余弦定理計算
計算結果
角A
- 角B
- 53.13 °
- 角C
- 90.00 °
余弦定理計算ツールは、三角形の3辺を受け取って3つの角を返します。この関係はイギリスの教科書がcosine ruleと呼ぶもので、名前が2つあっても式は同じです。入力は3辺が分かっている場合で、ふつうSSS（side-side-side）と書きます。この場合は三角形が完全に決まるので、隣の正弦定理のページと違って、この三角形ソルバーには選ぶものも、比べるべき第2解もありません。定理そのものは、直角がないときに働く三平方の定理の拡張です。直角三角形ではいちばん長い辺の2乗がほかの2辺の2乗の和に等しく、それ以外の三角形ではその和を、向かい合う角のコサインを含む項で補正しなければなりません。1つの角について書くとこうなります。ある辺の2乗は、ほかの2辺の2乗の和から、その積の2倍に向かい合う角のコサインを掛けたものを引いたものに等しい。これを角について解くと、このページが計算している実用の形——3辺から各角のコサインを出し、そこから角そのものを出す——になります。3辺は常に三角形を1つに決めます。3つの数が提起できる問いは、それらがそもそも組み合わさるかどうかだけです。満たすべきは三角不等式で、どの辺もほかの2辺の和より短いこと。2点のあいだの最短経路はまっすぐな道だという主張と同じです。ある辺がほかの2辺を足したものより長ければ、その3辺を持つ三角形は存在せず、このページは負の角を返す代わりにそう告げます。ある辺がほかの2辺の和にちょうど等しければ、三角形は直線の上へ押しつぶされ、3つの角は0、0、180になります。誤りではなく本物の極限で、下の表の最後の行です。出力について期待しておくことが1つあります。3つの角はそれぞれ3辺から独立に計算され、それぞれ小数第2位に丸められるので、合計がちょうど平角にならず180.01や179.99になることがあります。そうなっても何も壊れておらず、下のlimitationsが理由を書いています。
8つの三角形と、それぞれに対応する3つの角
| 辺a（cm） | 辺b（cm） | 辺c（cm） | 角A（°） | 角B（°） | 角C（°） |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 36.87 | 53.13 | 90 |
| 5 | 5 | 5 | 60 | 60 | 60 |
| 5 | 12 | 13 | 22.62 | 67.38 | 90 |
| 8 | 15 | 17 | 28.07 | 61.93 | 90 |
| 7 | 8 | 9 | 48.19 | 58.41 | 73.4 |
| 4 | 5 | 6 | 41.41 | 55.77 | 82.82 |
| 2 | 3 | 4 | 28.96 | 46.57 | 104.48 |
| 3 | 4 | 7 | 0 | 0 | 180 |
辺の長さはセンチメートル、角は度で、結果パネルが印字するのと同じ順です。だから行はひと目でページと突き合わせられます。3つの行が直角三角形——3・4・5、5・12・13、8・15・17——で、余弦定理が三平方の定理へ還元される行です。それぞれの1つの角が、丸めなしのきれいな90になっているのはそのためです。2行目は正三角形で、3つの読みがすべて正確な唯一の行。5行目と6行目はふつうの鋭角三角形の組で、7行目は鈍角で、いちばん長い辺に向かい合う角が104.48と読まれます。この7行目は、3つの角が平角にぴったり足りない唯一の行でもあります。28.96と46.57と104.48は180.01になります。それぞれを単独で丸めたからです。最後の行は境界の場合で、3たす4はちょうど7なので三角形は平らになり、角は1本の直線の上へ潰れて0、0、180と読みます。表の中身は手で打ち込まれたものではありません。どの行もパネルと同じ方法で計算されているので、表と上の入力欄から得られる答えがずれることはありません。
公式
a² = b² + c² − 2bc·cos A ｜ cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc ｜ A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)
- 辺a, 辺b, 辺c
- 三角形の3辺。3つとも同じ単位であれば、どんな単位でも構いません。辺aは角Aに向かい合う辺で、残りの2つも同じ並びです
- A
- 辺aに向かい合う角——この形の定理が復元する角です。残りの2つの角は、文字を入れ替えて同じ公式から出ます
- cos A
