中点计算器
结果
中点的 x
- 中点的 y
- 5.0000
- 中点到两端的距离
- 3.6056
中点计算器求的是一条线段的中间那一点。把两端的坐标填进去，答案就是两个坐标各自的平均数：(1, 2) 与 (5, 8) 的中点是 (3, 5)，因为 1 与 5 的平均数是 3、2 与 8 的平均数是 5。方法只有这一句话——两个横坐标相加除以 2，两个纵坐标相加除以 2——本页把它写开、算完，再把结果放在面板上。除了中点本身，本页还给出「半长」：从中点到任意一端的距离。它不是必需的另一半答案，而是一次核对——中点按定义到两端一样远，所以这个数与你用手量出来的那半段必须相等；要是你把两个端点的顺序填反了，或者其中一格填错了位，它不会去猜，只会把那段距离如实地印出来。两件事值得先说清楚。坐标是纯数字，不带单位：本页不会问你是米、厘米还是格，也不会在答案上挂一个单位——数字从哪来，答案就跟着哪套单位走。而半长是带单位的那一个：它是一条长度，本页按厘米算，也就是把输入的坐标当成厘米来读；要是你的坐标是米，半长就是米数。还有一件容易让人以为出错的事：面板上的四个数未必逐位互相自洽。中点的两个坐标是精确的（两个数相加除以 2，不会引入误差），半长却几乎总是无理数、被舍到四位，所以拿印出来的中点与某一端重新量一遍，第四位可能与印出来的半长差一。真答案属于你填进去的那四个数，不属于显示出来的那个近似值。
几组常见的中点与半长
| 第一点 x | 第一点 y | 第二点 x | 第二点 y | 中点 x | 中点 y | 半长 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 5 | 8 | 3 | 5 | 3.6056 |
| 0 | 0 | 10 | 0 | 5 | 0 | 5 |
| 4 | -7 | -4 | 7 | 0 | 0 | 8.0623 |
| 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 0 |
| -3 | 4 | 7 | -2 | 2 | 1 | 5.831 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
六组坐标，前四列是你填进去的，后三列是答案。第一行是表单的默认值，也是最好手算的一组：横坐标 1 与 5 给出 3，纵坐标 2 与 8 给出 5，而半长是一个开不尽方的数。第二行是水平线段（两端纵坐标相同），中点的纵坐标原样不变，半长正好是横坐标之差的一半——两端在同一水平线上时，半长不用开方就能读出来。第三行两端关于原点对称（第二个点是第一个点整体反号），中点是原点，而半长不是 0：它量的是中点到一端的距离，与中点的坐标是两回事。第四行两端重合，半长是 0，那是退化情形而不是算错。第五行两端之差是偶数，中点的两个坐标都落在整数上，而半长 5.831 是个近似值——同一次计算里前两个读数精确、第三个近似，这不是不一致。第六行两端都在原点上，四个坐标全为零，答案就是原点本身。所有读数都由你填进去的那四个数现算，中点是精确值，半长按厘米算、保留四位。
公式
中点 x ＝ (x₁ ＋ x₂) ÷ 2 中点 y ＝ (y₁ ＋ y₂) ÷ 2 半长 ＝ √((x₂ − x₁)² ＋ (y₂ − y₁)²) ÷ 2
- 第一点的横坐标（x₁）
- 线段这一头的横坐标，可以为负、可以是小数、也可以是 0。它与第二点的横坐标相加之后除以 2，就是中点的横坐标——四个坐标格一样重要，没有哪一个是「主」坐标
- 第一点的纵坐标（y₁）
- 同一头的纵坐标。纵坐标与横坐标各自独立地做同一次运算，两轴之间不会互相影响，所以「横坐标填错了会不会带偏纵坐标」这个问题在本页不成立
- 第二点的横坐标（x₂）
- 另一头的横坐标。两个端点可以任意互换，把 (1, 2) 与 (5, 8) 前后对调，中点是同一个 (3, 5)——加法与除法都是可交换的，本页不区分「起点」与「终点」
- 第二点的纵坐标（y₂）
- 另一头的纵坐标。四个数都是线段的已知条件，本页没有留空格求解的用法：中点这一页是正向的，由两端求中间；反过来由中点和一端求另一端，是相邻的那一页
- 中点（x、y）
- 两个坐标各自的平均数，就是面板上前两行。它是精确的：两个有限小数相加再除以 2 仍然是有限小数，所以它印出来的四位里没有舍入误差——这一点与半长不同
- 半长
