勾股定理计算器

a² ＋ b² ＝ c² c ＝ √(a² ＋ b²) a ＝ √(c² − b²) b ＝ √(c² − a²) 面积 ＝ ab ÷ 2 周长 ＝ a ＋ b ＋ c

a

两条直角边之一，也就是在直角处相交的那两条边。哪一条叫 a 都行，所以两个直角边格子是可以互换的——把两个数对调填进去，答案一个都不变

b

另一条直角边。你填哪一条、留空哪一条，对三角形没有任何影响；标着 b 的那一格只是「没被用来当 a」的那一个

c

斜边，直角所对的那条边，三条里最长的一条。这是唯一一个容易填错的格子，因为它长得和别的边格子一模一样——要是页面说「斜边必须比给定的直角边长」，那就是两个数填反了

所求的边

你留空的那一条，由另外两条算出，排在最前因为那正是你问的问题。注意它可能是一条直角边，也可能是斜边，取决于你空的是哪个格子

面积

两条直角边乘积的一半，单位平方厘米。它只用两条直角边：斜边从不进入直角三角形的面积，核对答案时这是一条很有用的记忆

周长

三条边相加，单位厘米。它是从没有舍过的边长算的，所以把屏幕上那两个你填的数加上印出来的所求边，可能在末位与它差一

两位小数

三个输出的显示宽度。从开方里出来的边，除非三角形恰好是整数勾股数组，否则都是无理数，所以对多数输入来说这两位是切断而不是结束

凡是牵涉到直角、又缺一个长度的地方，就是这一页。梯子靠在墙上，能量的是墙与地面，梯子本身是斜边；一块长方形的田，围栏要沿对角线拉，两条边已经知道；屋顶，举高与跨度知道，椽子的长度不知道；屏幕，报的是对角线，两条边没有。任何能还原成长方形加一条对角线的东西，都是这一页的活。它也适合用来核对在坐标网格上算出的距离：两点之间横向与纵向的步长是两条直角边，它们之间的直线距离是斜边——同一个子类里的距离那一页与本页，装的是同一套算术的两身衣服。两个习惯能让答案变得好信。斜边永远是最长的一条，所以所求边算出来比你填的斜边还长，说明两个格子填反了。所求边永远短于另外两条之和，因为两点之间直线最短；违反其中任何一条界，无论算术看起来多顺都是错的。三条边齐了之后，面积值得扫一眼当作常识核对——直角边三与四的三角形盖住六个平方单位，一个盖住六十的，是小数点放错了地方。

1. 两条直角边是三与四

   1. 缺的是斜边，所以相加：3² ＋ 4² ＝ 9 ＋ 16 ＝ 25
   2. 开方：√25 ＝ 5
   3. 面积：(3 × 4) ÷ 2 ＝ 6
   4. 周长：3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12

   表单的默认值，也是三条边全是整数的最小直角三角形。这里每一个数都是精确的，所以它是最合适的校准用例：三、四、五，面积六，周长十二，一处舍入也没有。要记一组直角三角形就记这一组，因为它是在同一套单位下核对任何别的答案最快的办法——九加十六是二十五，不回到这个数的结果一定是哪里错了。

2. 两条直角边是五与十二

   1. 斜边：25 ＋ 144 ＝ 169
   2. 开方：√169 ＝ 13
   3. 面积：(5 × 12) ÷ 2 ＝ 30
   4. 周长：5 ＋ 12 ＋ 13 ＝ 30

   再往上一组整数勾股数，还有一处值得留意而不是当成错误报上来的巧合：面积与周长都是三十。那是这个特定三角形的性质而不是一条规律，而且很容易自己证明它不是——上面那个三、四、五的三角形面积是六、周长是十二，两者并不相等。直角三角形的面积是两条直角边乘积的一半，周长是三条边之和，只有当直角边恰好满足某一个方程时两者才会撞上。

3. 一条直角边与斜边，缺的是直角边

   1. 缺的是一条直角边，所以相减：10² − 6² ＝ 100 − 36 ＝ 64
   2. 开方：√64 ＝ 8
   3. 面积：(6 × 8) ÷ 2 ＝ 24
   4. 周长：6 ＋ 8 ＋ 10 ＝ 24