- その角のコサイン。3辺が直接与えてくれるのはこれです。そこから角を取り出すのは別の手順で、読みを0度から180度のあいだに収めるのもその手順です
- 2bc
- 角で出会う2辺の積の2倍。三平方の定理には無い補正項で、どの角も直角でないときに定理を働かせるものです
三角形の3辺がすべて分かっていて角が欲しいときに使います。境界に沿って測った土地、3つの長さに切った金具、地図の上で辺は歩いて測れるのに角は見通せない三角形。2つの三角形のページのうち、出発点に角が1つも要らないのはこれだけで、正弦定理がまったく役に立たないのはまさにその場合です。何かを作る前に、3つの長さが三角形になるかを知るいちばん速い道でもあります。打ち込めば、3つの角が返るか、どの辺が長すぎるかを告げるメッセージが出ます。2辺とそのあいだの角があるときは2辺と挟角の形で、それは直角三角形のページの担当で、同じ定理に反対側から着地します。角ではなく面積が欲しいときも、3辺はヘロンの公式が要るもののすべてです。辺1つと角2つ、あるいは2辺と挟まれていない角があるときは、正弦定理のページを使ってください。余弦定理は三角形の辺と角を結ぶ等式で、三角関数のなかでもっとも広く使われる関係の1つです。
計算例
3・4・5の三角形、1つの角がちょうど直角になる場合
- 長さ5の辺に向かい合う角を取る
- ほかの2辺の2乗の和は9たす16で25
- 補正項は2かける3かける4かけるその角のコサイン。式全体を25と置くとコサインが0になり、角は90度
- 残りの2つの角は文字を入れ替えた同じ公式から出て、36.87と53.13になる
このページ自身の初期値で、どの読者も出会ったことのある三角形です。余弦定理と三平方の定理が一致する場合で、直角のコサインが0なので補正項が消え、公式が定理へと畳まれます。2つの鋭角はこのページが信頼できる理由を示す組です。足すとちょうど90になり、3つ目の角は丸めなしのきれいな90です。
正三角形、何も丸められない場合
- 3辺がすべて等しいので、3つの角もすべて等しい
- 3つの角を足すと180度になる
- 180を3で割るとちょうど60なので、どの読みも小数を失わずに60
3辺が等しければ3つの角も等しく、それらは平角に足し合わされるので、それぞれちょうど60度になります。下の表で3つの読みがすべて正確で、しかもどれも0でない唯一の行です。公式の検算にも使えます。ここでの補正項は2かける5かける5かける60度のコサインで25、25たす25ひく25は25で、これは3つ目の辺の2乗です。公式は自分自身と一致しています。
鈍角三角形、辺が2、3、4
- いちばん長い辺に向かい合う角を取る。鈍角になり得るのはそこ
- ほかの2辺の2乗の和は4たす9で13
- いちばん長い辺の2乗16を引くと、マイナス3が残る
- ほかの2辺の積の2倍、12で割ると、コサインはマイナス0.25
- コサインがマイナス0.25の角は104.48度で、残りは28.96と46.57
いちばん長い辺に向かい合う角が鈍角で、これは偶然ではなく規則です。いちばん大きい辺はいちばん大きい角に向かい合い、ある辺がほかの2辺の2乗の和の平方根より長くなると、それに向かい合う角は直角を越えます。ここでは4が13の平方根より長いので、向かい合う角は104.48度です。3つの読みの合計に注目してください。180.01で、平角より100分の1度だけ大きい。それぞれを別々に丸めたからです。下のlimitationsはまさにこのことについて書いています。
ぎりぎり収まる3辺、3、4、7
- 3たす4は7で、いちばん長い辺の長さちょうど
- 補正項が極値に達し、いちばん長い辺に向かい合う角のコサインがマイナス1になる
- コサインがマイナス1の角は180度で、残りの2つは0へ潰れる
7は3たす4ちょうどなので、三角形には余地が残っていません。短い2辺がいちばん長い辺に沿って平らに寝て、図形は角がそこへ潰れた直線になります。三角不等式が許す境界で、拒否ではなく印字されるのはこれが本物の極限だからです。角は本当に0、0、180へ向かいます。短い辺のどちらかをどれだけでも持ち上げれば本物の三角形が現れ、辺が離れるほど角が大きくなります。逆に縮めれば、その3辺を持つ三角形は無いとページが告げます。
適用限界
