中点計算
計算結果
中点x
- 中点y
- 5.0000
- 中点から端点までの距離
- 3.6056
中点の計算ツールは、線分の2つの端点を入力すると、そのちょうど真ん中にあたる点を返します。求め方は、2つのxの値を平均し、2つのyの値を平均するだけです。点（1, 2）と点（5, 8）を結ぶ線分の中点は（3, 5）になります。1と5の平均が3で、2と8の平均が5だからです。これが中点の公式で、この2回の平均以外に何もありません。2点の中間点を求めるとはそういうことです。2つの座標に加えて、このページは線分の半分の長さも印字します。さきほどの組なら3.6056です。3行目は飾りではありません。座標はそれだけでは検算しにくいものです。中点が（500, 800）でも（5, 8）でも画面上は同じくらい自然に見え、どちらの数にも、算術がどちらを出したのかという手がかりがありません。半分の長さにはそれがあります。中点から両端までの距離で、この2つは一致しなければなりません。両端から等距離にあることが、その点を中点たらしめている性質そのものだからです。もとの線分と見比べてください。半分の長さは全体の長さの半分になっているはずで、そうなっていなければ小数点の位置がずれていても見逃されません。入力を触る前に知っておく価値のあることが3つあります。座標は長さではなくただの数なので、選ぶ単位がなく、印字もされません。点がメートルなら答えもメートル、グラフから読み取ったなら方眼の目盛りがそのまま単位、緯度と経度なら半分の長さは度であってキロメートルではありません。4つの入力欄はマイナス10億から10億までを受け付けます。この上限は座標がどれだけ大きくなるかという主張ではなく、このページが2つの端点の和を取ってから半分にするためで、ある大きさを超えるとその和が正確でなくなるからです。すべての数は小数第4位まで、末尾の0も含めて書きます。だから割り切れた中点も3.0000として返ってきます。
覚えておく価値のある線分とその中点
| 点1のx | 点1のy | 点2のx | 点2のy | 中点x | 中点y | 半分の長さ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 5 | 8 | 3 | 5 | 3.6056 |
| 0 | 0 | 10 | 0 | 5 | 0 | 5 |
| 4 | -7 | -4 | 7 | 0 | 0 | 8.0623 |
| 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 0 |
| -3 | 4 | 7 | -2 | 2 | 1 | 5.831 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
線分6本で、最後の3列がこのページの返す値です。1行目から読んでください。このページが開いたときに入れている行です。点（1, 2）から点（5, 8）への線分は右へ4・上へ6で、中点は1つ目の端点から右へ2・上へ3のところにあり、半分の長さ3.6056はその一歩の対角線です。2行目は同じ形を平らに置いたもので、yがどちらも0なので中点yも0になり、半分の長さは右へ10の半分そのものです。3行目は符号を間違え続けている人が読むべき行です。2つの端点が原点を挟んで互いに鏡像なので、原点がちょうど真ん中に来て、中点の座標はどちらも0になります。これは空欄ではなく本物の答えで、このページで0の並んだ行は入力漏れを意味しません。4行目は長さ0の線分で、返される3列のうち3番目を0にできる唯一の入力です。5行目は2つの差がどちらも偶数になる組で、だから見た目の不揃いな座標が平均して整数になります。最後の行は両端がどちらも原点なので、7列すべてが同時に0になります。ここの数はすべてページのビルド時に4つの座標から作り直したもので、計算機が返す値とずれることはありません。
公式
中点x = (x₁ + x₂) ÷ 2、中点y = (y₁ + y₂) ÷ 2、半分の長さ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2
- 1つ目の端点
- 線分の一方の端をxとyで表したもの。どちらの端を先に入れても構いません。2組を入れ替えても中点は変わりません。足し算は順序を気にしないからです
- 2つ目の端点
- もう一方の端で、規則は同じです。どちらの端点が大きい必要もないので、2つ目のxが1つ目より小さくてもよく、座標は負でも構いません
- 中点
- 2つの平均を軸ごとに1つずつ、それぞれ小数第4位で丸めたもの。これが答えで、つねに2つの端点の間にあります。中点が端点の外に出たら、どこかで符号が落ちています
- 半分の長さ
- 中点からどちらかの端点までの距離。丸めた中点からではなく2つの端点から直接計算します。両端に対して同じ数になり、この行が存在する理由である検算を与えてくれます
- 小数第4位
- このページのすべての数を書く幅で、精度についての主張ではありません。座標は末尾の0まで印字し、半分の長さは終わらない平方根であることが多いので、4桁で切ります
