坡度计算器

m ＝ (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ ＝ arctan(m) 坡度% ＝ m × 100

m

斜率，也就是升高量除以水平距离：线每向右一个单位爬升多少。它没有单位，因为是一个距离除以另一个距离。正数表示随着 x 增大线在往上走，负数是往下走，0 表示它是水平的。它是本页的主结果，也是唯一一个把两个点调换之后仍然不变的读数——调换会让升高量与水平距离同时变号，而两个负数相除商不变

Δy ＝ y₂ − y₁

升高量，两个 y 坐标之差，也是斜率的分子。它带符号：从 y 为 5 的点走到 y 为 1 的点，升高量是 −4，而正是这个负号让斜率为负。它就是你拿尺子量两个点之间的竖直距离会得到的那个数，页面把它单独印出来，为的是让你能手算核对斜率

Δx ＝ x₂ − x₁

水平距离，两个 x 坐标之差，也是斜率的分母。它是两个点之间的水平跨度，与斜率、倾角不同，从左往右读时它实际不会是负的，不过页面照样保留减法给出的符号。它不能是 0：水平距离为 0 就是铅垂线，铅垂线没有斜率，页面会停在那里而不是除以 0。这里还有一处配对要当心——x₁ 配 y₁、x₂ 配 y₂，四个数如果配错了点，算出来的是另一条线的斜率，而页面无从发现

θ ＝ arctan(m)

倾角，以度计，保留两位，也就是这条线与水平方向之间的夹角。它由斜率取反正切得到，所以永远在 −90° 与 90° 之间，也是每 180° 重复一次：穿过这两个点的直线往两头都在延伸，这个角描述的是它的倾斜程度，而不是某一段的方向。斜率 0.5 对应 26.57°，斜率 1 对应 45°，很陡的斜率 10 对应 84.29°——线越接近铅垂，这个角越往 90° 挤，却永远到不了

坡度% ＝ m × 100

同一个坡度的百分数写法，保留两位：升高量占水平距离的百分比。斜率 0.5 是 50%，斜率 1 是 100%，而那条平缓的 1:12 是 8.33%。百分数与角度是两回事，很容易混：100% 的坡度只有 45°，因为坡度比的是升高与水平，而角度比的是升高与那条斜边

手上有两个点的时候用它，实际就是手上有坐标而不是有量出来的距离的时候：图纸上的两个定位点、图上读出来的两个读数、图上框出来的两个角点、一张 x 与 y 的数据表里的两行。它回答的是「两点之间有多远」之后紧接着的那个问题，而且用的是数学里描述一条线最常用的那个量——斜率，直线的方程紧接着就能写出来。线往下走的时候也是这一页最诚实，符号会被印出来而不是被丢掉。手上有两个已经量好的距离、要的是现场写法的那种坡度，请用 elevation-grade-calculator，它跳过坐标相减这一步，直接收那两个数。想要的是两点之间的距离而不是它们连线的方向，请用 distance-calculator；要找线段正中间那个点，请用 midpoint-calculator；手上有线段的中点与一端的端点、想求另一端点，请用 endpoint-calculator。这四页合起来描述的是同一条线段：长度、位置、方向，和它落在哪里。

1. 两点 (0, 0) 与 (4, 2)

   1. 升高量：2 − 0 ＝ 2
   2. 水平距离：4 − 0 ＝ 4
   3. 斜率：2 ÷ 4 ＝ 0.5
   4. 倾角：arctan(0.5) ＝ 26.565…°，保留两位是 26.57
   5. 坡度：0.5 × 100 ＝ 50%

   页面打开的默认值，也是最好手算核对的一行，因为起点在原点，升高量就是第二个点的 y、水平距离就是它的 x。斜率 0.5 意味着每往右一个单位抬半个单位，平缓到走上去几乎察觉不到——无障碍坡道大约在 1:12，只有这个的六分之一。三个读数之间的一致正是本页想要的样子：0.5、26.57° 与 50% 是同一个坡度的三种写法，而其中只有水平距离 4 是拿卷尺量得出来的那个。

2. 两点 (1, 2) 与 (5, 8)

   1. 升高量：8 − 2 ＝ 6
   2. 水平距离：5 − 1 ＝ 4
   3. 斜率：6 ÷ 4 ＝ 1.5
   4. 倾角：arctan(1.5) ＝ 56.309…°，保留两位是 56.31
   5. 坡度：1.5 × 100 ＝ 150%

   两个点都不在原点，这是最普通的情形，也是「为什么页面要做减法」最直观的一行：两个点都在原点的右上方，单独哪一个坐标都不是升高量或者水平距离。让人愣一下的是 150% 这个坡度，因为超过 100% 听起来不可能——其实可能，它只说明这条线往上爬的距离比它往右走的距离还大。倾角 56.31° 就是那个核对：斜率大于 1 就比 45° 陡，小于 1 就比 45° 平。

3. 两点 (0, 0) 与 (12, 1)

   1. 升高量：1 − 0 ＝ 1
   2. 水平距离：12 − 0 ＝ 12
   3. 斜率：1 ÷ 12 ＝ 0.08333…，保留四位是 0.0833
   4. 倾角：arctan(0.08333…) ＝ 4.763…°，保留两位是 4.76
   5. 坡度：0.08333… × 100 ＝ 8.33%

   平缓的那一档，也是与 elevation-grade-calculator 停在同一个数上的一行：本页里十二走一是 8.33%，那一页里每英尺抬一英寸同样是 8.33%——同一个比值两种写法，一个从两个点来，一个从两个量好的距离来。这个比值是很多建筑规范里无障碍坡道的上限，而把它读成斜率 0.0833 或者倾角 4.76° 正是本页补上的那一层——角度很小，这也正是坡度习惯写成百分数的原因：4.76° 不好瞄准，一板十二却很好量。

