直角三角形计算器

a² + b² = c² A + B = 90° sin A = a ÷ c tan A = a ÷ b 面积 = a × b ÷ 2 周长 = a + b + c

a, b

两条直角边，也就是夹着直角的那两条边。页面先把任何一组输入化归成这两条边再算别的，所以「斜边加一个角」这种情形也是先变成两条直角边

c

斜边，直角对面的那条边，三边里最长的。它是本页的主结果，而且永远是现算的，不是你填了就照抄——哪怕斜边正是你输入的那一格

A, B

两个锐角。A 对着直角边 a，B 对着直角边 b；各自都在零度与九十度之间，加起来正好是三角形内角里剩下的那九十度

已知直角三角形的两个量、想要剩下的一切时用它：两条直角边、一条直角边加斜边、或者任意一条边加上任意一个锐角。它是直角三角形这一族的通用求解页，与勾股定理那一页的分界在于主结果：那一页回答的是更窄的一个问题——缺的那条边是多少；本页回答整个三角形，而且不管你填的是哪两格，斜边都排在第一位。与三角形那一页的分界在于直角：那一页不要求有直角，所以要两边加夹角，而本页从同样两个数里能榨出多得多的东西，因为直角是白送的第三个信息。两条直角边相等的直角三角形就是等腰直角三角形，那一页印的是同一个三角形的另一套说法。

1. 两条直角边，3 与 4

   1. 两条直角边已知，斜边由勾股定理给出：9 加 16 是 25，开方是 5
   2. 角 A 对着长度为 3 的那条边，所以它的正切是 3 比 4，也就是 36.87 度
   3. 角 B 是九十度剩下的那部分，所以是 53.13 度
   4. 面积是 3 乘 4 的一半，周长是三边相加

   页面打开时就是这个三角形，也是整数直角三角形里最小的一个——正是勾股定理那一页围绕的那一个，所以两页在斜边、面积与周长上逐位相同。注意两条直角边在输出里也出现了，尽管它们是你填进去的：面板固定印全七个量，而「整个三角形解出来」这句承诺就是它这么做的理由。两个角都在零度与九十度之间，并且加起来正好是九十度而不是 89.99——因为第二个角是按「还剩多少」算出来的。

2. 一条直角边加斜边，6 与 10

   1. 斜边与一条直角边已知，另一条直角边是十的平方减六的平方再开方
   2. 一百减三十六是六十四，开方是 8
   3. 两个角由两条直角边给出：角 A 的正切是 6 比 8
   4. 三条边都有了，面积与周长就是算术

   另一条直角边来自同一个定理的减法那一边。这也是最容易填反的一档：斜边比直角边短的话这个三角形根本不存在，页面会说明这一点并要求把两个数对调，而不是返回一个数——真去开一个负数的平方根是得不到答案的。这里的两个角与 3-4-5 那一行完全相同，因为 6-8-10 就是那个三角形放大一倍。

3. 一条直角边加上它对着的角，3 与 30 度

   1. 角 A 对着直角边 a，所以三十度的正弦把这条边与斜边连起来：这条边是斜边的一半
   2. 于是斜边是这条边的两倍，也就是 6
   3. 另一条直角边是这条边除以三十度的正切，约 5.2
   4. 角 B 是九十度剩下的部分，所以是 60 度

   这就是 30°-60°-90° 那个三角形，三边比是 1 比根号三 比 2；它也是能看出「哪个角是哪个角」的一行：A 对着你给出的那条边，所以长度 3 的那条边是三十度对面的短边。把同一个直角边配上「角 B 等于 60 度」再填一次，七个数完全相同——两个角描述的是同一个形状，这一对就是页面给自己做的映射自查。直角边、面积与周长都保留了两位小数，所以 5.196 印成 5.2。

4. 斜边加上一个角，10 与 30 度

   1. 斜边已知时，三十度对着的那条直角边是斜边乘以三十度的正弦，也就是十乘以二分之一
   2. 另一条直角边是斜边乘以三十度的余弦，约 8.66
   3. 两个角本来就是已知的：三十度与它的余角六十度
   4. 面积是 5 与 8.66 乘积的一半，周长是三边相加

