距离计算器

距离 ＝ √((x₂ − x₁)² ＋ (y₂ − y₁)²) 横向直角边 ＝ x₂ − x₁ 纵向直角边 ＝ y₂ − y₁

第一点

一个横坐标加一个纵坐标，也就是从哪一点量起的那一点。两个坐标都是纯数字，可以是负数、小数或 0，也没有单位可选

第二点

量到哪一点，规则完全一样。它可以在第一个点的任何方向上——正上方、正下方、正左、正右，或者斜着

横向直角边

第二个点的横坐标减去第一个点的：从一点到另一点横向走了多少。负值表示第二个点在第一个点的左边，而这个数也正是算斜率时会用到的「水平位移」

纵向直角边

第二个点的纵坐标减去第一个点的，竖直走了多少。负值表示第二个点更低。它与横向那一格一起构成一个直角三角形，斜边就是距离

距离

两条直角边各自平方、相加、开方。它永远不会是负数，也只在两个点重合时为 0；由于几乎总是开不尽方，本页把它舍到四位小数

四位小数

三个读数的显示宽度。两个直角边是精确的（就是两次减法），距离则几乎总是近似值——两者的区别在参考表里一眼能看出来

手上有两个点、只想知道它们隔多远、而不关心是往哪个方向隔的时候，就是这一页。两张地图坐标之间差多少、两根柱子之间拉一道篱笆要多长、一段对角线要走多少电缆、一个仓库到另一个仓库的直线距离——凡是能落到平面上、又不需要考虑实际路线的场合，用它。它还有一个不太显眼却常常更值钱的用法：核对。任何两个能放到平面上的结果都可以互相量一遍，算出来的距离差了一个数量级，就说明上游某一步的符号或小数点出了问题。两条直角边则在另一类问题里派上用场：你要知道横着差多少、竖着差多少，它们直接回答，而且带着符号，所以不仅给出大小还给出方向。这正是算斜率、角度或方位角之前需要的那两个数——本页不给这些结果，但把它们赖以计算的原料交到你手上。一个值得养成的习惯：读答案之前先在心里把两条直角边平方相加。九加十六是二十五，所以距离是 5 才对；而要是印出个 50，那是小数点放错了位置，不是题目出人意料。

1. 横向三、纵向四

   1. 横向直角边：3 − 0 ＝ 3
   2. 纵向直角边：4 − 0 ＝ 4
   3. 各自平方：9 与 16
   4. 相加开方：√25 ＝ 5

   表单的默认值，也是三条边全是整数的最小直角三角形。两个细节值得留意：两条直角边正好等于你填进去的数，这只在一个点是原点时才发生；而距离是精确值而不是舍过的方根，这在本页是少数。把这一组当成标尺——要是这里印出 5，说明算术是好的，别处那些看着奇怪的答案都来自输入本身，不是页面坏了。

2. 距离开不尽方的一档

   1. 横向直角边：5 − 1 ＝ 4
   2. 纵向直角边：8 − 2 ＝ 6
   3. 各自平方：16 与 36
   4. 相加得 52，开方是 7.21110255…，舍到四位是 7.2111

   常见的那一档，而不是整齐的那一档。52 不是完全平方数，所以答案是无理数，印出来的四位只是它的开头。一个不花钱的核对是：距离必须比任何一条直角边都长——斜边是直角三角形里最长的一条——所以 7.2111 对着 4 与 6 是合理的，而要是距离比 6 还短，那就是把开方用错了地方。

3. 同样两个点，反过来量

   1. 横向直角边：0 − 3 ＝ −3
   2. 纵向直角边：0 − 4 ＝ −4
   3. 各自平方：9 与 16，平方把符号消掉了
   4. 相加开方：√25 ＝ 5

   把三、四、五那一组的两个端点对调，一档里同时看到两件事。两条直角边都变成负数，因为两次减法都换成了反方向；距离却仍然是 5，因为平方在相加之前就把符号扔掉了。这正是距离永远为正的原因：它是一条长度，测量时朝哪个方向走从来没有进入过这个式子。

4. 以百万计的距离

   1. 横向直角边：6000000 − 0 ＝ 6000000
   2. 纵向直角边：8000000 − 0 ＝ 8000000
   3. 平方相加：3.6 × 10¹³ 加 6.4 × 10¹³ 等于 10¹⁴
   4. 开方：10000000

   三、四、五那一组放大了两百万倍，也就是以米为单位的投影坐标会出现的量级，而不是纸上的一张图。数字变大不会让页面上的任何东西发生变化：两条直角边和输入一样精确，距离也落在整数上。这一档写在这里就是为了说明这件事——以为大坐标必然带来舍入的读者，看到这个整数会以为哪里不对。