4. 两点 (2, 5) 与 (7, 1)

   1. 升高量：1 − 5 ＝ −4
   2. 水平距离：7 − 2 ＝ 5
   3. 斜率：−4 ÷ 5 ＝ −0.8
   4. 倾角：arctan(−0.8) ＝ −38.659…°，保留两位是 −38.66
   5. 坡度：−0.8 × 100 ＝ −80%

   下坡的一行，也是页面要把升高量单独印出来、而不是只印比值的原因：负号来自升高量，只看到一个 −0.8 的读者分不出是线往下走，还是水平距离取反了。水平距离照样是正的 5，因为它是一个向右的距离，只有竖直方向带符号。从左往右读，这条线每前进一米下降 80 厘米——排水坡度或者楼梯踢面就是这么标的，而把这个符号抹掉会得到一条方向完全相反的线。

本页只算一条过两点的直线的斜率，别的都没有。它不做多于两点的直线拟合，不报直线与坐标轴的交点，也不给直线方程——虽然它印出来的斜率就是方程的前一半。它不能反着算：一个斜率描述的是方向而不是一条线，斜率为 0.5 的直线有无穷多条，你还得知道线上的一点，而那正是点斜式拿本页这几个数做的事。四个坐标是纯数、没有单位，所以既不用换算也没什么可选的：点用米填，斜率就是米每米、水平距离就是米，而页面不会给它们标上任何一个单位名。这也是它无法提醒你混用单位的原因——x 用米、y 用厘米填进去，它照样除，给出一个放大一百倍的斜率，而没有任何迹象表明哪里不对。铅垂线被拒绝而不是作答，因为它的斜率不存在；两个点的 x 相同时先确认它们真的是两个不同的点，两个重合的点得到的是同一个拒绝。水平线照答，斜率与倾角都是 0。把两个点对调，斜率与倾角都不变，因为两个差同时变号；但把坐标配错了点——x₁ 配了 y₂——描述的就是另一条线，而本页没有任何检查能发现它，因为任意四个数都是某一条线的坐标。本页不做分级：缓与陡是相对的判断，页面一个都不下。斜率印四位小数、倾角与坡度印两位，这是本子类共用的显示宽度而不是精度声明；0.0833 是 1:12 的圆整值，而量到厘米精度的测量在一米的跨度上撑不起最后那一位。

知道两个点的坐标，怎么求斜率？

用两个 y 相减得到升高量，两个 x 相减得到水平距离，再相除：斜率等于 (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)。两点 (0, 0) 与 (4, 2) 的升高量是 2、水平距离是 4，斜率就是 0.5。把两个点对调不影响结果，因为两个差同时变号、负负相消；但 x₁ 必须配 y₁，配错了算的就是另一条线。

怎么把斜率换成角度？

对斜率取反正切。斜率 0.5 对应 26.57°，斜率 1 对应 45°，斜率 10 对应 84.29°。这个角永远落在 −90° 与 90° 之间，因为反正切不区分直线的两个方向——穿过两点的直线往两头都在延伸，这个角描述的是它有多陡，而不是指着哪一头。

斜率是负数是什么意思？

意思是这条线从左往右读在往下走。两点 (2, 5) 与 (7, 1) 在 5 的水平距离上下降了 4，所以斜率 −0.8、倾角 −38.66°。负号不是错误，页面也不会取绝对值：它就是「往上走的坡道」与「往下走的排水沟」之间的区别，两者是相反的施工做法，用的却是同一组数字。水平距离始终是正的，带符号的只有升高量。

坡度 100% 是不是等于 90°？

不是，这是坡度最常见的混淆。坡度 100% 意味着升高量与水平距离相等，也就是斜率 1——那是 45°，不是 90°。坡度比的是升高与水平，角度比的是升高与那条斜边。超过 100% 完全可能：斜率 1.5 就是 150% 的坡度，而角度只有 56.31°，角度要到 90° 得等坡度变成无穷大。

两个点的 x 相同会怎样？

那这条线是铅垂线，它没有斜率。水平距离是 0，除法没有定义，所以页面直接说明，而不是印一个无穷大——铅垂线的斜率不是一个很大的数，而是「没有」。如果本该是两个不同的点，先核对 x；如果线确实是铅垂的，distance-calculator 给出两点之间的距离，那是铅垂线唯一确定有的东西。

这一页和坡度换算那一页有什么区别？

两页算同一个数，收的输入不同。本页收两个点、自己做坐标相减；elevation-grade-calculator 收的是你已经量好的升高与水平两个距离，也就是现场写坡度的那种形式——每英尺落一英寸、每米抬两厘米。本页填两点 (0, 0) 与 (12, 1) 得到的 8.33%，就是那一页填升高 1、水平 1 得到的同一个数——那一页的两个框基准单位不同（升高按英寸读、水平按英尺读），所以同一个比值在那里填的是 1 与 1，不是 1 与 12。

• Slope——升高量除以水平距离，条目里给出直线的斜率与倾斜方向（上升与下降）的符号约定，以及斜率、倾角与坡度百分数之间的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
• Line——过两点的直线；本页算的就是它的方向，其余性质都由斜率推出来 — Wolfram MathWorld（美国）
• Point-Slope Form——由两点算出的这个斜率接下来用在哪里：过这两点的直线方程，需要的就是一个斜率与一个点 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；一次函数的图象与斜率、以及直角坐标系中两点间的关系是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部