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CalcMax

タンジェント計算

範囲：-1,000,000 °〜1,000,000 °

計算結果

1.0000

タンジェント

タンジェント計算ツールは、角度のタンジェントを返します。その角に向かい合う辺を、その角の隣にある辺で割った比で、単位円の上では角が引く直線の傾きにあたります。サインが高さを答え、コサインが横への広がりを答えるのに対し、こちらが答えるのは急きょさです。立ち上がりを走りで割ったもので、測量士も屋根職人もスロープの設計者も手を伸ばす数がこれなのはそのためです。3つの中で任意の数になり得るのもこれだけです。サインとコサインはマイナス1と1の間に閉じ込められていますが、タンジェントは角が下から直角に近づくにつれて限りなく登り、反対側からは値域のいちばん下で戻ってくるので、2にも200にも200万にもなれます。この非有界性がこの関数の話の全体で、参考表の2つの欠けた行が何なのかもそこにあります。ちょうど90度では隣辺が無くなるまで縮んでいるので、割り算に答えがありません。270度では半周遅れで同じことが起き、どちらの角でもタンジェントは定義されません。それ以外の角はすべて値を返します。タンジェントが0になる角——0度、180度、そして整数周ごと——も含めてです。0という分子を0でない分母で割るのは、ごく普通の0だからです。定義から3つの性質が出てきます。タンジェントは奇関数なので、負の角は答えも負になります。周期はまる1周ではなく半周です。180度を足すと対辺と隣辺の両方の符号が反転し、2つとも反転した量の比は変わらないからで、30度と210度は同じ読みを共有します。そしてその符号はサインの符号ではありません。直角を過ぎるとサインはまだ正のままですが、タンジェントはもう負になっています。対辺はそのままなのに、隣辺が反対側へ渡っているからです。三角関数のページは3つの比をまとめて印字し、数は最後の桁まで一致します。下の表はこの関数だけを、この一族のほかのページと同じ12の角で並べたもので、行をまっすぐ見比べられます。

12の角におけるタンジェントと、値のない2つの角

θ（度）タンジェントθ
00
300.5774
451
601.7321
90—
120-1.7321
135-1
150-0.5774
1800
2100.5774
270—
330-0.5774

12の角と2つの列、そしてこの表の要点は2つのダッシュです。隣辺が0になる2つの角、90度と270度にあります。そのあいだで読みは数直線の全長を走ります。0から30度の0.5774、45度の1、60度の1.7321と登り、90度で消えます。反対側ではいちばん下から戻ってきて、135度のマイナス1、150度のマイナス0.5774を通って平角で0になり、また同じ形を繰り返します。周期がまる1周ではなく半周だからです。30度と210度が同じ数を持つのはそのためで、この表がサインやコサインのページと一致しない唯一の点でもあります。あちらは同じ行が繰り返すのにまる1周を要します。

公式

tan θ = 対辺 ÷ 隣辺　｜　tan θ = sin θ ÷ cos θ　｜　tan θ = 傾き

θ
角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周より大きくても構いません。円のどこに着地するかだけが意味をもちます
対辺 ÷ 隣辺
角θを含む直角三角形の2つの脚——θに向かい合う辺と、θの隣にある辺。タンジェントは前者を後者で割ったもので、斜辺はまったく登場しません
sin θ ÷ cos θ
同じ比をほかの2つで書いた形。極を説明してくれるのがこの形です。コサインが0になるところでは割り算に答えがなく、コサインは90度と270度で0になります
傾き
単位円の上でこの比が意味するもの。原点から角が着地する点まで引いた直線の勾配です。タンジェントが1なら45度の直線で、読みが大きいほど直線は急になります

欲しい量が高さではなく勾配のときに使います。屋根の勾配を立ち上がりわる走りで言う、道路の勾配を百分率で出す、はしごやスロープを置く角度を決める、2点を通る直線の向きを出す——そういう場面です。何かの急きょさを、2つではなく1つの数で知りたいときにも手が伸びます。サインとコサインはそれぞれ向きの半分しか教えてくれないからです。読むときに気をつけることが2つあります。角が90度を過ぎると読みは負になり、反対側で大きさを増し続けます。座標ではなく絵から考えているなら、その符号は急きょさが変わったのではなく直線が反対側に傾いたことを告げています。そして角が直角に近づくと読みは際限なく大きくなり、これは直線が縦になったとページが言っているのです。ちょうど90度では割るべき走りが無いので、出す読みがありません。サインとコサインを横に並べたいときは三角関数のページが3つ印字し、この数の逆数が欲しいときは、極が別の2か所にある別の関数です。

計算例

  1. 角度45度、唯一の整数の答え

    1. 45度では、直角三角形の2つの脚が等しい
    2. タンジェントは対辺を隣辺で割ったもの
    3. 等しい量どうしを割ればちょうど1になるので、読みは1であって0.9999ではない

    ページが読み込まれるときの角で、この関数が整数を返す唯一の角です。45度は直線の傾きが1になる角でもあり、勾配の言葉で言えば同じことです。1だけ進んで1だけ上がる。このページのほかの読みはすべて根号かその逆数で、下の表が小数第4位まで書かれているのはそのためです。