   用减法的那个方向，也是最容易把人绊住的一个，因为两种运算只差一个符号。它是三、四、五那个三角形放大一倍，这就是面积与周长又落在同一个数上的原因——每条边翻倍会把面积变成四倍、把周长变成两倍，而在这里这两个倍数撞在了一起。直接读答案也对得上：所求的 8 比斜边 10 短、比直角边 6 长，正好该落在那个位置。

4. 换一组起点求另一条直角边

   1. 缺的是一条直角边，所以相减：169 − 144 ＝ 25
   2. 开方：√25 ＝ 5
   3. 面积：(5 × 12) ÷ 2 ＝ 30
   4. 周长：5 ＋ 12 ＋ 13 ＝ 30

   与第二个例子同一个三角形，从另一对格子进去，这也是页面对自己的检查。五、十二、十三这个三角形既可以从两条直角边解（第二个例子），也可以从一条直角边加斜边解（这一个），两条路必须给出同样的三条边。注意这里空着的格子换了一个——答案还是一条直角边，但它是 a 而不是 b，两个输入框里的数相对上一个例子是对调过的。

5. 两条直角边相等

   1. 斜边：1 ＋ 1 ＝ 2
   2. 开方：√2 ＝ 1.4142135…，舍到两位是 1.41
   3. 面积：(1 × 1) ÷ 2 ＝ 0.5
   4. 周长：1 ＋ 1 ＋ 1.41421 ＝ 3.41421…，舍到两位是 3.41

   最小的等腰直角三角形，也是「答案通常不是整数」最标准的演示。边长为一的正方形，对角线是根号二——一个既不尽、也不循环的数，而没有任何整数三角形的边长比是一比一比根号二，这正是这条定理的答案必须被舍入的原因。周长在这里是有意思的那个：它是唯一依赖未舍入斜边的输出，而把两个印出来的数加上印出来的 1.41，在这一组输入上恰好也得到同一个值——但不是每一组输入都如此。

6. 两条直角边是零点五与一点二

   1. 斜边：0.25 ＋ 1.44 ＝ 1.69
   2. 开方：√1.69 ＝ 1.3
   3. 面积：(0.5 × 1.2) ÷ 2 ＝ 0.3
   4. 周长：0.5 ＋ 1.2 ＋ 1.3 ＝ 3

   一组乔装过的整数勾股数：零点五、一点二、一点三就是五、十二、十三每边除以十，所以它尽管带小数却是精确值，不是舍过的。勾股数可以缩放，这意味着它们有无穷多组，也意味着一组看起来别扭的小数边照样可能是干净的。它还说明了一件事：带小数点的答案与舍过的答案不是一回事——这里的 1.3 是精确的，而上一个例子里的 1.41 不是，而页面没有能力告诉你手上是哪一个。

本页求出一条边，再给出面积与周长。它不告诉你这组边是不是整数勾股数，不告诉你三角形是否等腰，也不告诉你这个三角形属于哪一类——那是一个决定而不是疏漏。一组边长是不是勾股数，这个问题在本页内部没法可靠地回答，因为求解器收到的数已经被换算成厘米了：按三与四英寸填进去的边，到达时是 7.62 与 10.16，而原来那组三、四、五是不是整数勾股数，这条信息已经被换算扔掉了。一个会随用户选了哪个单位而改变结论的判断，比没有判断更糟，所以本页保持沉默，那件事该由另一个工具来做。一切以厘米与平方厘米报出，不管下拉框说什么，而且换算发生在解三角形之前而不是之后。平方不是线性的，所以这不等于「按原单位解完再换算答案」，一个按英寸输入的整数勾股数不会给出整数厘米。所求边从开方里出来，对几乎每一个输入都是无理数，所以两位小数是切断而不是完整的答案——尽管输入的边本身可以是精确的。周长与面积从没有舍过的边长算出，所以拿屏幕上印出来的数复原它们，可能在末位差一。三个格子必须恰好填两个：只填一个会被拒，因为形状定不下来；填满三个也会被拒，因为三条边互相约束，一组互相矛盾的边背后没有任何三角形。边长 0 不被接受——这一点与隔壁圆页不同，那边半径为零是合法的——因为一条边长度为零的三角形不存在，它的面积与周长都没有意义。斜边必须严格长于与它同时给出的那条直角边，不满足时页面会让你把两个数对调，而不是报一个错误码；那条提示的意思是两个格子填反了，而那是这个形状招来的最常见错误。最后，这是一个平面上的、含直角的三角形；斜三角形与画在球面上的三角形，都不在这条定理说的范围里。

