三角形计算器

c ＝ √(a² ＋ b² − 2ab × cos C) A₀ ＝ ½ × a × b × sin C A ＋ B ＋ C ＝ 180°

a, b

已知的两条边，以厘米计。它们是对称的——页面不在乎你把哪条叫 a、哪条叫 b，调换过来只是把印出的两个角也对调。两条都必须大于 0，因为长度为零的边让整个图形少了一个顶点，另外两个角会变成 0 ÷ 0

C

这两条边之间的夹角，可用度、弧度或百分度。它叫夹角是因为它被这两条边夹在中间，也是本页唯一让你指定的那个角。取值从 0° 到 180°；正好取 0° 或 180° 时三角形压平成一条线，页面照答，会给出一个 0° 的角和一个 180° 的角

c

第三条边，以厘米计，也就是夹角对着的那条边。它由余弦定理给出——余弦定理就是勾股定理加一个修正项，夹角是直角时余弦为 0，修正项整个消失，剩下 a² ＋ b² ＝ c²。本页把它当主结果，因为后面每一个读数都要用到它

A, B

你没有给的那两个角，以度计，各保留两位。它们由余弦定理在三条边都已知的三角形上再算一遍得到，用的是还没有舍入的第三条边，两个角与 C 加起来到 180° 只差最后一位小数。一个实际是 89.996° 的角会印成 90.00、也被判成直角——徽章判的是屏幕上那几个数，不是它们背后的数

½ × a × b × sin C

面积，以平方厘米计：两条已知边的乘积的一半乘以夹角的正弦。它是三角形面积公式在已知夹角时的样子，因为本来需要的那个高就等于 b × sin C——所以同样的 3 与 4，直角时面积 6，夹 60° 时只有 5.1962，两条边一点没变

A ＋ B ＋ C ＝ 180°

内角和，也是分类这件事成立的前提：三个角都知道了，最大的那个就能说明它是什么形状，而最大的角永远对着最长的边。页面是拿印出来的 A、B 反推出第三个角（180° 减去它们）再判的，所以徽章判的就是屏幕上这几个数——连舍入一起——不会因为末位小数跟它们打架

手上是两边与夹角的时候用这一页，而这正是现场量与图纸标注最常见的那一种：地块的两条边与它们之间的那个转角，两根杆件按已知角度相接，按坡度和跨度描述的屋架，从一个角裁下来的一块三角形布料。它也适合回答关于形状而不是大小的问题——这个角是不是方的，这个三角形是不是锐角，给定三条边能不能围出一个钝角三角形。因为页面把类型印出来，它顺手就能替代木工那把 3-4-5 角尺做的核对：两条边 3 与 4、夹角填 90，答案回来说直角；同样的两条边夹角填 92，回来说钝角，而且第三条边已经比直角时长了一截。手上是三条边、量不到角，请用 herons-formula-calculator，那是另一条完全互补的路。手上是底和高，请用 triangle-area-calculator，它不需要三角函数。已知那个角就是直角，而且只想要勾股定理那一条式子，请用 pythagorean-theorem-calculator。三角形如果带着特殊的对称性，等边请用 equilateral-triangle-calculator、等腰请用 isosceles-triangle-calculator，那两页收的数更少，角也不用你填。

1. 两条边 3 与 4、夹角 90°

   1. 90° 的余弦是 0，修正项整个消失：c ＝ √(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5
   2. 面积：½ × 3 × 4 × sin 90° ＝ ½ × 12 × 1 ＝ 6
   3. 周长：3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12
   4. 角 A 对着长度 3 的那条边：cos A ＝ (4² ＋ 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) ＝ 32 ÷ 40 ＝ 0.8，于是 A ＝ 36.87°
   5. 角 B：180 − 90 − 36.87 ＝ 53.13°
   6. 最大的角是 90°，页面判为直角三角形

   3-4-5 三角形，也是把分类这件事讲清楚的一行：页面认出那个直角并明说，不用你自己回头核对。两个角 36.87° 与 53.13° 在每一个 3-4-5 三角形里都会出现，往同一套算式的另一端走，还会出现在对角线为 6 与 8 的那个菱形里。它同时是余弦定理包含勾股定理最直白的展示：夹角是 90° 时修正项为 0，两条公式说的是同一句话。

