きの符号は捨てられずに印字されます。立ち上がりと水平距離がすでに別々の距離として測られていて、問いが現場に書かれている形のとき——1フィートあたり1インチの下がり、1メートルあたり2センチの上がり——はelevation gradeのページを使ってください。あちらは座標の引き算を飛ばして、その2つの数を直接受け取ります。欲しいのが2点のあいだの長さで、そこを通る直線の向きではないときは、距離のページを使ってください。その線分のちょうど中間の点が欲しいときは中点のページ、中点と片端があってもう片端が欲しいときは端点のページです。4つ揃うと、同じ線分の長さ・位置・向き・終わりを記述することになります。

1. 点(0, 0)と(4, 2)

   1. yの変化量：2 − 0 = 2
   2. xの変化量：4 − 0 = 4
   3. 傾き：2 ÷ 4 = 0.5
   4. 勾配の角度：arctan(0.5) = 26.565…° → 26.57
   5. 勾配：0.5 × 100 = 50%

   初期値の行で、いちばん手で確かめやすい行です。原点から始めるとyの変化量が2点目のy、xの変化量がそのxになるからです。傾き0.5は右へ1進むごとに0.5だけ上がるという意味で、気づかないまま歩ける程度の緩さです。バリアフリーのスロープは12分の1ほどで、この6分の1です。3つの値はページの意図どおりに噛み合っています。0.5、26.57度、50パーセントは同じ傾きを3通りに書いたもので、このうちメジャーで測れるのはxの変化量の4だけです。

2. 点(1, 2)と(5, 8)

   1. yの変化量：8 − 2 = 6
   2. xの変化量：5 − 1 = 4
   3. 傾き：6 ÷ 4 = 1.5
   4. 勾配の角度：arctan(1.5) = 56.309…° → 56.31
   5. 勾配：1.5 × 100 = 150%

   どちらの点も原点にない、ごく普通の場合で、このページが座標を読むのではなく引き算する理由を見せる行です。2点とも原点の右上にあり、どちらの座標もそれ単独ではyの変化量でもxの変化量でもありません。150パーセントという勾配は人を驚かせる値です。100を超える百分率は不可能に聞こえますが、そうではなく、横に進むより多く登るというだけのことです。勾配の角度56.31度がその確認になります。傾きが1を超えるものは45度より急で、下回るものは緩いのです。

3. 点(0, 0)と(12, 1)

   1. yの変化量：1 − 0 = 1
   2. xの変化量：12 − 0 = 12
   3. 傾き：1 ÷ 12 = 0.08333… → 0.0833
   4. 勾配の角度：arctan(0.08333…) = 4.763…° → 4.76
   5. 勾配：0.08333… × 100 = 8.33%

   緩い勾配の行で、elevation gradeのページと同じ数で出会う行です。ここでは12の水平距離に対して1の立ち上がりが8.33パーセント、あちらでは1フィートあたり1インチの立ち上がりが8.33パーセント——同じ比を2通りに書いたもので、片方は2点から、もう片方は測った2つの距離からです。この比は多くの建築基準でバリアフリースロープの上限になっています。それを傾き0.0833、角度4.76度として読めるようにするのがこのページの追加分です。角度は小さく、だからこそ勾配は百分率で書かれるのです。4.76度は狙って作るのが難しく、12分の1は測るのが簡単です。

4. 点(2, 5)と(7, 1)

   1. yの変化量：1 − 5 = −4
   2. xの変化量：7 − 2 = 5
   3. 傾き：−4 ÷ 5 = −0.8
   4. 勾配の角度：arctan(−0.8) = −38.659…° → −38.66
   5. 勾配：−0.8 × 100 = −80%

   下り坂の直線で、このページが比だけでなく変化量も印字する理由です。マイナスはyの変化量から来るので、−0.8だけ見せられた読者には、xの変化量を逆に取ったのかどうかが分かりません。xの変化量は右への距離なので正の5のままで、符号を運ぶのは垂直方向だけです。左から右へ読むと、この直線は1メートル進むごとに80センチメートル下がります。排水の勾配や階段の側桁が仕様として書かれるときの数で、符号を落とすと積極的に誤解を招くものです。

