海伦公式计算器

s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2 A ＝ √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P ＝ a ＋ b ＋ c

边 a

三条边长中的第一条，单位是厘米。三个框是可以互换的——把哪条叫 a、哪条叫 b，答案一个字都不会变——所以按你量到的顺序填就行

边 b

第二条边长，单位是厘米。它与另外两条要满足三角形三边关系：每一条边都必须短于另外两条之和，否则这三个长度根本围不起来

边 c

第三条边长，单位是厘米。最长的那条填进哪个框都无所谓，填完看一眼半周长：它必须比最长边大，这一次比较比把三个和重算一遍都快

半周长

三角形周长的一半，单位是厘米，也就是三边相加再除以二。它是作为答案印出来的，而不是留在中间步骤里，因为公式就是围着它写的，同时它还兼着一个检查：s 必须大于最长边，三条边才围得起来

面积

三角形占的平面大小，单位是平方厘米，由半周长乘上它与每条边的三个差、再开方得到。它是唯一一个三个输入都用上的读数：周长只是把它们加起来，半周长只是把和除以二

周长

绕三角形一圈的长度，单位是厘米，三边相加。它在这里，是因为当其中一个量是另一个的中间步骤时两者最容易混，而周长本身也是买收边、买线条时真正要用的那个数

√

开平方，作用在四个因子的乘积上。几乎每个三角形的面积都是无理数，所以能给出整数的三边——比如 3、4、5 给出 6——是例外而不是常规，值得留意

凡是你量了三条边、没量高的时候都用这一页，而实际动手时这几乎是全部情形。最典型的是地：边界是直的一块地，量地就是量三边，面积直接从三边出来——把不规则的地块切成几个三角形，每个过一遍本页即可。板材是另一种：三角形的角撑、墙角搁板、帆布都是按三条边报价的，而面积决定要用多少料、会加多少重量。做作业时，它是高不好量或者根本落不到图形里时的那条路，钝角三角形就是这种情形：从最宽的那个顶点落下来的垂线掉在对面那条边的延长线上，贴着材料根本量不着。当三角形来自别处时——CAD 导出的、下料单上的、图纸上只标了三条边的——本页也是最省事的一条路，因为既没有东西要换算，也没有东西要重量。两件要留意的。第一，三条边必须围得起来：最长的那条比另外两条之和还长时，三角形不存在，本页会直说而不是给一个数，因为算下去要开负数的平方。第二，真实的测量几乎不会正好卡在等号上。图纸上写着 10、4、6 米的三角形地块不可能是三角形，但同一块地量到厘米会读成 10.01、3.99、6.00，面积会很小——那是算术在告诉你三个点几乎在一条直线上，不是公式失灵了。

1. 三边为 3、4、5

   1. 周长：3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12
   2. 半周长：12 ÷ 2 ＝ 6
   3. 三个差：6 − 3 ＝ 3，6 − 4 ＝ 2，6 − 5 ＝ 1
   4. 面积：√(6 × 3 × 2 × 1) ＝ √36 ＝ 6

   3-4-5 三角形，工地上放直角用的那一组，也是答案正好是整数最干净的一例。它同时是本页与三角形面积页的对账点：底 3、高 4 在那一页是 6，三条边在这一页也是 6。同一个三角形、两套输入、一个面积。开方开出整数是这一组自己的性质，不是公式的性质——其它绝大多数三边都会留下无理数。

2. 三边为 6、5、5

   1. 周长：6 ＋ 5 ＋ 5 ＝ 16
   2. 半周长：16 ÷ 2 ＝ 8
   3. 三个差：8 − 6 ＝ 2，8 − 5 ＝ 3，8 − 5 ＝ 3
   4. 面积：√(8 × 2 × 3 × 3) ＝ √144 ＝ 12

   底 6、两条腰各 5 的等腰三角形，正是旁边等腰三角形页打开时的默认值，而它给出的也是同一个 12、同一个周长 16。这是本批两处跨页对账里的第二处：等腰那一页从底与腰出发，本页从三条边出发，末位逐位相同。注意半周长 8 比最长边 6 宽裕不少，这就是这三条边围得起来的检查。

3. 三边为 6、6、6

   1. 周长：6 ＋ 6 ＋ 6 ＝ 18
   2. 半周长：18 ÷ 2 ＝ 9
   3. 三个差：9 − 6 ＝ 3，三次都是 3
   4. 面积：√(9 × 3 × 3 × 3) ＝ √243 ＝ 15.588457…，舍入得 15.5885

   等边那一档，也是通向 15.5885 的第三条路：等边三角形页用一条边长 6 得到它，等腰三角形页用「底 6、腰 6」得到它，本页用三条边 6 得到它。三页、三种说法、同一个三角形、同一个面积。√243 就是 9√3，等边那一页写在常数里的根号三，在这里露了出来。

4. 三边为 5、12、13

   1. 周长：5 ＋ 12 ＋ 13 ＝ 30
   2. 半周长：30 ÷ 2 ＝ 15
   3. 三个差：15 − 5 ＝ 10，15 − 12 ＝ 3，15 − 13 ＝ 2
   4. 面积：√(15 × 10 × 3 × 2) ＝ √900 ＝ 30

   一眼会停住的一行：面积 30，周长也是 30。它们不是同一个量，单位也不一样——一个是平方厘米、一个是厘米——只是这一个三角形正好把两个数算成了同一个值。5-12-13 是勾股数，所以它是直角三角形，而直角三角形的三边平方都是整数，因此最容易落到整数上。