5. 两个点是同一个点

   1. 横向直角边：2.5 − 2.5 ＝ 0
   2. 纵向直角边：((−1.5) − (−1.5)) ＝ 0
   3. 各自平方：0 与 0
   4. 相加开方：√0 ＝ 0

   一个点与它自己的距离是 0，这是正确答案，而且是唯一能得出 0 的输入——两个平方之和为 0，只有两个平方各自为 0 才行。本页不会把它当成「没算出来」。值得见一次，免得以后看到第一列出现 0 就以为是某一格没填上。

本页只量平面上的距离。没有第三个坐标格，所以空间中两个点之间的距离算不了：那还需要第三个轴上的差，而这一页没有地方安放它。带可选 z 输入框的方案评估过并否决了，因为一个点有 z、另一个点没有的时候没有合理的答案，而相邻的两页为了保持一致也得跟着长出同样的字段。坐标不带单位，答案就落在你用的那套数上，而本页看不出你混用了两套——一个点按米填、另一个点按毫米填，算术会高高兴兴地跑完，给出一个错误的数，页面上没有任何一处会提示。两条直角边是有向差而不是距离，所以印出负数是对的，不是要修的错。距离本身舍到四位小数，而且几乎总是无理数，印出来的值是数位被截断的地方，不是完整的答案。坐标的上限是正负十亿，对任何一张图都远远够用，对某些以米为单位的投影坐标却不算宽，超出会被拒而不是照算。本页算的是直线距离，不是路程：要走公路、绕墙、沿海岸线，这里的数是理论上的最短路径，永远比实际能走的短。最后，本页只给距离与两条直角边，不给方位角、不给两点连线的斜率、也不给中点——那些是相邻几页的事，而这里给出的两个直角边正是它们需要的输入。

两点间距离公式是什么？

把勾股定理写成坐标的样子：两个横坐标之差、两个纵坐标之差各取平方、相加、开方。那两个差就是直角三角形的两条直角边，而距离是它的斜边，所以这个公式不是另一条要背的规则，而是三角形那条规则用在两点之间的位移上。(0, 0) 与 (3, 4) 就是 √(9 ＋ 16)，等于 5。

为什么旁边那两格会出现负数？

因为它们是往哪个方向走了多少，而不是隔了多远，而方向是有正负的。横向那一格是第二个点的横坐标减去第一个点的，第二个点在左边就是负的；纵向那一格是第二个点更低时为负。本页有意保留这个符号：它是唯一说明第二个点在哪一侧的东西，也是接着算斜率或方位角时要用到的数，而距离本身把符号扔掉了——平方以后再相加，符号就没了。

空间里两个点的距离能算吗？

不能，本页也没有假装能——没有第三个坐标格可以填。空间距离还要加上第三个轴上的差，一并放进平方和里再开方，而只给两个坐标的话页面只能替第三个轴假设一个值。要是你的点在空间里，可以先用本页算出水平面内那一段，再把高度差自己并进去，但这一步页面不会替你做。

坐标的单位是米、厘米还是别的？

你说是什么就是什么。本页把坐标当成纯数字，不给答案挂单位、也没有单位下拉框，这是有意的：一张图或一套地图网格上的坐标，在你决定那套网格是什么之前并没有单位。数字是米，距离就是米；数字是经纬度，距离就是度——而最后这一种，不知道在地球上的哪个位置是没法换算成千米的。

距离可能是负数或 0 吗？

不可能是负数：两条直角边在相加之前先各自平方，符号已经没了，而非负数的平方根不会是负的。只有两条直角边都是 0 时才等于 0，那表示两个点是同一个点——那是真答案而不是算失败。除此之外任何两个不同的点都给出一个正的距离，靠得再近也是正的。

不动笔怎么核对答案？

把两条直角边平方相加，再问「哪个数平方等于这个和」。四与六给出 16 加 36，也就是 52，而 7.2111 的平方接近 52，所以答案落在正确的区间里——即便 52 不是完全平方数。两条性质让检查变得很快：距离一定比任何一条直角边长（斜边是直角三角形里最长的一条），也一定比两条直角边之和短。落在这两条界线之外的答案都是错的。

• Distance（距离）——平面上两点之间的距离，等于两个坐标差各自平方、相加、开方；本页算的就是它 — Wolfram MathWorld（美国）
• Cartesian Coordinates（笛卡尔坐标）——用点到两条互相垂直的轴的距离来命名一个点；本页的两条直角边之所以是横向与纵向的，正是因为坐标轴是这么摆的 — Wolfram MathWorld（美国）
• Pythagorean theorem（勾股定理）——直角三角形两条直角边与斜边的关系；距离公式就是它，两个坐标差是直角边、距离是斜边 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面直角坐标系中两点间的距离公式是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部