- 从中点到任意一端的距离，按厘米算。它是本页唯一带单位的读数，也是唯一几乎总是无理数的读数——除非两端之差正好构成一组整数勾股数（比如 (0, 0) 与 (6, 8) 给出 5），否则它被舍到四位，是个近似值
- 四位小数
- 每个读数的显示宽度。中点的两个坐标经常是整数，仍然印成 3.0000，那是显示宽度而不是精度声明；半长则通常是真需要这四位的那一个
最直接的用法是作图与放线：一段墙、一条路、一根管子，两头的坐标知道，中间那个点不知道，而它得钉在地面上。其次是核对一个你已经算出来的中点——把两端的坐标填进来，答案与你手上那个不一样就说明哪里错了，而且本页还会把半长给你，两半不等长就是两端的顺序或位置有问题。第三种用法是坐标几何题里的常规一步：求中点是求斜率、求垂直平分线、求外接圆圆心这些题目的中间步骤，本页把它单独拆出来，省掉手算分数的一步。第四种用法与相邻那两页交界：本页的四个输入是坐标，不是长度，所以答案是纯数字；要是你要的是两端之间的距离本身，那是距离那一页，而本页给出的半长是它的一半。第五种用法是看对称：两端关于中点对称，所以中点是那对点的对称中心，一个端点的坐标反号之后加到两倍中点上，就是另一个端点——这条性质属于相邻的端点那一页，但在这里也可以顺手验一下：两端的横坐标平均值与纵坐标平均值必须落在正中间，偏了就是有一个数填错了。
算例
(1, 2) 与 (5, 8) 的中点
- 横坐标：(1 ＋ 5) ÷ 2 ＝ 3
- 纵坐标：(2 ＋ 8) ÷ 2 ＝ 5
- 中点是 (3, 5)
- 半长：从 (1, 2) 到 (3, 5) 的差是 (2, 3)，√(4 ＋ 9) ＝ √13 ＝ 3.6056
表单的默认值，也是最好手算的一组：两端的中点落在整数上，而半长是一个开不尽方的数。把这两个数一起看，能看出中点是精确的、半长是近似的——3 与 5 就是 3 与 5，而 3.6056 后面还有的是数。旁边的半长还提供了一个不花钱的核对：它必须大于两端各差的一半、小于两端各自到原点的距离之和，落在范围外就说明有一个坐标填错了。
(0, 0) 与 (3, 4) 的中点
- 横坐标：(0 ＋ 3) ÷ 2 ＝ 1.5
- 纵坐标：(0 ＋ 4) ÷ 2 ＝ 2
- 中点是 (1.5, 2)
- 半长：√(9 ＋ 16) ÷ 2 ＝ 5 ÷ 2 ＝ 2.5
一端在原点上，于是半长正好是那段距离的一半：3-4-5 那一组的斜边是 5，中点到原点的距离就是 2.5，四位小数里一个尾零都没有。这一档也是「中点可以是小数」的最简单例子——两端的坐标都是整数，中点却是 1.5，因为两端之差是奇数；这不是四舍五入的结果，1.5 是准确值。
(4, -7) 与 (-4, 7) 的中点
- 横坐标：(4 ＋ (-4)) ÷ 2 ＝ 0
- 纵坐标：(-7 ＋ 7) ÷ 2 ＝ 0
- 中点是原点
- 半长：√(64 ＋ 196) ÷ 2 ＝ √260 ÷ 2 ＝ 16.1245 ÷ 2 ＝ 8.0623
两端关于原点对称（第二个点是第一个点整体反号），所以中点是 (0, 0)。这一档最容易看出的性质是：中点落在原点并不意味着半长是 0——半长量的是中点到一端的距离，不是两个端点之间的距离，也不是中点的坐标。把它与下一档对照着看，区别就清楚了。
(-3, 4) 与 (7, -2) 的中点
- 横坐标：(-3 ＋ 7) ÷ 2 ＝ 4 ÷ 2 ＝ 2
- 纵坐标：(4 ＋ (-2)) ÷ 2 ＝ 2 ÷ 2 ＝ 1
- 中点是 (2, 1)
- 半长：差是 (10, -6)，√(100 ＋ 36) ＝ √136 ＝ 11.6619，除以 2 得 5.831
两端分处两个象限，四个数里两个是负的，而中点落在第一象限。这一档专门用来看符号：横坐标之和是 4、纵坐标之和是 2，都是正数，所以中点在原点右上方；两端坐标的差是 (10, -6)，那个负号只影响半长的计算，不会跑到中点上去。要是中点的纵坐标印成了负数，先看纵坐标那一格是不是漏了符号。
两端重合：(2.5, -1.5) 与 (2.5, -1.5)
- 横坐标：(2.5 ＋ 2.5) ÷ 2 ＝ 2.5
- 纵坐标：((-1.5) ＋ (-1.5)) ÷ 2 ＝ -1.5
- 中点是 (2.5, -1.5)，与两端同一点
- 半长：差是 (0, 0)，√0 ＝ 0
两端重合时，线段退化成一个点，而那个点就是它自己的中点，半长是 0——这是真答案，不是没填。本页没有任何一个除数为零的分支（除的是 2），所以这一档算得下去。值得见一次，免得以后碰到一串零以为是页面坏了。
