平行四边形面积计算器

面积 = b × h 周长 = 2(b + a)

底

平行四边形所立的那两条平行边之一的长度，单位厘米。两组平行边里哪一组都可以当底，要紧的是高要垂直于你选的那一条来量

高

从底到对边的垂直距离，单位厘米——竖着量，不是沿着斜边量。这是面积真正依赖的那个数，也是人们最容易与斜边搞混的一个，而只要不是长方形，斜边与它就是两个不同的长度

邻边

两条斜边之一的长度，单位厘米。面积完全不管它，而周长离了它算不出来：周长是底的两倍加上它的两倍。它必须不短于高，因为它等于高除以它与底夹角的正弦

面积

内部的大小，单位平方厘米：底乘高，也就是长方形用的那条式子。它正好是与它同底同高的三角形的两倍，参考表第二行显示的就是这件事

周长

绕一圈的长度，单位厘米：底的两倍加邻边的两倍，因为两组对边分别相等。高在其中完全不起作用，这也正是「只问底和高的一页给不出这个数」的原因

厘米与平方厘米

两个输出的单位，永远如此，与下拉框选了什么无关。周长是长度而面积是长度的平方，所以两者不可比较，一个翻倍不代表另一个也翻倍

四位小数

两个输出的写法宽度。这里是四位而不是两位，因为参考表虽然跑在整数上，页面本身并不限于整数，而用下拉框按米填进来的底会带着小数到达

面积那条公式最要紧，而值得知道的是它正是所有平行四边形共用的底乘高，长方形也不例外。它真正显本事的地方在于说明一个斜着的形状并不比同底同高的正着的形状小：一块地被一段歪掉的篱笆推成了斜的，面积一点没少，而眼睛报告的正好相反。不过如果你要的是一块在地面上量出各边的地的面积，就要当心——高是垂直距离，很少正好是你从卷尺上读到的那个数，而斜边不能顶替它。要周长则需要两条边的长度，这就是这一页要第三个数的地方。那次拒绝值得主动去碰一次而不是被动撞上：如果你填了一个比高还短的斜边，这两个数互相矛盾，而最常见的原因是量了底和斜边，高却是猜的，或者拿另一条边当了高。隔壁的三角形页用同样的底和高，给出面积的一半；长方形页在邻边等于高时给出同样的面积——那两处是检验这一页是否正常最快的办法。

1. 底 6、高 4、斜边 5

   1. 面积：6 × 4 = 24 平方厘米
   2. 周长：2 × (6 + 5) = 22 厘米
   3. 高 4 没有参与周长，斜边 5 没有参与面积

   页面打开时的默认输入，也是说明这一页为什么需要三个数的那一对计算：面积来自底和高，周长来自底和斜边，两个输出都没有用满三个数。这个形状是被推斜的 3-4-5 长方形，所以数字才这么整齐。

2. 底 3、高 4、斜边 5

   1. 面积：3 × 4 = 12 平方厘米
   2. 周长：2 × (3 + 5) = 16 厘米
   3. 12 正好是同底同高三角形面积 3 × 4 ÷ 2 = 6 的两倍

   把那个两倍关系摆出来的一行。沿一条对角线把平行四边形剪开，得到的是两个同底同高的三角形，所以平行四边形的面积正好是三角形的两倍——12 对 6。三角形公式里那个二分之一就是从这儿倒着读出来的。

3. 底 12、高 5、斜边 13

   1. 面积：12 × 5 = 60 平方厘米
   2. 周长：2 × (12 + 13) = 50 厘米
   3. 5-12-13 是第二小的整数直角三角形，这就是这些数这么整齐的原因

   一个细长的平行四边形，也是两个输出差得最远的一行：面积 60 而周长 50，提醒人这两个是不同的量、用不同的单位，而且没有「谁一定比谁大」的规矩。三个框里的 5、12、13 是一个直角三角形的三边，这是造一个「斜边恰好就是垂直的那条边」的平行四边形最省事的办法。

4. 底 1、高 1、斜边 1

   1. 面积：1 × 1 = 1 平方厘米
   2. 周长：2 × (1 + 1) = 4 厘米
   3. 斜边等于高，所以夹角是 90 度，这个形状是正方形

   页面允许而不是拒绝的那条边界。斜边等于高时，夹角的正弦是一，夹角是直角，这个平行四边形就是正方形——它是这个家族里正当的一员而不是退化的一个。页面执行的规则是「斜边不得短于高」，而不是「必须长于高」，这一行就是区分两者的那个情形。

