等腰三角形计算器
结果
面积
- 周长
- 16.0000 cm
- 高
- 4.0000 cm
- 顶角
- 73.74 °
- 底角
- 53.13 °
等腰三角形计算器要一条底和一条腰，给出五个读数：面积、周长、高、顶角与底角。它夹在另外两页三角形之间，理由是算术上的：一般三角形有三个自由度——三条边，或者两条边加夹角——要给够这么多数，形状才被钉住；等边三角形一个都不用给，因为形状事先定死了，剩下的只是大小；等腰三角形正好剩两个，底与腰，两个都给完就没有别的可挑了。两条给定长度的腰，在一条给定长度的底上方只能交于一个点，所以高、两个角、面积全都跟着定下来。这个形状就是沿着中线对折一个三角形得到的那个，而对折也正是算它的办法：沿对称轴切开，得到两个全等的直角三角形，每个的斜边是腰、底是半个底、高由勾股定理给出。面板上每一个读数都出自这一个小直角三角形——高就是它的第三条边，面积是底乘高的一半，两个角也来自它：顶角的一半，是正弦值等于「半个底除以腰」的那个角；底角则是 180 度去掉顶角之后平分给两个底角的那一份。两个底角相等是这种形状的定义而不是一条结论，而它恰好也是图纸最常给出的东西：标了一个底角，另一个就知道了。两个角都印出来，是因为它们回答的问题不同——顶角说的是这个形状有多尖，底角才是斜切锯要调、屋面坡度要报的那个数。
从默认形状到压扁的边界，按底与腰排列的等腰三角形
| 底（厘米） | 腰（厘米） | 面积（平方厘米） | 高（厘米） | 顶角（度） | 底角（度） |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 12 | 4 | 73.74 | 53.13 |
| 8 | 5 | 12 | 3 | 106.26 | 36.87 |
| 10 | 13 | 60 | 12 | 45.24 | 67.38 |
| 6 | 6 | 15.5885 | 5.1962 | 60 | 60 |
| 4 | 3 | 4.4721 | 2.2361 | 83.62 | 48.19 |
| 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 90 |
| 6 | 3 | 0 | 0 | 180 | 0 |
七个三角形，第一行是页面打开时的默认值。周长故意不设成一列：它是底加两倍腰，前两列已经给出，再印一列等于多一个读者自己加得出来的数。有两行是与旁边几页的对账，两行都从另一套输入落到同一批数上：第一行，底 6、腰 5，给出面积 12 与周长 16，正是海伦公式页拿 6、5、5 三条边给出的；第四行，底与腰都是 6，给出 15.5885，正是等边三角形页边长 6、以及海伦公式页 6、6、6 给出的。第四行也是表上唯一一行两个角相等、都是 60 度的，那正是等边三角形的记号，也是页面在别处把两个角分开印的原因。把顶角与底角两列跟着底一起往下读：底 4、腰 3 时顶角是 83.62，默认的底 6、腰 5 时是 73.74，底 8、腰 5 时是 106.26，底 10、腰 13 时是 45.24——顶角算一次、底角算两次，三者加起来永远是 180 度，哪一行看着不对就拿这条去核。最后两行是边界档，两个都是真答案而不是失败：底 0、腰 5 是一段长为 5 的来回重叠的线，顶角 0 度；底 6、腰 3 则完全压扁，顶角 180 度、面积 0。后一个是正好卡在边上的一档——底再加十分之一，页面就会拒绝。表中每个数都是构建时从它的底与腰重算出来的，单位是厘米与度，小数宽度与结果面板一致：长度四位、角两位。
公式
h ＝ √(l² − (b ÷ 2)²) A ＝ b·h ÷ 2 P ＝ b ＋ 2l 顶角 ＝ 2·asin((b ÷ 2) ÷ l) 底角 ＝ (180° − 顶角) ÷ 2