2. 两条边 5 与 5、夹角 60°

   1. 60° 的余弦是 0.5：c ＝ √(25 ＋ 25 − 2 × 5 × 5 × 0.5) ＝ √(50 − 25) ＝ √25 ＝ 5
   2. 第三条边与给出的两条边一样长，于是三条边都是 5
   3. 面积：½ × 5 × 5 × sin 60° ＝ 12.5 × 0.866025… ＝ 10.8253
   4. 周长：5 ＋ 5 ＋ 5 ＝ 15
   5. 三条边相等，三个角也相等：(180 − 60) ÷ 2 ＝ 60，两个角都印 60°
   6. 最大的角是 60°，页面判为锐角三角形

   两条边相等、夹角 60°，是第三条边被迫与它们一样长的那一种情形，图形就此变成等边三角形——60° 正是等腰三角形的底边恰好长到与两条腰相等的那个角度。同子类的 equilateral-triangle-calculator 用一条边就能解出同一个图形，因为三条边相等之后没有别的可说了；在这里做一遍的看点是第三条边自己落回 5，而不是被人告知它是 5。面积 10.8253 也出现在边长为 5、夹角 60° 的那个菱形里，这不是巧合：那个菱形就是两个这样的三角形，10.8253 乘以 2 正是它的 21.6506 平方厘米。

3. 两条边 7 与 8、夹角 60°

   1. 60° 的余弦是 0.5：c ＝ √(49 ＋ 64 − 2 × 7 × 8 × 0.5) ＝ √(113 − 56) ＝ √57 ＝ 7.549834…，保留四位是 7.5498
   2. 面积：½ × 7 × 8 × sin 60° ＝ 28 × 0.866025… ＝ 24.2487
   3. 周长：7 ＋ 8 ＋ 7.5498 ＝ 22.5498
   4. 角 A 对着长度 7 的那条边：cos A ＝ (64 ＋ 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7.5498) ＝ 72 ÷ 120.797 ＝ 0.596，于是 A ＝ 53.41°
   5. 角 B：180 − 60 − 53.41 ＝ 66.59°
   6. 最大的角是 66.59°，页面判为锐角三角形

   最普通的一行，两条边不一样长、夹角 60°，三个答案都不是整数——想知道这一页在没有巧妙数字可捡的时候长什么样，看这一行就够。第三条边 7.5498 比 7 长、比 8 短，这是事先唯一能说的一件事：夹角对着的那条边夹在围出它的两条边之间；而剩下那 120° 按对边长短分给两个角，短边 7 分到的角更小，53.41° 对 66.59°。面积 24.2487 很接近却不是 24 平方厘米——梯形那页用另一组四条边得到的正是 24，这个差之毫厘提醒我们：整数是输入的功劳，不是公式的。

4. 两条边 10 与 10、夹角 120°

   1. 120° 的余弦是 −0.5：c ＝ √(100 ＋ 100 − 2 × 10 × 10 × (−0.5)) ＝ √(100 ＋ 100 ＋ 100) ＝ √300 ＝ 17.320508…，保留四位是 17.3205
   2. 面积：½ × 10 × 10 × sin 120° ＝ 50 × 0.866025… ＝ 43.3013
   3. 周长：10 ＋ 10 ＋ 17.3205 ＝ 37.3205
   4. 两条边相等，剩下两个角也相等：(180 − 120) ÷ 2 ＝ 30，各印 30°
   5. 最大的角是 120°，页面判为钝角三角形

   钝角三角形，也是余弦定理那个修正项越长越大的情形：120° 的余弦是负的，减掉它反而让和被加上去，于是第三条边比你给的任何一条边都长——17.3205 对 10。这正是大于 90° 的角留下的记号，也正是分类徽章在看的东西。面积 43.3013 比同样两条边在直角时围出的 50 平方厘米要小，所以把夹角张过 90° 是拿面积换对边的长度，与菱形被压歪时是同一笔交易，也是这一页要把类型印出来、而不是让你自己从数字里看出来的原因。