三个格子该填哪两个？

任意两个都行。两条直角边可以，一条直角边加斜边也可以，页面靠「你空着哪个格子」来判断是哪一种情形。它不接受只填一个，也不接受填满三个。单独一条边定不下一个直角三角形，没有什么可解的；而三条边会把形状定得过头——任意两条已经定住了第三条，一组互相矛盾的边背后没有三角形。

怎么知道该加还是该减？

看你空的是哪个格子。斜边是缺的那一条时，把两条直角边的平方相加再开方；缺的是一条直角边时，把斜边的平方减去已知直角边的平方，再对剩下的开方。页面按输入的形状替你决定，这也正是用它而不是用普通计算器的理由：两种情形只差一个符号，把两者弄混得到的是一个看起来毫无破绽的错误答案。

页面说斜边必须比直角边长，我哪里填错了？

两个数放进错误的格子了。斜边是直角所对的边，永远是三条里最长的一条，所以它不可能比直角边短、也不可能与之相等。把两个值对调就好。这是本页最常见的错误，因为两个格子的外观完全一样——一个普通的输入框上看不出哪一格才是装长边的那一格，而边长为 5、5、3 的三角形并不存在。

我填的都是整数，所求的边为什么带小数？

因为一个整数的平方根通常不是整数。整数边直角三角形——三、四、五，五、十二、十三，八、十五、十七——是真实存在而且有无穷多组的，但它们在所有直角三角形里只占一小部分。其余情形下所求的边是无理数，显示的两位是把它切断的地方。7.62 这样的答案是近似值，8 这样的答案是精确值。

页面会告诉我这组边是不是三、四、五吗？

不会，而且它有意不去试。算术跑起来的时候，长度已经被换算成厘米了，所以按三与四英寸输入的三角形到达求解器时是 7.62 与 10.16——原来那组数是不是整数，这条信息在问题被问出来之前就已经没了。一个会随所选单位给出不同答案的检查，比没有检查更糟，所以本页只求边，把分类交给另一个工具。

面积和周长是同一个数吗？

只是巧合，而本页自己的参考表里就有这么一处：五、十二、十三的三角形面积是三十平方厘米，周长是三十厘米。两者是不同的量，相等只在数字上。直角三角形的面积是两条直角边乘积的一半，周长是三条边之和，它们对这个三角形以及少数几个别的情形恰好撞上。往上数两行的三、四、五，面积是六而周长是十二。

边长可以是 0 吗？

不可以。一条边长度为零的三角形不是三角形——三个点会共线或重合，面积与周长都会失去意义。这一点与同一个子类里的圆页确实不同，那边半径为零是合法输入，描述一个缩成点的圆。这里边长为零会在字段处直接被拒，负的长度同样如此。

• Pythagorean theorem（勾股定理）——直角三角形两条直角边与斜边的关系，正文所引的历史也出自该条目：这条关系在比毕达哥拉斯早一千多年的巴比伦计算中已被使用，早期印度与中国文献里也有，而《周髀算经》保存了一个割补论证，用摆在一个中央正方形周围的图块确立三条边上的正方形之间的关系（Dauben 2007、Maor 2007） — Wolfram MathWorld（美国）
• Pythagorean triple（勾股数）——像三、四、五这样三条边全是整数的组合；本页会算出它们却有意不去辨认，而它们之所以是例外而不是常态，原因也在这条 — Wolfram MathWorld（美国）
• Right triangle（直角三角形）——本页所解的形状，其中斜边定义为直角所对的边，因此是三条边里最长的一条 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；勾股定理及其逆定理是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部