- 底
- 那条不一样长的边的长度，也就是两条腰站上去的那条，单位是厘米。把它放平正是这个三角形左右对称的原因，也是高量起的那条边
- 腰
- 两条等长的边各有多长，单位是厘米。按定义它们一样长，所以只有一个框，而每条腰都是对折出来的那个直角三角形的斜边
- 面积
- 三角形占的平面大小，单位是平方厘米，等于底乘高的一半。面积是直接由底与腰算出来的，不是拿面板上印出来的高去乘的，所以面板上几个数彼此对到最后一位
- 周长
- 绕三角形一圈的长度，单位是厘米，等于底加两倍腰。它是唯一一个既不用开方也不用三角函数的读数，所以两个输入是精确值时它就是精确的
- 高
- 从顶点笔直落到那条底的中点的距离，单位是厘米，由对折出来的一半用勾股定理得到：腰的平方减半个底的平方，再开方。它同时也是这个三角形的对称轴，这就是它正好落在底的中点、而不是偏向一边的原因
- 顶角
- 两条腰在上面夹出的那个角，单位是度，也是等腰三角形里唯一一个没有第二个角与它相同的角。它等于「正弦值为半个底除以腰」的那个角的两倍，三角形压得越扁它越接近 180 度
- 底角
- 底与一条腰夹出的角，单位是度。两个底角按定义相等，所以页面为两者只印一个数，它的算法是 180 度减去顶角之后除以二
- 角的两位小数
- 角印两位小数，而长度印四位，因为量角器大约只能读到百分之一度，反正弦算出来的后面那几位是浮点噪声，不是谁量到的数
凡是架在等腰三角形上的东西都归这一页管，而这种形状出现在任何一个对称的尖顶压在一片平底上的地方。屋顶是最清楚的一例：两条坡面是腰，跨度是底，木工真正要的是坡度——也就是底角——以及屋脊高出墙顶多少，那正是本页的高。把这个三角形沿中线切开，得到的斜边就是椽子的长度，这也是为什么对折在这里是干活的算法而不只是图上的辅助线。山墙、门楣、箭头、漏斗的锥面、帐篷的正面，都是同一个形状换了名字。在金工与木工里，底角是斜切锯调到多少度，顶角则是完工后拿来复核的数。手上量到的是底与一条斜边、而不是高的时候，也是这一页：屋顶、坡道、三角撑上，够得着的是那条斜边，垂直的那条够不着。画图时按对称性标注等腰三角形的情形——比如只给了底与总高——同样落在这里，只是要注意高在本页是输出而不是输入，两者不能互换：底加腰是一对输入，底加高是另一对，本页只收前一对。三角形不是等腰的话，三角形面积页收底与高，海伦公式页收三条边。
算例
底为 6、腰为 5
- 半个底：6 ÷ 2 ＝ 3
- 高：√(25 − 9) ＝ √16 ＝ 4
- 面积：6 × 4 ÷ 2 ＝ 12
- 周长：6 ＋ 2 × 5 ＝ 16
- 顶角的一半：asin(3 ÷ 5) ＝ 36.8699…，所以顶角是 73.7398…，舍入得 73.74
- 底角：(180 − 73.7398) ÷ 2 ＝ 53.1301…，舍入得 53.13
页面打开时的默认值，也是这一页最干净的一行：高正好是 4、面积正好是 12、周长正好是 16，只有两个角留下小数。它是边长为 6、5、5 的三角形，所以这是本批第二处跨页对账——海伦公式页拿这三条边，给出的也是同一个面积 12、同一个周长 16。两条路通向一个三角形，一个答案。底角 53.13 度也不是巧合：把这个三角形对折，剩下的是一个 3-4-5 直角三角形，而 53.13 度正是「水平走 3、竖直升 4」那条斜边与水平方向的夹角——底角那一列每一行都照这条规则走。
底为 6、腰为 6
- 半个底：6 ÷ 2 ＝ 3
- 高：√(36 − 9) ＝ √27 ＝ 5.196152…，舍入得 5.1962
- 面积：6 × 5.196152… ÷ 2 ＝ 15.588457…，舍入得 15.5885
- 周长：6 ＋ 2 × 6 ＝ 18
