三角形面积计算器
结果
面积
三角形面积计算器只要两样东西：一条底，和这条底上方那条垂直的高；回给你的是这个三角形占的平方面积，单位是平方厘米。公式短得不能再短——底乘高再折半——而折半这一步才是值得看两眼的地方，这一页其余的话都由它推出来。随手拿一个三角形，照原样复制一份，把复制的那份转半圈，沿一条对应的边拼上去，得到的是一个平行四边形：底一样、高一样，面积正好是两倍。三角形占的就是其中一半，所以除数是二，而不是一；这条道理对任何三角形都成立，不只是画得规整的那些。直角三角形是最好看的一种，因为复制的那份平移过去就行，平行四边形直接变成长方形——但这条论证并不要求图里真有一个直角，公式也不要求。要小心的是「高」这个字。它指的是从底边垂直量到对面那个顶点的距离，量的时候要与底边成直角，不是任何一条斜边的长度。只有三角形恰好是直角三角形时，斜边才与高相等；拿斜边当高代进去，是这一页最常见的错法，而算出来的数看起来完全正常，不像错的。计算器既然问的是垂直的高，那这一步就得在填之前量好，所以先确定手上那个数到底是哪一个。
由底边与垂直的高求三角形的面积
| 底（厘米） | 高（厘米） | 面积（平方厘米） |
|---|---|---|
| 10 | 6 | 30 |
| 7 | 4 | 14 |
| 5 | 8 | 20 |
| 12 | 9 | 54 |
| 4 | 4 | 8 |
| 6 | 2.5 | 7.5 |
| 1 | 1 | 0.5 |
| 0 | 5 | 0 |
八个三角形、三列，因为这一页只有一条公式、一个答案。第一行是页面打开时的那一组，也正好是解释公式的那一行：把它填进平行四边形页，同样的底 10、高 6 得到的是 60 而不是 30，每次都正好两倍，折半那一步就交代清楚了。第三行是与梯形页对照的那一行：底 5、高 8 得 20，而上底取 0、下底取 10、高取 4 的梯形也是 20，因为那个梯形就是一个三角形。第五行是等腰直角三角形，底与高碰巧相等，面积是那个平方数的一半——4 与 4 得 8。第六行的高带小数，15 折半正好是 7.5，一点都没有舍掉。第七行是单位三角形，底 1、高 1，面积 0.5，可以当作最小的一档记住。最后一行的高为 0，三角形塌到自己底边上，什么都不占——这是个真答案，不是缺答案。表里每个数都是构建时由它那两个输入现算出来的，单位都是厘米，四位小数与结果面板用的是同一个宽度。
公式
面积 ＝ 底 × 高 ÷ 2
- 底
- 三条边里任意挑一条，单位是厘米。挑哪一条都行，只要高是相对这条边量出来的
- 高
- 从底边垂直量到对面那个顶点的距离，单位是厘米——与底边成直角，不能量成斜边
- 面积
- 这个三角形围住多大一块面，单位是平方厘米。同底同高的平行四边形是它的两倍
- 除以二
- 公式里唯一不能省的那一步。三角形是把一份复制品转半圈拼出来的平行四边形的一半，所以除数是二
- 底 × 高
- 那个平行四边形的面积，先算出来再折半。先乘后除是最后一位数不出错的原因
- 四位小数
- 答案印出来的宽度。两个数折半之后可能落到半分位上——底 7、高 5 得 17.5，底是半厘米时会得到四分之一
- 平方厘米
- 答案的单位，与输入框选的是哪个单位无关。面积永远是平方单位，所以用英寸填的底和高算回来是平方厘米，要读成平方英寸得再除以 6.4516
任何形状是三角形的东西，问它有多大面积，都是这一页。最老的用法是量地：一块地收到一个尖角就是三角形，四个角的拆成两个三角形，丈量这件事从有地契的那天起就是这么算的。屋面、幕墙、玻璃是近一些的用法，而它们背后都跟着一张账单——山墙那一面、一块三角玻璃、一张楔形的铁皮，报价都按平方米走，面积得先对。布料与纸张斜裁是同一个算法换个单位，帆船的帆、棱锥的三角面也一样。它还是很多别的活的第二步：任何多边形都能拆成一堆三角形，会算其中一个，剩下的就是加减乘除——四边形、棱柱、屋面的那些计算器里都藏着这条公式，所以它值得单独弄准。最后是课堂上的那一版：直角三角形、等腰三角形、画在方格纸上的那些，可以自己数格子核对。这个核对值得做一次，因为亲眼看到数出来的格子与公式算出来的对得上，折半那一步才不再是一条要背的规矩。
算例
底 10、高 6
- 先乘：10 × 6 ＝ 60
- 再折半：60 ÷ 2 ＝ 30
页面打开时就是这一组，也是说明这一页与平行四边形页关系的那一行：同样的底 10、高 6 填进平行四边形页得到 60，正好是这里的两倍。如果这一页只记一个数，记这一个——它是判断别人给你的三角形面积靠不靠谱最快的一招。
底 7、高 4
