等边三角形计算器

A ＝ (√3 ÷ 4) × s² P ＝ 3s h ＝ (√3 ÷ 2) × s

边长

三条边中任意一条的长度，单位是厘米。这是本页唯一的输入，因为等边三角形三条边等长、三个角恒为 60°，只剩下大小这一件事要定

面积

三角形占的平面大小，单位是平方厘米，等于四分之根号三乘边长的平方。那个系数约等于 0.433，是个值得记住的数：等边三角形的面积略大于以它的边为边的正方形的四成

周长

绕三角形一圈的长度，单位是厘米，等于三倍边长，因为三条边一样长。它是三个读数里唯一在边长为精确值时也精确的一个，所以另外两个数看起来不对时，先用它来对

高

从一个顶点笔直落到对边中点的距离，单位是厘米，等于二分之根号三乘边长。它也叫底边上的高，因为图形左右对称，从哪个顶点画下来都是同一条线

√3

根号三，约 1.7320508。它同时出现在面积与高里，而且不是舍入的产物：把三角形对折之后剩一个直角三角形，它的三条边不可能同时是整数，那个「除不尽」必须留在某个地方

四位小数

每个读数印出来的宽度。面积与高几乎总是带着根号三、因此几乎总是除不尽；周长是精确的，印四位是一种固定宽度，不是对精度的声明

凡是用等边三角形拼出来的东西都归这一页管，而这样的东西比名字听起来多。屋架、自行车架、桥梁桁架、货架支撑里都有它，因为三角形是唯一一种不改变边长就推不动形状的多边形——四边形框架侧面一推就倒，门上那条斜撑就是为这件事装的。如果是从一张板材上裁三角形，面积告诉你一张板能出几个，高告诉你一排有多高：尖朝上排成行时，后一排与前排正好重叠一个高，所以间距是它而不是面积。如果是把一条长条折成形状，周长就是接头之外你要备的料长。而如果是在核对图纸，高在三角形里的位置是固定的——它把图形切成两个全等的直角三角形，并且正好落在对边的中点上——所以算出来的高若切不出两个相等的半边，那图纸上画的就不是等边三角形，标签写什么都不算。还有一条算术上的提醒该写在这里而不是塞进小字：面板上印出来的高已经舍到四位了，手工把它乘回去会得到与面积差最后一位的数。面板上两个数各自都是对的，丢的那一位发生在往返的过程里。

1. 边长为 6

   1. 周长：3 × 6 ＝ 18
   2. 高：(√3 ÷ 2) × 6 ＝ 5.196152…，舍入得 5.1962
   3. 面积：(√3 ÷ 4) × 36 ＝ 15.588457…，舍入得 15.5885

   页面打开时的默认值，也是三角形几页互相对账的那一行：三条边都是 6 的三角形在本页面积是 15.5885，等腰三角形页「底 6、腰 6」与海伦公式页「6、6、6」给出的也是同一个 15.5885。三种描述、三条路径、同一个形状，末位逐位相同。这里还能看见那个算术陷阱：6 × 5.1962 ÷ 2 ＝ 15.5886，比上面那个面积高一位，而丢掉的这一位发生在高的舍入里，不在任何一个公式里。

2. 边长为 1

   1. 周长：3 × 1 ＝ 3
   2. 高：(√3 ÷ 2) × 1 ＝ 0.8660254…，舍入得 0.866
   3. 面积：(√3 ÷ 4) × 1 ＝ 0.4330127…，舍入得 0.433

   单位等边三角形，两个常数就是从这里记最省事：边长为 1 时高是 0.8660、面积是 0.4330。拿它和边长为 1 的正方形比——后者面积是 1——同样一条边长，三角形占的地方不到一半，这也正是四分之根号三这个系数的来历。三个读数里有两个的第四位小数是 0，所以印出来时被省掉了。

3. 边长为 2

   1. 周长：3 × 2 ＝ 6
   2. 高：(√3 ÷ 2) × 2 ＝ 1.7320508…，舍入得 1.7321
   3. 面积：(√3 ÷ 4) × 4 ＝ 1.7320508…，舍入得 1.7321

   看起来像印错、其实不是的一行：面积与高都印 1.7321。对这个边长来说两个数都是根号三——边长折半抵消了高里的除以二，边长平方抵消了面积里的除以四——但一个是 1.7321 平方厘米，另一个是 1.7321 厘米。它们是两个量在同一处边长上数值相同，参考表里也只有在边长 2 这一行会这样。

4. 边长为 10

   1. 周长：3 × 10 ＝ 30
   2. 高：(√3 ÷ 2) × 10 ＝ 8.660254…，舍入得 8.6603
   3. 面积：(√3 ÷ 4) × 100 ＝ 43.301270…，舍入得 43.3013