局限
本页是正向的：由两端的坐标求中点。反过来由中点与一端反推另一端是相邻那一页的事，两页不重复。四个坐标格都是必填的，本页没有「留空一格求解」的用法——线段的两端都是已知条件，缺一个就定不下中点。坐标是纯数字，本页不替它们认定单位，也不做任何换算：要是你一端用米、另一端用毫米，页面会照算不误，给出一个没有任何意义的数，而且不会提醒你。半长是带单位的那一个读数，本页按厘米算，也就是把你填进去的坐标当成厘米来读，这一点在正文里说明了，但页面上没有地方再提醒一次。半长几乎总是无理数，四位小数是截断而不是完整的答案；中点的两个坐标则是精确的，前提是你填进去的四个数本身是精确的——要是其中一格来自四舍五入过的测量，中点跟着一起不精确。四个坐标的上限是正负十亿，超出会被拒；这个范围对图形题绰绰有余，对某些以米为单位的投影坐标却不算宽。本页只做二维：没有第三个坐标格，所以空间中两个点的中点算不了，需要你自己把第三个坐标的平均数补上。最后，本页不画图：它不做垂线、不给斜率、不给中点所在直线的方程，也不判断两端是否重合——那些都属于别的工具，而重合的那一档会安安静静地给出半长 0，不会另外报一句「两端相同」。
常见问题
- 中点怎么算？
- 两个坐标各自取平均数。横坐标相加除以 2 得到中点的横坐标，纵坐标相加除以 2 得到中点的纵坐标。(1, 2) 与 (5, 8) 的中点是 ((1 ＋ 5) ÷ 2, (2 ＋ 8) ÷ 2)，也就是 (3, 5)。没有第二种方法，也不需要先算距离——中点是坐标层面的平均数，不是几何作图。
- 两个端点的顺序影响结果吗？
- 不影响。加法与除法都可交换，把两个点前后对调，中点的两个坐标一个数都不会变。本页也不区分起点与终点，四个坐标格一样重要。半长同样不受影响，它取的是两个端点之差的平方和，平方之后符号就没有了。
- 半长是什么，为什么它与我量出来的不一样？
- 半长是中点到任意一端的距离。按定义中点与两端等距，所以它必须等于你手上那半段。要是两者对不上，问题多半在输入：两端填反了不会影响中点，但有一个坐标填错了位置就会。另外一个来源是舍入——半长几乎总是无理数，四位小数是截断过的，拿印出来的两个坐标重新量一遍，第四位可能差一，那个差是算出来的，不是抄错。
- 坐标要填单位吗？
- 不填。本页把四个坐标当成纯数字，不挂单位、也不做换算，所以答案跟着你填的那套数字走：坐标是米，中点就是米。唯一带单位的是半长，本页按厘米解释你填的数，也就是把坐标当成厘米来读——这一条在正文里写着，页面上没有第二个地方重复它。
- 中点的两个坐标一定是整数吗？
- 不一定。它等于两端之和除以 2，所以两端之差是偶数时中点是整数，是奇数时中点落在半格上，比如 (0, 0) 与 (3, 4) 的中点是 (1.5, 2)。那个 1.5 是准确值，不是四舍五入的结果。反过来，两端都是小数时中点也可能是整数：(-0.5, 1) 与 (0.5, 3) 的中点是 (0, 2)。
- 能用来求空间里的中点吗？
- 不能直接用。本页只有两个坐标格，没有第三个，所以三个坐标的点进不来。方法本身与维数无关——每一维各取一次平均数——所以第三个坐标你可以在纸上照做，但页面不会替你做，也不会显示结果。把这条与相邻的端点页对照着看会更清楚：两页都只做平面。
- 两端重合会怎样？
- 中点就是那个重合的点，半长是 0。线段退化成一个点，而那个点自然是它自己的中点，所以这一档给出一串相同的坐标与一个 0，那是真答案而不是页面出错了。本页也不会另外报一句「两端相同」——它照同一条公式算完就印，没有分支去特判这件事。
参考资料
- Midpoint（中点）——线段上与两端等距的那个点；本页求的既是它的两个坐标，也是它到一端的距离 — Wolfram MathWorld（美国）
- Line Segment（线段）——由两个端点界定的直线的一部分；两端已知则中点唯一确定，是本页「四格全必填」的由来 — Wolfram MathWorld（美国）
- Point（点）——本页收进去又给出来的坐标对，也是它不带任何单位的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面直角坐标系与线段中点的坐标表示是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部