端点計算

もう一方の端点x = 2 × (中点x) − (既知の端点x) もう一方の端点y = 2 × (中点y) − (既知の端点y) 中点から端点までの距離 = √((既知の端点x − 中点x)² + (既知の端点y − 中点y)²)

中点

線分の真ん中にある点のxとyです。計算で求めるのではなく与えられる値なので、思い描いている線分の本当の中点でなければなりません。そうでないことをこのページが見分ける方法はありません

既知の端点

すでに手元にある端です。線分上のほかの点ではなく、両端のうちの片方でなければなりません。規則は、この点が中点から答えと同じ距離にあることを前提にしているからです

もう一方の端点

答えで、軸ごとに1つの座標、それぞれ小数第4位に丸めて出ます。中点から見て既知の端点と同じ距離にありますが反対側なので、ふつうは入力した数の範囲の外に出ます

中点から端点までの距離

既知の端点から中点までの距離を、その2点から直接求めたものです。このページの自己チェックにあたり、求めた端点は中点から同じ距離になければなりません。この数を自分で測った値と比べることが、符号の反転に気づく手立てです

小数第4位

すべての数が書かれる幅で、末尾の0も含みます。整数の座標も後ろに0が4つ付いて印字され、これは表示の都合であって精度の主張ではありません

分かりやすい用途は図形を完成させることです。何かの中心と片方の縁が分かっていて、ちょうど反対側の点が要るときです。円の中心と直径の片端が分かれば、その直径のもう一方の端が出ます。同じ問題を別の言葉で言っただけです。測量で、ある区間の真ん中に杭を打ち、片方の端がどこに来たか分かっている人が、もう一方の端を知りたいと思う。まさにこのページです。製図でも出てきます。線の真ん中と片方の端が分かっていて、鏡や対になる要素を置くために遠いほうの端が要るときです。もう1つ、あまり目立たないけれどしばしばもっと価値のある使い方があります。確認です。線分があったらその中点を取り、それと片方の端をここに入れると、もう一方の端が返ってくるはずです。返ってこなければ、中点が間違っていたか、線分がまっすぐでなかったかで、どちらにせよ、その上に何かを建てる前に知っておく価値のあることが分かったということです。この確認のいちばん手早い形が中点から端点までの距離の行で、2つの半分が食い違う図形は、真ん中だと思っていた点について対称ではありません。答えをずっと信じやすくする習慣が1つあります。結果を読む前に、新しい点が中点をはさんでどちら側にあるべきかを自問してください。答えはいつも入力した端点とは反対側で、既知の端点と同じ側に出たら、驚きではなく符号の誤りです。

1. 既定の組。中点のページの既定値を逆から読んだもの

   1. 中点のxを2倍する：3 × 2 = 6、そこから既知のxを引く：6 − 1 = 5
   2. 中点のyを2倍する：5 × 2 = 10、そこから既知のyを引く：10 − 2 = 8
   3. もう一方の端点は (5, 8)
   4. 中点から端点までの距離：(1, 2)から(3, 5)までの隔たりは √(4 + 9) = √13 = 3.6056

   中点のページが開いたときに入っているのと同じ線分を、反対向きに走らせたものです。あちらのページに(1, 2)と(5, 8)を入れると(3, 5)が返り、それがこのページの出発点になります。2つのページが一致することは、どちらの公式も符号が反転していないことのいちばん安い確認で、この入力だけでなくどんな入力でも成り立ちます。3.6056という値は、中点のページが同じ線分に対して印字するのと同じ数です。偶然ではなく、同じ2点から測った同じ隔たりだからです。

2. 中点が原点にある線分のもう一方の端

   1. 中点のxを2倍する：0 × 2 = 0、そこから既知のxを引く：0 − 3 = −3
   2. 中点のyを2倍する：0 × 2 = 0、そこから既知のyを引く：0 − 4 = −4
   3. もう一方の端点は (−3, −4)
   4. 中点から端点までの距離：(3, 4)から原点までの隔たりは √(9 + 16) = 5

   中点が原点にあると、規則は符号を変えるだけに畳まれます。このページが何をしているかを見るのにいちばん分かりやすい場合です。答えは、既知の端点を中点について点対称に移したものです。入力に0が多いので符号を落としやすく、結果がおかしく見えたときに頼るべき入力でもあります。ここでは答えが強制され、丸めるものも何もありません。

3. 反対の象限にある端点

   1. 中点のxを2倍する：(−2) × 2 = −4、そこから既知のxを引く：−4 − 4 = −8
   2. 中点のyを2倍する：1 × 2 = 2、そこから既知のyを引く：2 − (−3) = 5
   3. もう一方の端点は (−8, 5)
   4. 中点から端点までの距離：(4, −3)から(−2, 1)までの隔たりは √(36 + 16) = √52 = 7.2111

   ここではどの符号も仕事をしていて、引っかかるのが2行目です。負のyを引くので足し算になり、答えの5は中点の1より上ではなく下にあります。求まった端は既知の端から見て対角線上反対の象限にあり、それが一般的な形です。中点を通る線分は、両方の軸で同時にこちら側からあちら側へ渡ります。

4. 既知の端点が中点そのもの

   1. 中点のxを2倍する：2 × 2 = 4、そこから既知のxを引く：4 − 2 = 2
   2. yも同じ：4 − 2 = 2
   3. もう一方の端点は (2, 2)、つまり出発した点
   4. 中点から端点までの距離：2点が重なっているので隔たりは0