5. 三边为 9、10、17

   1. 周长：9 ＋ 10 ＋ 17 ＝ 36
   2. 半周长：36 ÷ 2 ＝ 18
   3. 三个差：18 − 9 ＝ 9，18 − 10 ＝ 8，18 − 17 ＝ 1
   4. 面积：√(18 × 9 × 8 × 1) ＝ √1296 ＝ 36

   第二行面积与周长印同一个数，而这一行不是直角三角形：9 的平方加 10 的平方是 181，17 的平方是 289。所以 36 与 36 相等不是直角带来的，这正是它值得被指出的地方。一张表上两行都这样，恰恰是让第一行看起来像规律的原因，而这一行是它不是规律的证据。

6. 三边为 1、1、2

   1. 周长：1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 4
   2. 半周长：4 ÷ 2 ＝ 2
   3. 三个差：2 − 1 ＝ 1，2 − 1 ＝ 1，2 − 2 ＝ 0
   4. 面积：√(2 × 1 × 1 × 0) ＝ √0 ＝ 0

   正好卡在边界上的一档，而它是被放行的而不是被拒绝的：1 加 1 正好等于 2，两条短边首尾接上，三角形压扁成了一条直线。面积确实是 0，周长确实是 4，所以这里的 0 是正确答案而不是失败。把第三条边改成 2.1，页面就会拒绝，因为那时两条短边够不到一起，三角形不存在。

三个数必须围得成三角形：每条边都短于另外两条之和。围不成时本页会停下来直说，而不给一个数，因为公式会要开负数的平方。最长边正好等于另外两条之和那一档是放行的，给出面积 0——那是压扁成一条线的三角形的诚实答案。读数一律是厘米与平方厘米，与单位下拉框无关，所以按英寸填进去的三条边拿回来的是厘米的答案。四位小数是显示宽度而不是精度声明，而三条量出来的边各自带着误差传进面积——量到毫米的三角形，面积常常在第三位上就已经不确定了，最后那位不该当成有意义的数。海伦公式对很扁的三角形也不友好：当一条边几乎等于另外两条之和时，四个因子里有一个非常小，开方会把测量里本来就有的舍入放大，所以细长条的面积无论印了多少位都该当成近似值。本页是二维的，没有厚度这一栏，所以给不出棱柱的体积或铁板的重量。

既然有底乘高除以二，为什么还要用这一页？

因为高不好量，而三条边好量。高是从顶点垂直落到对边的线段，量它得拿直角尺顶着三角形；钝角三角形的高还会掉到图形外面去，贴着材料根本量不着。沿着三条边拉尺则没有这些麻烦，而海伦公式把这三个读数直接变成面积，中间不需要出现高。如果手上已经有底和高，用三角形面积页，那边的算术更短。

半周长是什么，为什么要印出来？

它是周长的一半，三边相加再除以二，也是海伦公式围着写的那个量：面积等于「s 乘 s 减 a、乘 s 减 b、乘 s 减 c」再开方。它印出来而不留在中间步骤，是因为它同时兼着一个检查——半周长若不大于最长边，这三条边就围不成三角形，而这一次比较能省掉把三个差算一遍的工夫。

三条边围不成三角形时会发生什么？

页面会停下来告诉你，而不是给出一个数。三个长度要围得起来，每一条都必须短于另外两条之和；不满足时根号底下的四个因子里会有一个是负的，面积不是实数。提示里会点出最长的那条边和另外两条的和，让你看出差了多少。唯一放行的是正好卡在等号上的那一档：最长边等于另外两条之和，那种三角形确确实实压扁成了一条线，面积 0 是它的真答案。

为什么叫海伦公式？

因为亚历山大里亚的海伦在一世纪把它记了下来，这使它成为至今仍在日常使用的、比较早的一条结果。它当年是为丈量土地写的——一块地的三条边正是测绳能给出的东西，而高不是。它有时也叫希罗公式，是同一个人名字的另一种译法。

有些三角形的面积与周长印出来是同一个数，这是一条规律吗？

不是，参考表本身就说明了为什么。5-12-13 的面积是 30、周长也是 30，9-10-17 也一样，都是 36——但它们是不同单位的两个量，平方厘米对厘米，而且相等与否完全取决于长度用的是哪个单位。同一个三角形改用米来量，周长降到百分之一、面积降到万分之一，两个数立刻分家。知道这一点，就不会把这种巧合当成三角形的性质。

用卷尺量出来的三条边，算出的面积有多准？

比四位小数所暗示的要差，而且在细长的三角形上更差。每一条量出来的边都把自己的不确定度带进那四个因子，而当一条边几乎等于另外两条之和时，其中一个因子会非常小，开方会把本来就在数字里的舍入放大。答案要按测量精度来舍：三边准到毫米，面积大约准到三位有效数字，面板后面再印多少位都不改变这件事。

• Heron's formula（海伦公式）——由三角形的三条边长、经半周长求面积，本页算的就是它，条目里含证明与对退化情形的说明 — Wolfram MathWorld（美国）
• Triangle（三角形）——一般情形；条目里的三角形三边关系决定了三个长度能不能围起来，底乘高那条面积公式则是旁边三角形面积页用的 — Wolfram MathWorld（美国）
• Semiperimeter（半周长）——海伦公式围着写的那个「边长之和的一半」，同时也是判断三个长度能不能构成三角形最省事的一道检查 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；三角形的三边关系与面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部