矩形计算器

A ＝ l × w P ＝ 2(l + w) d ＝ √(l² + w²)

长

两条边里较长的那一条，单位是厘米。页面并不检查它是不是真的较长——两个框对调之后三个答案一模一样，因为这一页的每条式子对待长与宽的方式都是对称的

宽

另一条边，单位是厘米，与长成直角。它与长一起把矩形完全定死：矩形要两个独立的数，正方形只要一个，三角形要三个，差别就在这里

面积

矩形盖住的那块面，单位是平方厘米，等于长乘宽。三个输出里只有它随尺寸的平方增长：两边都翻倍，面积涨四倍

周长

绕一圈的总长，单位是厘米：长与宽之和的两倍，两组对边各算一次。凡是沿着边走的东西都要它，而它对形状的描述能力最弱——很多不同的矩形共用一个周长

对角线

从一个角到对面那个角的直线距离，单位是厘米。它是长与宽构成的那个直角三角形的斜边，也是矩形内部能画出的最长的一条直线

l² + w²

两个平方先加起来，再开方——顺序不能反。这就是勾股定理在矩形上的样子，也是「对角线比长边略长、但永远短于长加宽」这条的原因

四位小数

每个输出印多宽。面积与周长在两个输入精确时是精确的，而对角线几乎从不精确：它要开方，通常拖着一串数字，四位是显示宽度而不是精度声明

三个输出回答的是同一个物体的三个不同问题，而分清你要哪一个就已经是大半的工作了。地板、涂料、草皮和布料按面积买，所以当这块矩形是一块面的时候读面积那一列。踢脚线、压条、画框、围栏和封边按长度买，所以那时读周长——同时要记住周长单独定不下形状：4 × 3 的房间与 7 × 0 的板条用料一样多，这句话既真实又没什么用。对角线出现在矩形要被塞进或穿过什么东西的时候：门洞、要校正的画框、按对角线标称的屏幕，或者一个箱子里能平放下的最长的那根东西。它同时也是检查一个矩形是不是真正方的最快办法——量一量任何本该是矩形的东西的两条对角线，相等就说明四个角都是直角，木工校正房间、装裱校正卡纸用的都是这一招。

1. 长 4 宽 3 的矩形

   1. 面积：4 × 3 ＝ 12
   2. 周长：2 × (4 + 3) ＝ 14
   3. 对角线：√(4² + 3²) ＝ √(16 + 9) ＝ √25 ＝ 5

   页面打开时的默认输入，也是三个答案都是小整数的那一个矩形。它就是把 3-4-5 直角三角形沿斜边对折出来的形状，所以数才这么干净：这块矩形的对角线是最古老的整数直角三角形之一。若这一页你只想手验一行，就验这一行——每一步都是不用计算器的算术。

2. 边长 5 的正方形

   1. 面积：5 × 5 ＝ 25
   2. 周长：2 × (5 + 5) ＝ 20
   3. 对角线：√(5² + 5²) ＝ √50 ＝ 7.0710678…，舍入到 7.0711

   两条边恰好相等的矩形，也就是正方形，但它不需要另开一页：两个框填同一个数，三条式子给出的就是对的答案。对角线是 5√2，一个开不尽的数——所以隔壁的正方形计算器在边长 5 时印的也是这个 7.0711。两页一个数，而且是有意相同的。

3. 长 6 宽 4 的矩形

   1. 面积：6 × 4 ＝ 24
   2. 周长：2 × (6 + 4) ＝ 20
   3. 对角线：√(36 + 16) ＝ √52 ＝ 7.2111025…，舍入到 7.2111

   把这一行与上一行摆在一起看：这块矩形比 5 × 5 更长更窄，盖住的面积略小一点（24 对 25），周长完全一样是 20，而对角线是 7.2111 对 7.0711。边一样多、形状不同，而发现这件事的是对角线。这就是「周长单独描述不了矩形」的全部理由。

4. 5-12-13 那一块

   1. 面积：12 × 5 ＝ 60
   2. 周长：2 × (12 + 5) ＝ 34
   3. 对角线：√(144 + 25) ＝ √169 ＝ 13

   这一页上的第二个整数直角三角形，比 3-4-5 大。5-12-13 值得与 3-4-5 一起记成第二把尺子，因为它大到能暴露出缩放的错误：12 米乘 5 米是一个像样的房间，而它恰好 13 米的对角线是一个你可以拿卷尺去验、而不必再算一遍的数。