   上一行那个形状的放大版：这里是 5、8.66、10，那里是 3、5.2、6，两个三角形对应边的比处处相同——这正是「两个三角形角度一样」的意思。注意斜边虽然是你填的，面板上仍然印着它：它是由两条直角边现算的，不是照抄输入，所以面板上的三条边永远严格满足勾股定理，不可能自相矛盾。8.66 这个数来自两位小数的舍入，精确值是五倍根号三。

四件要说清楚的事。第一，五个格子必须恰好填两个，而且不能两个都是角。一格信息不够，三格信息多余，页面在报错时把这两种情况分开说；两个角填满了同样解不出来，因为它们只定形状、说不出大小。面板本身不会标出它在等你填哪一格，数目得自己数。第二，两个锐角都能填，但都不能是零度或九十度，因为直角三角形的两个锐角严格落在这两个值之间；边长为零同样被拒，退化的三角形没有面积也没有周长可言。第三，输出的单位永远是厘米与平方厘米，与你输入时用的单位无关——用英尺填进去的一条边会先被换算，答案仍以厘米给出。第四，七行输出里通常有两行是你自己输入的回显，所以填了一条直角边、看到同一条边又印了一遍，不是页面没算；那一行的数经过单位换算与舍入，而新信息在其余几行里。

五个格子要填几个？

恰好两个。三条边与两个锐角里任意两个都足以完全定出一个直角三角形，一个不够——只知道一条边，形状是自由的；只知道一个角，大小是自由的。填三个也会被拒，不是因为三个量有歧义，而是那时该说的话是「填多了」而不是算术上的问题。唯一一组填满两格却仍然失败的组合是两个角：它们定形状，不定大小。

为什么面板上会把我填的那条边又印一遍？

因为这一页承诺的是整个三角形，而不是你还没填的那几条。输出清单是固定的，所以你填的那条直角边会出现在七行里。那一行看起来像什么都没做，但它已经过了单位换算与舍入，而真正的信息在其余六行里。反过来，做一个「只印你缺的那几条」的面板会让输出随你填了哪两格改变形状，那样只会更难读。

角 A 是哪一个角？

角 A 是直角边 a 对着的那个角，角 B 对着直角边 b。所以你填一条长 3 的直角边和一个 30 度的角时，页面把 3 读作那个三十度角对着的边，也就是 30°-60°-90° 三角形里的短边。两个锐角永远正好相加得九十度，因为直角已经占去了内角里剩下的九十度，而第二个角是按「还剩多少」算出来的、不是单独算一次——所以它们不会舍入出 89.99 这种画面。

答案是什么单位？

永远是厘米与平方厘米，不管你输入时用的是什么单位。页面会先把输入换算成同一个单位再解，而输出的单位声明的是厘米，所以用英尺填进去的一条边，回来的是它的厘米数。角一律用度报出，理由相同：你可以用弧度或者百分度输入，但面板报的是度。

这一页和勾股定理那一页有什么区别？

本页收的输入更多、给的结果也更全。勾股定理那一页从三条边里取两条，回答的是更窄的问题——缺的那条边是多少；本页从五个量里取两个（包括角），还给你整个三角形，并且无论哪种输入都以斜边打头。两者重叠的地方逐位相同，因为它们在算同一个三角形、用的是同一把尺。

为什么斜边比直角边短会被拒答？

因为这样的三角形不存在。斜边是直角对着的那条边，三边里永远最长，所以它必须严格大于任意一条直角边。当两格填的是一条直角边和一条斜边、而斜边反而更小时，几乎可以肯定两个数填反了；页面会指出来并建议对调，而不是去对一个负数开平方——那个运算根本没有答案。

• Right Triangle — 直角三角形的五个量、哪些组合能定出这个三角形，以及各量之间的关系式 — Wolfram MathWorld（美国）
• Pythagorean Theorem — 三边之间的那条关系、它的逆定理，以及退化情形的讨论 — Wolfram MathWorld（美国）
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — 用正弦、余弦与正切由「一边一角」解出其余的边 — Math is Fun（英国）
• Pythagoras' Theorem — 勾股定理的完整讲法，含逆定理与例题 — Math is Fun（英国）