5. 底 5、高 0、斜边 3

   1. 面积：5 × 0 = 0 平方厘米
   2. 周长：2 × (5 + 3) = 16 厘米
   3. 两个数各自由自己的公式得出，描述的是同一个被压平的形状的不同事情

   两个输出看起来矛盾而其实不矛盾的那种情形。高为零意味着上边落到了下边上面，形状被压成了一条线段，所以它一点都不围出面积——零是正确答案。而周长是四条边的总长，这正是公式算的那个东西、也正是周长的定义：沿着底走一趟，沿着斜边走回来，再沿底走一趟，再沿斜边走回来。它不是被压平之后那个结果的长度，那会是 2 × 5 = 10。页面给出的是那个四边形的边长，在其中一个数看起来像出错之前先知道这一点是值得的。

高是底与对边之间的垂直距离，而页面分辨不出你量的其实是斜边。把斜边填进高那一格会得到偏大的面积，这是这一页最常见的错误，因为卷尺够得着的正是斜边。周长用底和邻边，完全不管高，所以只给高而不给邻边时页面根本算不了。斜边比高短会被拒绝，因为它描述不出平行四边形：高等于斜边乘它与底夹角的正弦，而没有任何角的正弦大于一。输出一律是厘米和平方厘米，与下拉框无关。四位小数是显示宽度而不是精度声明。页面假定那是一个两组对边分别平行的真正平行四边形，所以它不会去检查一个对边不相等的四边形，也不给角、不给对角线，也没有直接输入两边夹角的入口。高为零会被接受，给出面积为 0 而周长不为 0，这在算术上是对的，而在物理上那是一条线段而不是一个形状——此时的周长描述的是绕四条边走一圈的路程，不是压平之后那个结果的长度。

面积只要两个数，为什么这一页要问三个？

因为周长需要一个面积用不到的尺寸。面积是底乘高；周长是底的两倍加斜边的两倍，而只要不是长方形，高和斜边就是两个不同的长度。底和高定住了面积，却把形状留在可以被压扁的自由里，而压扁会改变周长而面积不动。

高和斜边是同一个东西吗？

不是，这是这一页见得最多的错误。高是从底竖直向上到对边的垂直距离；斜边是那条边本身的长度。两者只在长方形上相等。一个倾斜 30 度的平行四边形，斜边是高的两倍，所以把斜边填进高那一格会让面积翻倍。

为什么斜边比高短就不接受？

因为这样的平行四边形不存在。高等于斜边乘这条边与底夹角的正弦，而正弦不会超过一，所以斜边总是不短于高。斜边等于高意味着夹角是 90 度、形状是长方形，这也是页面允许相等而不是拒绝相等的原因。

为什么面积和长方形的一样？

因为同底、同高的平行四边形和长方形围出的面积相等，无论平行四边形斜到什么程度。把一端那个三角形切下来，它正好能贴到另一端上去，于是变成一个同底同高的长方形。把长方形推斜只会让斜边变长，不会改变它围住的东西。

面积是零而周长不是，哪一个错了？

都没错。高为零意味着上边落到了下边上面，形状是一条线段，不围出任何面积，零是对的。周长是四条边的总长度——沿底、沿斜边回来、再沿底、再沿斜边回来——底为 5、边为 3 时那条路仍然是 16 厘米长。它不是压平之后那个结果的长度，那会是 10。

我想算三角形面积怎么办？

如果三角形与它同底同高，把这一页的面积除以二就是。沿对角线剪开平行四边形得到两个等面积的三角形，三角形公式里那个二分之一正是从这儿来的。如果你的三角形是量了三条边而不是底和高，本站别处的三角形页面可以直接用三边算。

• Parallelogram（平行四边形）——两组对边分别平行的四边形，含底乘高的面积公式，以及「同底同高的平行四边形与长方形面积相等」这条说明 — Wolfram MathWorld（美国）
• Triangle（三角形）——平行四边形沿一条对角线剪开得到的图形，也是三角形面积带二分之一而平行四边形不带的由来 — Wolfram MathWorld（美国）
• Sine（正弦）——把平行四边形的斜边、高与两者夹角联系起来的函数，也是斜边不可能短于高的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平行四边形的面积与周长、底与高是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部