   長さ0の線分は、答えが中点の向こう側に来ない唯一の場合です。答えは中点そのもので、既知の端もそこにあります。これは退化した失敗ではなく正しい答えです。線分の両端が同じ点なら、その点は真ん中でもあり、このページに言えることはほかにありません。同じ座標が並んでも不具合に見えないように、一度は見ておく価値があります。

5. 既知の端点から遠く離れた中点

   1. 中点のxを2倍する：1,000,000 × 2 = 2,000,000、そこから既知のxを引く：2,000,000 − 0 = 2,000,000
   2. 中点のyを2倍する：0 × 2 = 0、そこから既知のyを引く：0 − 0 = 0
   3. もう一方の端点はx = 2,000,000、y = 0
   4. 中点から端点までの距離：原点から中点までの隔たりは1,000,000

   答えが入力の範囲に収まらないことを示す場合です。打ち込む2つの数はどちらも原点から100万の内側なのに、答えは200万の外側に出ます。ページ上のどの数よりも遠くです。既知の端と答えが中点をはさんで反対側にあり、近くに並んでいるわけではないからです。ここには桁あふれも近似もありません。整数の2倍と引き算は、この大きさのはるか先まで厳密のままです。

このページは、中点と呼んだ点が本当に中点であることを前提にしています。既知の端と求めた端がそこから等距離にあるかを確かめてはいません。等しくなるように2つ目を組み立てているので、入ってきた中点が間違っていれば、答えもまったく同じ分だけ間違ったものになり、このページには見分けが付きません。手元の中点が見積もりなら、答えも見積もりです。座標には単位が付かず、このページは換算も保存もしないので、メートルで測った中点とミリメートルで測った端点が混ざっていても気づけません。4つの入力はプラスマイナス10億に限られますが、求まる端点は限られません。30億に届くこともあり、それは不具合ではなく正しい結果です。2倍して引くのは、与えられた数を追い越してよい計算だからです。入力した範囲の外の座標が出るのは、このページでは普通のことです。中点から端点までの距離は小数第4位に丸められ、多くの入力で無理数になるので近似であり、自分で測った値と手で突き合わせても最後の1桁まで一致するとは限りません。最後に、このページは点を1つ求めてそれで終わりです。線分の全長も、それを通る直線の傾きも、3つ目の次元も出しませんので、空間内の2点は3つの座標のうち2つが分かっていてもここでは完成できません。

端点の求め方は何ですか

中点を2倍して、分かっている端点を引きます。軸ごとに1回です。中点が3で既知の端が1なら、もう一方の端は6引く1で5になります。中点の規則を並べ替えただけで、中点は2つの端の平均なので、2つの端を足すと中点の2倍になり、片方を引けばもう片方が残ります。覚えることは、最後の引き算の向き以外に何もありません。

入力した数の範囲の外に答えが出るのはなぜですか

2つの端が中点をはさんで反対側にあるので、答えは中点から、入力した端が手前にあればあるだけ向こう側に行くからです。原点から100万のところに中点を入れ、既知の端を原点にすると、答えは200万の外側になります。桁あふれでも間違いでもありません。2倍して引く計算はどちらの入力よりも大きい数を出してよく、このページには結果の上限がありません。あるのは4つの入力欄に打ち込める10億までという制限だけです。

3つ目の数は何のためですか

このページが自分自身を確かめるためです。中点はどちらの端からも同じ距離にあるので、既知の端点から中点までの隔たりと、中点から今求めた端点までの隔たりは等しくなければなりません。このページはその2つのうち、既知の端点のほうから測ったものを印字します。それが手で分かっている線分の半分と一致すれば、答えはつじつまが合っています。逆側の隔たりと比べても何も証明できません。自分の答えで自分の答えを試すことになるからです。

中点が本当に中点かどうかも確かめてくれますか

いいえ、できません。このページは中点と呼んだ点を出発点の事実として使い、そこから同じ距離になるようにもう一方の端を組み立てます。ですから入れた点が線分の本当の真ん中でなければ、答えはまったく同じ分だけ間違ったものになり、ページ上は何も変わって見えません。見積もりの中点からは見積もりの端点が出ます。手がかりは中点から端点までの距離の行だけで、それは入力した図形について語るもので、現実については何も言いません。

空間内の点にも使えますか

1つの軸ずつなら使えます。このページは1つの点につき座標の入力欄を2つしか持たず3つ目がないので、3次元の問題はそのままでは入力できません。規則そのものは2次元と関係なく、すべての軸で中点を2倍して既知の端を引くだけなので、3つ目の座標にも同じ計算を自分で当てはめられますが、このページはやってくれず結果も表示しません。

既知の端点が中点だったらどうなりますか

答えはその同じ点になり、中点から端点までの距離は0になります。両端が重なった線分は長さを持たず、その真ん中はその点自身なので、何もおかしくなっていません。求めた端が中点の反対側に来ない唯一の場合で、一度見ておくと、同じ座標が並んでも計算の失敗には見えなくなります。

• Midpoint — 線分上で両端から等距離にある点。このページが逆に解いて、真ん中と片方の端から遠いほうの端を求める関係 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — 2つの端点で区切られた直線の一部分。真ん中と片方の端が分かれば、もう一方の端が完全に決まる — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — このページが受け取り、返す座標の組。そしてそのどれにも単位が付かない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平面直角座標系と線分の中点の座標表示は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部