- 顶角的一半：asin(3 ÷ 6) ＝ 30，所以顶角是 60，底角是 (180 − 60) ÷ 2 ＝ 60
底与两条腰碰巧都是 6 的等腰三角形，也就是等边三角形，而页面把这件事显示出来而不是藏起来：两个角都给出 60 度，那正是这个形状的记号。面积 15.5885 是本批第三处跨页对账，与等边三角形页的边长 6、海伦公式页的 6、6、6 都相同。这也是参考表上唯一一行两个角相等的，因为顶角只有在三个角都是 60 度时才等于底角。
底为 8、腰为 5
- 半个底：8 ÷ 2 ＝ 4
- 高：√(25 − 16) ＝ √9 ＝ 3
- 面积：8 × 3 ÷ 2 ＝ 12
- 周长：8 ＋ 2 × 5 ＝ 18
- 顶角的一半：asin(4 ÷ 5) ＝ 53.1301…，所以顶角是 106.2602…，舍入得 106.26
- 底角：(180 − 106.2602) ÷ 2 ＝ 36.8699…，舍入得 36.87
比默认值更扁的一个三角形——底更长、腰不变——而两个角朝相反的方向走，这是这一行要盯着看的地方。顶角从 73.74 变成 106.26，底角从 53.13 变成 36.87，两个数仍然被「三个角加起来是 180 度」这条规则绑在一起。面积停在 12，周长却涨到 18，这提醒人：把底拉长只是把三角形压扁，并不会让它占更多地方。3-4-5 直角三角形就藏在这一个里面：半个底是 4、高是 3、腰是 5。
底为 10、腰为 13
- 半个底：10 ÷ 2 ＝ 5
- 高：√(169 − 25) ＝ √144 ＝ 12
- 面积：10 × 12 ÷ 2 ＝ 60
- 周长：10 ＋ 2 × 13 ＝ 36
- 顶角的一半：asin(5 ÷ 13) ＝ 22.6198…，所以顶角是 45.2397…，舍入得 45.24
- 底角：(180 − 45.2397) ÷ 2 ＝ 67.3801…，舍入得 67.38
本批里第二个 5-12-13 的一半：半个底是 5、高是 12、腰是 13，所以里面那个直角三角形与海伦公式页从另一个方向碰到的是同一个。除了两个角，别的数全是整数。顶角 45.24 度比半个直角略大，这是个好用的形状自检：底 10、腰 13 的三角形接近但不完全是等腰直角三角形，把底改成 13 乘根号二才会让顶角正好是 90 度。
底为 0、腰为 5
- 半个底：0 ÷ 2 ＝ 0
- 高：√(25 − 0) ＝ 5
- 面积：0 × 5 ÷ 2 ＝ 0
- 周长：0 ＋ 2 × 5 ＝ 10
- 顶角的一半：asin(0 ÷ 5) ＝ 0，所以顶角是 0，底角是 (180 − 0) ÷ 2 ＝ 90
底为 0，这是合法输入，与把框空着不是一回事。两条腰叠在了一起，图形是一段长为 5 的来回重叠的线：高是 5、周长是 10、面积是 0、顶角收拢到没有。底角 90 度是对这件事的诚实读数——底没有长度，它与腰之间的角按约定就是直角。这也就是页面把 0 当成真输入而不拒绝的原因：算式全都成立，答案也正确地描述了那个塌掉的形状。
底为 6、腰为 3
- 半个底：6 ÷ 2 ＝ 3
- 高：√(9 − 9) ＝ 0
- 面积：6 × 0 ÷ 2 ＝ 0
- 周长：6 ＋ 2 × 3 ＝ 12
- 顶角的一半：asin(3 ÷ 3) ＝ 90，所以顶角是 180，底角是 (180 − 180) ÷ 2 ＝ 0
正好卡在边界上的一档，而它是被放行的：两条腰首尾接起来的长度正好等于底，三角形压扁成了一条直线。顶角 180 度，那是一个完全平直的尖角量出来的度数，两个底角则收拢到 0。这里一个 NaN 都没有——算式里每一项都有定义，包括正弦值正好为 1 的反正弦。把底改成 6.2、腰不动，页面就会拒绝，因为那时两条腰根本够不到一起，三角形不存在。
局限