名前のついた2つのもののちょうど間に何かを置きたいときは中点の出番です。地図上の2つの町の真ん中、直径の中心、測量士が杭を打つ点、これから何かを掛けようとしている壁の中央、グラフ上の2つの図形のつり合う点。いずれの場合も両端が手元にあって、その間にあるものが欲しいわけで、座標ごとに平均を取ればそれが得られます。円周上の正反対にある2点が分かっているときに円の中心を出す最速の方法でもあります。円の中心はどの直径の中点だからです。このページの残りの半分は、人が使うのを忘れがちな部分です。中点は規則が生んだ2つの数の組ではなく、両端から同じ距離にある点であり、半分の長さの出力はそれをその場で確かめさせてくれます。線分を定規で測っていれば全体の長さはすでに分かっているので、その半分がこのページの印字と一致するはずです。一致しないときは答えではなく入力が間違っており、最も多い原因は符号です。yがマイナス7とyが7の差は0ではなく14で、2つ目の端点でマイナスを落とすと、全体の答えが見た目は何の変わりもないまま上下に7ずれます。
計算例
既定の線分、横は1から5、縦は2から8
- xの値を平均： (1 + 5) ÷ 2 = 3
- yの値を平均： (2 + 8) ÷ 2 = 5
- 中点は（3, 5）
- 半分の長さ：xの差は4、yの差は6なので全体の長さは√(16 + 36) = √52 = 7.2111、その半分が3.6056
このページが開いたときに入れている組で、目で確かめるのにちょうどよい例です。2つの平均はどちらも整数なので座標は正確で、半分の長さは平方根だから丸められます。このページ全体をよく表しています。点（1, 2）から点（5, 8）へ歩くと右へ4・上へ6で、中点は1つ目の端点から右へ2・上へ3のところ、つまり（3, 5）であり、半分の長さ3.6056はその2かける3の一歩の対角線です。
3対4対5の線分、すべての数が正確になる場合
- xの値を平均： (0 + 3) ÷ 2 = 1.5
- yの値を平均： (0 + 4) ÷ 2 = 2
- 中点は（1.5, 2）
- xの差は3、yの差は4なので全体の長さは√(9 + 16) = 5、半分の長さは2.5
3対4対5の三角形は、3辺がすべて整数になる最小の直角三角形なのでこの一群のあちこちに現れますが、ここでは2度得をします。全体の長さがちょうど5、半分の長さがちょうど2.5で、このページのどこにも丸めがありません。意外な答えが丸めの産物かどうか迷ったときの校正に使ってください。この入力では丸めの産物でありようがありません。末尾の0が別の形で現れることも見ておいてください。x座標は1.5で、1.5000として印字されます。これは4桁で書くという約束であって、答えが4桁まで分かっているという主張ではありません。
原点を挟んで反対側にある2つの端
- xの値を平均： (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
- yの値を平均： ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
- 中点は原点（0, 0）
- xの差は−8、yの差は14なので長さは√(64 + 196) = √260 = 16.1245、その半分が8.0623
中点が0になるのは空欄ではなく本物の答えです。ここでは2点が原点について対称なので、原点がちょうど両者の中間にあり、座標はどちらも0.0000として返ります。同じ0は、2つの端点が互いに鏡像になっているすべての線分で現れます。珍しい話ではなく大きな一族です。差の符号の扱いにも注目してください。負の座標を引くことは足すことなので、2つのyが7とマイナス7でもyの差は14になります。
分数に見える端点から整数の中点が出る場合
- xの値を平均： ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
- yの値を平均： (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
- 中点は（2, 1）
- xの差は10、yの差は−6なので長さは√(100 + 36) = √136 = 11.6619、その半分が5.831
ここでは2つの差がどちらも偶数で、だから見た目の不揃いな座標が平均すると整数になります。右へ10・下へ6で半分の長さは5.831、決して終わらない平方根なので、4桁で切ることが仕事をしている例でもあります。この行を手で確かめたいなら、印字された半分の長さを2乗してください。5.831の2乗は34.0、5.8309の2乗は33.999で、厳密な答えが2乗してなる34に十分近く、これが4桁で得られる最良の確認です。
2つの端点が同じ点である場合
- xの値を平均： (2.5 + 2.5) ÷ 2 = 2.5
- yの値を平均： ((−1.5) + (−1.5)) ÷ 2 = −1.5
- 中点は出発した点そのもの
- 2つの差がどちらも0なので長さは0、半分の長さも0
長さ0の線分で、このページはそれに正直に答えます。点とそれ自身の中点はその点であり、半分の長さは0です。3行目に0を印字させられる入力はこれだけです。半分の長さが0になるには2つの端点が一致する必要があるからです。1度見ておく価値があるのは、3つの数のうち1つが0のページを見たときに欠測と読まないためです。ここで計算に失敗したものは何もありません。
適用限界