   边长十厘米，差不多是一个屋面支托的尺寸。高 8.6603 是边长的 86.6%，而这个比例永远不变：等边三角形的高恒为边长的 0.866，不管大小。把这种三角形尖朝上排成行的话，这个数就是行距——每一排与下一排正好重叠一个高。

5. 边长为 0

   1. 周长：3 × 0 ＝ 0
   2. 高：(√3 ÷ 2) × 0 ＝ 0
   3. 面积：(√3 ÷ 4) × 0 ＝ 0

   0 是合法输入，不是空着没填。边长为 0 的三角形塌成了一个点，三个读数都是 0，所以这一行零是真答案。空着不填是另一回事：框里什么都没有时页面什么结果都不显示，因为没有东西可算。

本页只做等边三角形：三条边一样长、三个角都是 60°。仅仅等腰的、直角边的、或者任何其它形状而恰好有一条边是这么长的三角形，都不是一个数能描述的，本页会不声不响地按等边三角形给出结果，而不会提示你心里的那个形状其实是另一个。如果手上是任意三角形的两条边，去三角形面积页（给它底与高）或海伦公式页（给它三条边）。读数一律是厘米与平方厘米，与单位下拉框选什么无关，所以按英寸填进去的边长拿回来的是厘米的答案。四位小数是显示宽度，不是精度声明，对量出来的边长来说它是偏宽的。高与面积是两个独立印出的读数：面积由未舍入的高算出，所以把印出来的高手工乘回去会在第四位差一个数，那是舍入差别，不是哪个数算错了。本页是二维的，没有厚度这一栏，所以它给不出三棱柱的体积或三角铁板的重量。

为什么一个数就能描述一个等边三角形？

因为形状是事先定好的。等边三角形三条边一样长、三个角都是 60°，剩下要选的只有大小，而边长就把大小定死了。一般三角形没有用掉这份自由：给一条边，以它为底可以画出无穷多个形状；要给三条边、或者两条边加夹角，三角形才被钉住。这也是本页只有一个输入框的原因。

高是怎么算出来的，根号三是从哪儿来的？

从顶点把高画下来，三角形被切成两个全等的直角三角形。每个的斜边是边长、底是半条边长，勾股定理给出高等于「边长的平方减去四分之一边长的平方」再开方，也就是二分之根号三乘边长。那个除不尽不是舍入造成的，它是「等边的形状被对折」这件事本身留下的东西。

把面板上的高乘上半个底，为什么不等于面板上的面积？

因为面板上的高已经舍到四位小数了，而面积是拿未舍入的高算完再单独舍的。边长为 6 时高印成 5.1962，半个底是 3，乘起来是 15.5886，而面积印的是 15.5885。两个数都对；丢掉的第四位发生在往返的过程中，不在任何一次计算里。要精确的面积就直接用面积那一行，别自己乘回来。

高是边长的几分之几？

永远是边长的 0.866，也就是 86.6%，与三角形多大多小无关。它来自同一个二分之根号三：边长变大时高按同样的比例变大，两者的比值因此从不改变。把这种三角形尖朝上排成行时用的就是这个数——每一排与下面那一排正好重叠一个高。

等边三角形与同样边长的正方形比，谁占的地方大？

正方形大：边长为 1 时正方形是 1 平方单位，三角形只有约 0.433。同样一条边长，三角形用的料更少，但它的周长对这个面积来说也更短，所以这个比较只有说成「每单位边长的用料」才有意义。实际工程里选三角形多半是因为它稳，不是因为面积：三角形不改变边长就推不动形状，四边形一推就倒。

边长可以填 0 吗？那和空着不填是一回事吗？

0 是真实输入，三个读数都会给 0，这正是「没有大小的三角形」的诚实答案。空着不填不一样：框里什么都没有时页面什么结果都不显示，因为没有东西可算。这个区别在打字的过程中很重要——清空输入框准备重填时，不应该闪出一行零。

• Equilateral triangle（等边三角形）——三条边相等的正多边形，含本页计算的高与面积、60° 的角，以及产生根号三的「切成两个直角三角形」那一步 — Wolfram MathWorld（美国）
• Triangle（三角形）——本页是它最简单的成员；条目里的「三边」与「两边夹一角」两种条件说明了为什么一般三角形一个数定不住 — Wolfram MathWorld（美国）
• Regular polygon（正多边形）——等边三角形是它边数为 3 的那一个成员；边数决定角的大小，这里是 60°，正五边形是 108°，正八边形是 135° — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；三角形的边长、周长与面积是义务教育阶段数学课程的内容，勾股定理也在此学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部