5. 宽为零的矩形

   1. 面积：7 × 0 ＝ 0
   2. 周长：2 × (7 + 0) ＝ 14
   3. 对角线：√(49 + 0) ＝ 7

   宽填零是允许的，它给出的三个读数都是对的，而且各自说的是不同的事。这块矩形被压扁成了一条线段：它盖不住任何面，所以面积是 0；它没有对角线可言，于是对角线塌到长边自己身上，是 7；而周长仍然是 2 × 7 ＝ 14，那是沿这条线段走到底再走回来的路程，两条重合的长边各算一次。一个没有面积的图形却有周长，看着像错，其实不是。

这一页只算矩形：四条边、四个直角、对边相等。不是矩形的平行四边形有同样的「两进三出」形状，但对角线不一样，那一种归隔壁的平行四边形那一页。输出一律是厘米和平方厘米，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的长度会拿回一个厘米的答案，要自己换。四位小数是显示宽度而不是精度声明：面积与周长在输入精确时是精确的，而对角线要开方，除非输入本身精确，最后两位没有意义。页面不检查两个输入里哪一个更长，也不需要检查——这一页的每条式子对长与宽都是对称的，对调之后三个答案一样，也不会报警。宽填零是接受的，给出的是一组真实但退化的答案，页面不把它当成空框。这里也处理不了圆角矩形、画在曲面上的矩形，以及一块矩形板或梁的厚度——那是这一页没有输入框的第三个维度。

长和宽填反了有关系吗？

没有。这一页的每条式子对待长与宽的方式都一样——面积是两者相乘，周长是两者相加，对角线是两者各自平方再相加再开方——所以两个框对调，三个答案一模一样。页面不检查哪个更长，也不需要检查。如果你觉得总是把大的那个填在长那一格更不容易记混，那是个习惯，不是要求。

为什么对角线比长边长，却比长加宽短？

因为它是对角线切出的那个直角三角形的斜边，等于长的平方加宽的平方再开方。先平方、再相加、再开方，结果一定落在两者中间：它比任何一条边都长，因为你加了一个正数之后才开方；它又比两条边之和小，因为「和的平方」比「平方的和」大。对角线与长加宽之间的那段差，就是抄近路相对绕一圈省下来的距离。

两个不同的矩形周长一样，是算错了吗？

不是，而且参考表特意把这件事摆出来两次：4 × 3 与 7 × 0 的周长都是 14，5 × 5 与 6 × 4 的周长都是 20。周长定的是矩形有多少条边，定不下它的形状——很多不同的矩形共用一个周长，而它们的面积和对角线各不相同。要把一块矩形描述完整，你需要两个数，这正是这一页要两个输入的原因。

能用它来校正一个角是不是直角吗？

能，而且这是最老的一招。量一量你要检查的那个东西的两条对角线：相等，四个角就是直角，你手里是一个矩形；不相等，那就是平行四边形或者某个角歪了，而较长的那条对角线在钝角那一侧。对一个大房间来说，比较量出来的两条对角线，比想法子去量一个 90 度的角容易得多，施工的人这么干就是这个道理。

宽填零为什么还有周长 14，而不是什么都不给？

因为压扁的矩形仍然是一个图形，只是退化成了线段。宽为零之后它变成一条长 7 的线段，盖不住任何面积，所以面积是 0，对角线也塌到长边上。周长那条式子不管这些：长与宽之和的两倍就是 7 的两倍，也就是沿线段走到底再走回来，两条现在重合在一起的长边各算一次。这个答案是真实的，页面把零当成输入而不是空框。

它与正方形计算器有什么区别？

正方形是两条边相等的矩形，所以这一页的式子用在正方形上完全正确——两个框填同一个数，三个答案就对。区别在问题的方向：这一页要两个数、给三个答案；正方形那一页给边长、周长、面积中的任一项，推出其余，因为正方形只有一个自由度，而矩形有两个。知道两条边的时候用这一页，知道一个量想推其余的时候用那一页。

• Rectangle — 四条边、四个直角的四边形；本页算的面积、周长与对角线都在这一条里，并写明对角线由勾股定理给出 — Wolfram MathWorld（美国）
• Pythagorean theorem — 对角线那一个输出所依赖的关系：以斜边为边的正方形等于另外两条边上正方形之和，放到矩形上就是长的平方加宽的平方 — Wolfram MathWorld（美国）
• Quadrilateral — 矩形所属的四边形族，其中的包含关系说明每个正方形都是矩形、每个矩形都是平行四边形，本页只链正方形与平行四边形那两页就是这个原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；长方形与正方形的周长和面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部