このページは2点から直線の傾きを出すだけで、それ以外は何もしません。3点以上に直線を当てはめることも、直線がどちらの軸とどこで交わるかを報告することも、直線の式を与えることもありません。印字する傾きはその式の前半分ではありますが。逆も向きません。傾きだけでは直線ではなく向きを表していて、傾き0.5の直線は無限にあります。もう1つ点が要り、それをこのページが出すのと同じ数でやるのが点傾斜形です。4つの座標はただの数で単位を持たないので、換算するものも選ぶものもありません。点がメートルなら傾きはメートル毎メートル、xの変化量はメートルですが、ページはどちらにもラベルを付けません。単位を混ぜても警告できないのも同じ理由です。xをメートル、yをセンチメートルで入れるとそのまま割り算して、100倍大きすぎる傾きを、何もおかしい様子もなく返します。垂直な直線は答えずに拒否されます。垂直な直線の傾きは存在しないからです。2点が同じxを共有していたら、本当に別々の2点かどうかを確かめてください。同じ点を2つ入れても同じ拒否になります。水平な直線は答えられ、傾きも角度も0になります。2点を入れ替えても傾きと角度は変わりません。2つの差が一緒に符号を変えるからです。ただし座標の組み合わせを間違えて、x₁をy₂と組にすると、黙って別の直線を記述することになり、このページのどんな検査もそれを捕まえられません。どんな4つの数でも、何かの直線の座標になるからです。ここに分级はありません。緩いも急も相対的な判断で、ページはどちらもしません。傾きは小数第4位、角度と勾配は小数第2位まで印字されますが、これはこのサブカテゴリの他ページと共有している表示幅で、精度の主張ではありません。傾き0.0833は12分の1を丸めたもので、1メートルの水平距離に対してセンチメートルまで正確な測量が、最後の1桁を正当化することはありません。

2点から傾きを求めるにはどうするか

yの値を引いてyの変化量を出し、xの値を引いてxの変化量を出して、割ります。傾きは (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) です。点(0, 0)と(4, 2)なら変化量が2と4なので、傾きは0.5になります。どちらの点を1つ目と呼ぶかは関係ありません。入れ替えると2つの差がどちらも符号を変え、マイナスどうしが打ち消し合うからです。ただしx₁はy₁と組にする必要があります。

傾きを度に直すにはどうするか

傾きの逆正接を取ります。傾き0.5なら26.57度、1なら45度、10なら84.29度です。角度は常に−90度から90度の間に収まります。逆正接は直線の2つの向きを区別しないからです。2点を通る直線は両方向へ続いていて、この角度が表すのはそれに沿った向きではなく急さです。

傾きが負とはどういうことか

左から右へ読むにつれて直線が下るということです。点(2, 5)と(7, 1)は5進むあいだに4下がるので、傾きは−0.8、勾配の角度は−38.66度になります。マイナスはエラーではなく、ページが絶対値を取ることもありません。上るスロープと流れ落ちる排水溝の違いで、同じ数から作られる正反対の納まりです。xの変化量は正のままで、符号を運ぶのはyの変化量だけです。

100パーセントの勾配は90度と同じか

違います。勾配に関して最も多い混同がこれです。100パーセントの勾配は立ち上がりと水平距離が等しいという意味で、傾き1、つまり45度であって90度ではありません。勾配は立ち上がりを水平距離と比べ、角度はそれを斜めの距離そのものと比べます。100パーセントより急なことも十分あり得ます。傾き1.5は150パーセントの勾配で、角度は56.31度にすぎません。角度が90度に近づくのは、勾配が無限大に向かうときだけです。

2点のxが同じだったらどうなるか

その直線は垂直で、傾きを持ちません。xの変化量が0で割り算が定義できないので、ページは無限大を印字せずにそう告げます。垂直な直線の傾きは、とても大きな数なのではなく、存在しないからです。別々の2点のつもりならxの値を確かめてください。本当に垂直なら、距離のページが2点のあいだの長さを返します。垂直な直線が持っているのはそれだけです。

elevation gradeのページとは何が違うのか

同じ数を別の入力から計算します。このページは2点を受け取って座標の引き算を自分でします。elevation gradeのページは、すでに測った2つの距離として立ち上がりと水平距離を受け取ります。現場で勾配がそう書かれるからです。1フィートあたり1インチの下がり、1メートルあたり2センチの上がり。ここで点(0, 0)と(12, 1)は8.33パーセントで、あちらのページが1フィートあたり1インチの立ち上がりに対して出すのと同じ数です。あちらの2つの欄は単位が揃っていないことに注意してください。立ち上がりはインチ、水平距離はフィートで読むので、同じ比は1と12ではなく1と1として入れます。

• Slope — rise over run。下る直線の符号の決め方と、傾き・傾斜角・勾配の間の関係 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — 2点を通る直線。その向きがこのページの計算する傾きで、他の性質はそこから従う — Wolfram MathWorld (United States)
• Point-Slope Form — 2点から出した傾きが次に使われる場所。その2点を通る直線の式で、傾きと1つの点が要る — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。一次関数のグラフと傾き、および直交座標系における2点間の関係は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部