率直に書いておく限界が3つあります。3つの角は3辺から独立に計算され、それぞれ小数第2位に丸められるので、合計がちょうど平角にならず180.01や179.99になることがよくあります。2・3・4の三角形は、上の3つ目の例が示すとおり100分の1度ずれます。代わりに2つの角を計算し3つ目を引き算で出せば、常にちょうど180になります。しかしそれは反対側で対称性を壊します。2辺が3で底辺が3.3の二等辺三角形は底角が2つとも56.63度ですが、その方法だと56.63と56.64と印字されます。3つ目の角を、すでに丸められた2つの値から引くからです。100分の1度のずれのほうが小さい嘘だと判断しました。2つ目、辺は三角不等式を満たさなければなりません。どれもほかの2辺の和より短いことです。このページは満たさないものを拒否し、ある辺がほかの2辺の和にちょうど等しい境界の場合は受け付けます。角が0、0、180度の平らな三角形になります。3つ目、このページは辺の長さも面積も印字しません。辺が欠けているのではなく、打ち込んだ3つの数がそれで、三角形はそれで完全に決まっているので、報告すべきものが残っていないのです。面積が欲しいときは、同じ3つの数の別の出力です。
よくある質問
- 余弦定理は何に使うのか
- 三平方の定理にできない2つの仕事のためです。1つ目は、三角形の3辺がすべてあって角が欲しいとき。このページがしているのがそれです。定理は角の1つがすでに直角でないと角を出せず、余分な補正項がほかのあらゆる三角形でそれを働かせます。2つ目は、2辺とそのあいだの角があって3つ目の辺が欲しいとき。隣の直角三角形のページがその使い方をします。2つの向きは、同じ式をどちら側から読むかの違いです。
- 3つの角が180ではなく180.01になるのはなぜか
- 各角が3辺から単独で計算され、それぞれ小数第2位に丸められるからで、3つの別々の丸めが打ち消し合うとは限りません。不具合でも、三角形が不可能だという意味でもありません。印字された読みがそれぞれ真の角の100分の1度以内だという意味です。代わりに2つの角を計算して180から引けば常に正確に合いますが、2つの角を丸めてから引くことになるので、底角が2つとも56.63度の二等辺三角形が56.63と56.64になり、別の向きのより悪い嘘になります。
- どんな3つの長さでも三角形になるのか
- いいえ。どの辺もほかの2辺を足したものより短くなければなりません。これが三角不等式です。2つの角のあいだの最短経路はそれらを直接結ぶ辺なので、3つ目の角を回っていく道が短くなることはありません。ある辺がほかの2辺の和より長ければ、このページは不可能な角を返す代わりに入力を拒否します。ちょうど等しければ三角形は平らで、角は0、0、180になり、これは誤りではなく本物の境界なのでページは受け付けます。
- このページが辺の長さではなく3つの角を返すのはなぜか
- 3辺が入力だからです。3辺が与えられた三角形は完全に決まります。滑らせたり回したりする違いを除けば形は1つしかありえないので、辺をそのまま印字し直すのは打ち込んだものを繰り返すだけです。このページが足すのは、見えなかった部分——角がどこにあるか、つまり3つの角です。同じ3つの数は面積も与えますが、それは別のツールです。
- 鈍角の角があるかどうかはどうやって分かるのか
- いちばん長い辺を見てください。その2乗がほかの2辺の2乗の和より大きければ、それに向かい合う角が鈍角です。等しければその角はちょうど直角、小さければ3つの角はすべて鋭角です。上の例の2・3・4の三角形が鈍角の場合——16対13——で、鈍角になるのは常にいちばん大きい角です。いちばん大きい辺がいちばん大きい角に向かい合うからです。
- 正弦定理ではなくこちらを使うのはどんなときか
- 3辺がすべて分かっているとき、または2辺とそのあいだの角が分かっているときにこちらを使います。辺とそれに向かい合う角、そしてもう1つ何かが分かっているときは正弦定理です。辺とサインの比が要るのがその情報だからです。2つのページが重なるのは2辺と挟まれていない角の場合で、そこでは正弦定理のほうが良い道具です。三角形が2つの形を持ち得る場合でもあり、このページはそれに悩むことがありません。
参考文献
- Law of Cosines — 三角形の3辺と1つの角のコサインの関係、および三平方の定理への還元 — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — 三角不等式、いちばん大きい辺がいちばん大きい角に向かい合う規則、退化した場合 — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric Functions — サイン・コサイン・タンジェントの値域と、コサインから角を戻すと0度から180度の値になる理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- The Law of Cosines — 定理を一から解き、2辺と挟角の場合と3辺の場合を分けて示した解説 — Math is Fun (United Kingdom)