このページが返すのは、入力した線分の中点だけです。そのほかのことは何も返しません。2点を通る直線は出さないので、傾きも切片もその直線の方程式も分かりませんし、線分の全体の長さも出しません。3行目はその半分なので、全体の長さが欲しいときは半分の長さを2倍してください。座標は無次元で、どの出力にも単位は付きません。点がフィートなら答えもフィート、方眼の升目なら答えも升目ですが、このページは何も換算せず、2つの端点でメートルとミリメートルを混ぜても警告しません。これは単位のないページの実害です。（1, 2）と（100, 200）がおそらく同じ線分をメートルとセンチメートルで打ち込んだものだ、とこのページには見えず、返ってくる中点は単純に桁が違うだけの誤答になります。座標はプラスマイナス10億までに限られます。この上限は数学的な理由ではなく算術的な理由で存在し、どの欄が原因かはエラー表示が教えてくれますが、大陸規模の測量やメートルで表した衛星軌道の座標にはこのページは向きません。最後に、半分の長さは小数第4位で丸められ、多くの入力で無理数になるのでほとんどの場合に近似です。手で検算するときの最後の2倍はその丸めを引き継ぐので、2倍した半分の長さが全体の長さと最後の1桁か2桁ずれることがあります。
よくある質問
- 中点の公式は何ですか
- 座標ごとに別々に平均を取ります。中点xは2つのxを足して半分にしたもの、中点yは2つのyを足して半分にしたもので、だから答えは平面のどこかではなく、つねに軸ごとに端点の間に収まります。端点（1, 2）と（5, 8）なら3と5になります。1と5の平均が3で、2と8の平均が5だからです。この裏にもう1つ規則が隠れているわけではありません。2つの数の平均が取れるなら中点も求められます。
- 2つの座標のほかに3つ目の数を印字するのはなぜですか
- 座標は2つとも検算ができず、半分の長さはできるからです。どんな点にも座標はあるので、間違った中点もそれらしい数の組に見えてしまい、見破る手がかりがありません。半分の長さは中点からどちらかの端点までの距離で、定義によりその2つの距離は等しくなります。だから測っておいた長さの半分と見比べれば、その場で合否が決まります。実際に欲しかった数であることも多く、何かの真ん中から端までの距離そのものです。
- 座標に単位はありますか
- ありませんし、答えにもありません。このページは入力をただの座標として扱いますが、それは意図的です。座標平面には固有の単位がなく、グラフの読みを打ち込む前にセンチかインチを選ばせる計算機は、存在しなかった単位をでっち上げることになります。点がメートル単位の地図から来たなら出力もメートルとして読み、経度と緯度なら半分の長さは度として読んでください。それはキロメートル単位の距離ではなく、地球上のどこなのか分からなければ距離に換算できません。
- 中点が線分の外に出ることはありますか
- ありません。答えを確かめるときに役に立つ性質です。2つの数の中点はその平均で、平均はもとの数の範囲の外に出ることがないので、線分の中点はつねに両端の間のどこかにあります。両端が等しいときに限り境界の上です。このページが2つの端点の間にない点を返したら、算術ではなく入力が間違っています。原因はたいていマイナスの落とし忘れです。
- 2つの端点が同じ点のときはどうなりますか
- その点と、半分の長さ0が返ります。エラーではなく正しい答えです。点とそれ自身は長さ0の線分を定め、その線分の中点はその点自身です。3行目に0が出せる唯一の入力で、半分の長さが0になるには2つの差がどちらも消える必要があるからです。このページは文句を言いません。文句を言う理由がないからです。
- 答えの小数は何桁ですか
- 4桁で、末尾の0は落とさずに印字します。だから（1, 2）と（5, 8）の中点は3.0000と5.0000として表示されます。この0は表示幅についての説明であって、確かさについてではありません。座標は正確に3で、数の列をそろえるためにこの形で印字しています。ふつう近似になるのは半分の長さのほうで、ほとんどの入力で平方根になるからです。4桁はこのページが書き留めるのをやめる位置です。
- 2つの端点を入れ替えても中点は同じですか
- 同じです。足し算は順序を気にしないので、1と5の平均は5と1の平均と同じで、ほかの欄でも同じことが成り立ちます。入れ替えて変わるのは半分の長さに使う2つの差の符号だけで、その差は足す前に2乗されるので、半分の長さも同じ値になります。組は自由に入れ替えてください。どちらの端を先と呼んだかで変わるものはこのページにありません。
参考文献
- Midpoint — 線分上で両端から等距離にある点。その座標の公式と、直径の中点が円の中心になるという性質 — Wolfram MathWorld (United States)
- Line segment — 2つの端点で区切られた直線の一部で、このページが中点を返す対象 — Wolfram MathWorld (United States)
- Point — このページが受け取り返す座標の組。座標平面の問題が、軸に単位を描き込まないかぎり単位を持たない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平面直角座標系と2点間の距離は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部