- 先乘：7 × 4 ＝ 28
- 再折半：28 ÷ 2 ＝ 14
最普通的一种：底是奇数、高是偶数，答案正好是整数。这里面没有特殊形状，也没有哪个角是特意量成好算的角度。现实里的三角形大多长这样——一块不规整的地、一面山墙、一张斜着裁下来的硬纸——公式并不在乎三条边是否整齐。
底 5、高 8
- 先乘：5 × 8 ＝ 40
- 再折半：40 ÷ 2 ＝ 20
与梯形页对照的那一行。把梯形的上底填 0、下底填 10、高填 4，得到的也是 20，因为上底为零的梯形就是一个三角形。同一个形状在两页上印出同一个数，这正是两页都值得存在的理由。
底 12.5、高 8
- 先乘：12.5 × 8 ＝ 100
- 再折半：100 ÷ 2 ＝ 50
带小数的尺寸，卷尺量出来通常就是这样。乘法在折半之前做，而折半是精确的，所以一点舍入误差都没有进去——答案是整整 50，不是 50.0000 再多一点。
底 20、高 0
- 先乘：20 × 0 ＝ 0
- 再折半：0 ÷ 2 ＝ 0
高为零意味着这个三角形被压平到自己的底边上了，变成一条线段。0 是合法输入，所以这是一个真答案，不是缺答案——它与「框空着」不同，空着时没有东西可算，结果区不显示任何数。
局限
这一页只收一条底和一条垂直的高，别的不收。它算不了「已知三条边求面积」，那是另一条公式、另一个页面。它不出周长、不出角度、也不出边长；而那个「高」不是斜边——如果手上只有沿三角形某条边的测量值，那条边得先化成垂直的高，不然在这里没有用。答案永远是平方厘米，与输入框选的是哪个单位无关；而这是面积，换算要平方：用英寸填的底与高算回来是平方厘米，要读成平方英寸得除以 6.45 左右，而不是 2.54。四位小数是印出来的宽度，不是精度承诺，两个整数相乘再折半之后本来就可能落到半分位上——底 7、高 5 得 17.5。两个框都收 0，答案是 0，这对退化的三角形是对的，与「两个框都空着」不是一回事。这一页不处理曲边、不处理球面上的三角形、也不管一块材料的厚度，只算平面上这个二维图形。
常见问题
- 哪一条边算底？
- 三条里任意一条都行，只要高是相对你挑的那一条量出来的。一个三角形有三组「底与高」，三组算出来的面积完全一样，这正好可以拿来核对一次：从三个角轮流算一遍，看三个答案对不对得上。这一页不挑你用哪一组。
- 为什么是底乘高再折半，而不是直接底乘高？
- 因为两个三角形能拼成一个平行四边形。把这个三角形照原样复制一份，转半圈，沿一条对应的边拼上去——拼出来的图形底一样、高一样，面积正好是两倍，三角形占其中一半。整条论证就这一句，而且对任何三角形都成立，不只是画得规整的那些。
- 能拿斜边当高吗？
- 不能，而这正是这一页要防的那个错。高是从底边垂直量到对面顶点的距离，量的时候与底边成直角；只要三角形是斜着的，斜边就比这个距离长，拿它代进去会把面积算大。只有直角三角形里两者才相等——那时某一条边本来就与底边成直角。
- 三条边那种算法在哪里？
- 在另一个页面上。由三条边求三角形面积用的是另一条公式，要开平方而不是折半，那是一个独立的工具。这一页有意只做一件事，与这一组里的圆、球那几页是同一个选择：一次只回答一个问题的页面，比一个先问你「你问的是哪个问题」的页面好用的多。
- 单位有影响吗？
- 单位下拉框改的是你填进去的数，不是出来的数。结果永远是平方厘米；而这是面积，所以换算要平方——用英寸量的三角形算回来是平方厘米，除以 6.4516 才是平方英寸。要提防的是「按英尺填、把答案当平方英尺读」这一种。
- 有一个数是 0 会怎样？
- 答案是 0，而且是对的：高为零的三角形已经被压平到它自己的底边上，什么都不占。0 在这里被当成一个真实的值而不是空框，所以页面照样给出结果。把框留空是另一回事——那时没有东西可算，结果区一个数都不显示。
参考资料
- Triangle Area — 本页算的那条「底乘高折半」公式在这一条里，也包含「两个三角形拼成平行四边形」那段说明折半从哪来的论证 — Wolfram MathWorld（美国）
- Triangle — 三角形是什么、底与高的术语是怎么用的，以及它的面积一共有哪几种算法 — Wolfram MathWorld（美国）
- Parallelogram — 两份三角形拼出来的那个图形，面积正好是两倍，也就是公式里那个「二」的来历 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；三角形的面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部