本页只解「两条边加它们的夹角」这一种三角形，别的给法都不收。给它三条边它无从下手——那是 herons-formula-calculator 的活，它直接给面积，而角要再走一步，本页不做。给两个角加一条边也帮不上忙，虽然页面内部算的正好就是这件事。它不能反着算：从面积或者周长回不到产生它的三角形，同一个面积有无数个三角形。无论输入用什么单位，长度与面积都按厘米、平方厘米打印，两个角永远是度，哪怕你填的是弧度或者百分度——单位选择器改变的是你那个数怎么读，不是答案怎么写。那个选择器也正是唯一值得点名的坑：60 弧度不是 60 度，页面会按你选中的单位一路算下去，不会提醒你「这个数对角来说太大了」；结果看着离谱时，第一个该检查的就是它。两条边都必须大于 0，长度为零的边会被拒绝；夹角正好 0° 或 180° 却会照答，给出一个 0°、一个 180° 和一个 0° 的压平图形，并被判成钝角三角形——算式上自洽，但几乎不会有人真的要它，而页面不会提示图形已经塌了。两条边相等且夹角为 0° 的那一种直接拒绝，因为第三条边会是 0，三角形一点都不剩。徽章判的是印出来的角，保留两位，所以最大角是 89.999° 的三角形会被判成直角——这是对屏幕上那几个数老实的读法，也提醒我们分类的精度就是显示的精度，不会更多。除了夹角范围和边长为正，页面不检查你给的三个数到底能不能围成三角形，因为任意两条正数与范围内任意一个夹角总围得出来。四位小数与两位角是这个子类共用的显示宽度而不是精度声明。这里也不计损耗、锯缝和地势起伏。

知道两条边和它们的夹角，怎么求第三条边？

用余弦定理：第三条边是 a² ＋ b² − 2ab × cos C 的平方根，其中 C 是两条已知边之间的夹角。两条边 3 与 4 夹 90° 时余弦为 0，答案是 √25 ＝ 5；夹 60° 时余弦是 0.5，修正项是 12，第三条边是 √13 约 3.6056——同样两条边，短了明显一截。

页面怎么判断这个三角形是锐角、直角还是钝角？

看三个角里最大的那一个。小于 90° 是锐角三角形，正好 90° 是直角三角形，大于 90° 是钝角三角形。最大的角永远对着最长的边，所以同一条判据可以回过头用边来验：两条较短边的平方相加，与最长边的平方比——相等是直角，大于是锐角，小于是钝角。两条边 10 与 10 夹 120° 时第三条边是 17.3205，三角形是钝角。

为什么两条边加一个夹角就能定住整个三角形？

因为两条边像圆规的两只脚可以随便张开，夹角决定了它们最终张多开。夹角一旦定下，两个自由端之间就只剩一个可能的距离，第三条边随之定死；三条边都定了，三个角也就定了。这也是为什么光给两条边不够——3 与 4 能围出的面积从接近 0 到 6 平方厘米都有可能，直角时最大——而光给三个角也不够，它定的是形状而不是大小。

这里用的是什么面积公式？

两条已知边的乘积的一半乘以夹角的正弦：A₀ ＝ ½ × a × b × sin C。它就是底乘高的一半，只是那个高被换掉了——一条边上量出来的高正好等于另一条边乘以夹角的正弦。两条边 3 与 4 夹 90° 时是 ½ × 12 × 1 ＝ 6 平方厘米；同样两条边夹 60° 时是 5.1962，因为 sin 60° 是 0.866。

夹角填 0° 或者 180° 会怎样？

三角形压平成一条线，页面照样作答：两条边 4 与 3 夹 0° 时第三条边是 1，一个角是 180°、另外两个是 0°，面积 0。分类回来是钝角，与「大于 90° 就是钝角」这条规则一致，只是压平的图形属于退化情形而不是真正的形状。唯一会被拒绝的组合是两条边相等且夹角 0°，那时第三条边是 0，什么都不剩。

直角三角形能用这一页算吗？

能，而且页面会告诉你结果：两条边 3 与 4、夹角填 90，类型回来就是直角。算式在这里退化得很干净，因为 90° 的余弦是 0，余弦定理塌缩成 a² ＋ b² ＝ c²。如果你解的三角形个个都是直角，pythagorean-theorem-calculator 直接收两条边、跳过三角函数；而当你并不确定那个角是不是正好 90° 时，该用的正是本页。

• Triangle——本页求解的三边图形，条目里给出内角和、锐角／直角／钝角的三分法，以及最大角与最长边之间的对应关系 — Wolfram MathWorld（美国）
• Acute Triangle——三个角都小于直角的三角形，也就是本页三档分级里的第一档 — Wolfram MathWorld（美国）
• Obtuse Triangle——有一个角大于直角的三角形；这一档里余弦定理的修正项是负的，第三条边会比给出的两条边都长 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；三角形的内角和、三角形的分类与面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部