  2. 角度30度

    1. 30度の対辺は斜辺の半分
    2. 隣辺はもう1つの脚で、√3の半分
    3. 半分を√3の半分で割れば√3分の1、およそ0.5774

    30度のタンジェントは60度のコタンジェントで、これは偶然ではなく規則です。直角三角形の2つの鋭角を足すと90度になり、片方に向かい合う辺がもう片方の隣にある辺だからです。だからある角のタンジェントは常にその補角のコタンジェントで、逆にした言い方が同じ事実の残り半分です。

  3. 第2象限の角、135度

    1. 135度は直角を45度過ぎたところ
    2. 点は第2象限にあるので、隣辺は負になり、対辺はまだ正のまま
    3. 正を負で割れば負なので、タンジェントは−1

    45度の読みにちょうどマイナスを付けたもので、第2象限全体がこの型です。第1象限の角を折り返したときとタンジェントの大きさは変わらず、動くのは符号だけです。これはサインのページが逆に報告する場合でもあります。135度で点は軸より上にあるのでサインは0.7071で正のまま、タンジェントは走りが左へ渡ったので負になります。

  4. 角度210度、30度から半周

    1. 210度は30度に平角を足したもの
    2. 180度を足すと対辺と隣辺の両方が反転するので、どちらも負になる
    3. 負を負で割れば正で、大きさも変わらないので、読みは同じ0.5774

    半周の周期がいちばんよく分かる例で、この関数がサインやコサインと袂を分かつところです。あちらは同じ読みに戻るのにまる1周を要しますが、こちらは半周でもう戻っています。比は、中に入っている2つの量が同時に符号を変えたことを気にしないからです。下の表は同じ組を8行違いに並べています。

適用限界

率直に書いておく限界が3つあります。読みは小数第4位までで、そのほとんどは無理数です。30度のタンジェントは√3分の1なので、0.5774は答えではなく切り詰めたもので、このページで正確に終わる値を持つのは45度の行だけです。2つ目、タンジェントは90度と270度、およびそのどちらかに帰着するすべての角——負の角も1周を超える角も含めて、マイナス90度や450度も90度と同じ理由で拒否されます——に値をもちません。近くの読みが莫大になるような角でも、このページは非常に大きな数ではなくエラーを返します。値が何かに収束するわけではないからです。片側から近づけば限りなく大きくなり、もう片側から近づけば値域の下から落ちてきます。3つ目、このページは逆算しません。タンジェントが1だと分かっても、角は45度か225度か、半周だけ違う無限個の角のどれかになり、どれを取るかはこのページが決めない選択です。

よくある質問

90度でタンジェントに値がないのはなぜか
タンジェントは対辺を隣辺で割ったもので、直角では隣辺が縮んで無くなるからです。0で割ることに答えはないので、印字するものがありません。値が莫大なのではありません。角が90度に近づくにつれて読みは限りなく大きくなりますが、90度そのものには数がなく、片側と反対側から近づいた先は同じ場所にすら向かいません。270度は半周遅れの同じ失敗で、そのどちらかに帰着する角もすべて拒否されます。
タンジェントはサインをコサインで割っただけなのか
はい、それがいちばん短い説明です。対辺を隣辺で割ったものでもあり、角が引く直線の傾きでもあり、3つは同じことを言っています。いちばん多くを説明してくれるのは割り算の形です。コサインが0になるところでは分数に答えがなく、コサインは90度と270度で0になります。下の表にダッシュが2つあるのは、まさにそこです。
サインが正なのに135度のタンジェントが負なのはなぜか
タンジェントが立ち上がりだけでなく走りも見ているからです。135度では点はまだ水平軸より上にあるのでサインは0.7071で正のままですが、垂直軸より左へ渡っているので隣辺が負になり、割り算も一緒に負になります。タンジェントの符号が本当に言っているのは、2つの脚の向きが一致しているかどうかであって、点がどれだけ高いかではありません。だからサインより4分の1周早く負に変わるのです。
タンジェントがとても大きいというのは何を意味するのか
直線がほとんど縦になっているということです。読みは傾きなので、タンジェントが10なら1だけ進むあいだに10上がるということで、角が下から90度に近づくにつれて限りなく大きくなります。90度の反対側では同じ直線が値域の下に現れ、0に向かって登り返すので、極の両側の値は近いどころか、数が取り得るいちばん遠い隔たりにあります。
タンジェントはどのくらいの周期で繰り返すのか
半周ごとで、サインやコサインの2倍の頻度です。角に180度を足すと対辺と隣辺の両方の符号が反転し、2つとも反転した量の比は変わらないので、30度と210度はタンジェント0.5774を共有します。サインとコサインは、戻ってくるのにまる1周を要します。
角度はラジアンでも入れられるのか
入れられます。入力欄の隣に単位の選択があり、どちらで入れても同じ角として読まれます。45度と0.7854ラジアンは同じタンジェント1を返します。確かめるべきなのは、比べている出典がどちらの単位を前提にしているかです。印刷された表の多くは度で書かれています。

参考文献

関連する計算ツール

コタンジェント計算角度のコタンジェントを度またはラジアンで計算。三角関数計算任意の角度のサイン・コサイン・タンジェントを計算。単位円計算角度から単位円上のsin・cos・tanの値を計算。サイン計算角度のサインの値と象限を求める。アークタンジェント計算タンジェントの値から角度を度またはラジアンで求める。