本页只做等腰三角形：恰好两条边等长，那两条是腰，站在那条不相等的底上。不等边的三角形要三条边，归海伦公式页；直角的另有页面；而等边三角形只是本页的一个特例，前提是它的底与腰恰好填成一样。两条腰必须够得着对方：两倍腰小于底时三角形不存在，本页会直说而不给一个数；两倍腰正好等于底那一档是放行的，描述的是一个压扁成直线的三角形，高与面积都是 0、顶角是 180 度。本页收的是底与腰，不是底与高，所以按后一种方式标注的图纸要先用「半个底与高」把腰用勾股定理换算出来。读数一律是厘米与平方厘米，与单位下拉框选什么无关；角一律是度，没有弧度选项。长度四位、角两位是显示宽度而不是精度声明；用卷尺量出来的三角形，高与面积是最后几位还有可能有点意义的读数，而它们仍然取决于底与腰量得多准。本页是二维的，没有厚度这一栏，所以给不出三棱柱的体积或角撑板的重量。
常见问题
- 为什么这一页要腰，而不是要高？
- 因为底与腰这两条边长才是把形状定死的那一对数，高是从它们推出来的。两条给定长度的腰，在一条给定长度的底上方只能交于一个点，没有别的可挑。底与高是同一个三角形的另一对两个数，两个都收就等于把形状定重了——底 6、高 5 会逼出腰是根号三十四，页面还得反过来判断你填的三个数里哪个填错了。
- 为什么有两个角，它们会相等吗？
- 顶角是两条腰在上面夹出的那个，底角是底与腰夹出的那个。它们是两个不同的量，回答的问题也不同：顶角说这个形状有多尖，底角才是屋面坡度或斜切锯要报的数。只有在等边那一档两者才相等，那时三个角都是 60 度——这也正是页面把两个角分开印、而不是只印一个笼统的「角」的原因。
- 两个角怎么从两条边算出来？
- 沿对称轴把三角形切成两半。每一半都是直角三角形，斜边是腰、底是半个底，所以「顶角的一半」的正弦值就是半个底除以腰。把它乘二得到顶角；底角则是 180 度去掉顶角之后平分给两个底角的那一份。页面就是这么算的，所以半个底是 3、腰是 5 会给出 73.74 度的顶角，而不是一个靠猜的数。
- 为什么角印两位小数，长度印四位？
- 因为两者的来源不同。长度可以是精确的——底 6 就是 6——四位是本站在长度上统一的宽度。角来自反正弦，而量角器或斜切锯大约只能读到百分之一度，角的第三、第四位只是把浮点噪声写成了精度的样子。两位就是这个数还有意义的最远处。
- 两条腰太短、跨不过那条底时会怎样？
- 页面会停下来告诉你，而不是给一个数。两条腰要能在底的上方接上，也就是它们的长度之和必须大于底；不满足时三角形不存在。正好等于的那一档是放行的，它描述的是一个压扁成直线的三角形，顶角 180 度、面积 0——那是个真答案而不是失败。
- 底或腰可以填 0 吗？
- 两个都收，两个都给出有意义的答案。腰为 0 时两条腰缩在一点上、底平摊开；底为 0 时两条腰叠在一起，高等于腰、周长是两倍腰、底角是 90 度。两者都与把框空着不同：空着时页面什么都不显示，因为没有东西可算，而 0 是一个描述得出来的形状。
参考资料
- Isosceles triangle（等腰三角形）——两条边相等的那一档，含对称轴、两个相等的底角，以及本页由底与腰算出的那条高 — Wolfram MathWorld（美国）
- Triangle（三角形）——等腰三角形是它加过约束的一个成员；条目里三个角之和恒为 180 度，正是底角算出来的依据 — Wolfram MathWorld（美国）
- Equilateral triangle（等边三角形）——唯一一种顶角等于底角的等腰三角形，两者都是 60 度，也正是本页分印的两个数会碰成同一个值的那一档 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；等腰三角形的性质与判定是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部