正方形计算器

s ＝ P ÷ 4 ＝ √A P ＝ 4s A ＝ s² d ＝ s√2

边长

四条边里任意一条的长度，单位是厘米。四条都一样，所以只有一个长度要量。这是页面打开时默认填着的那一格，因为其余一切都由它推出来

周长

绕一圈的总长，单位是厘米，等于边长的四倍。如果你填的是这一格，页面会先除以四把边长还原出来，再算别的

面积

正方形盖住的那块面，单位是平方厘米，等于边长自乘。如果你填的是这一格，页面会先开方把边长还原出来——这也是面积必须是正数，页面才算得下去的原因

对角线

从一个角到对面那个角的距离，单位是厘米，等于边长乘根号二。它没有自己的输入框，因为对角线是尺寸的结果而不是指定尺寸的办法——但它照样印出来，因为它是人们最常想要、又最不常想到可以去要的那个数

√2

根号二，约等于 1.4142136。它是任意正方形的对角线与边长之比，而且对画得出来的每一个正方形都是同一个数——这让它成了人类注意到的第一个无理数

四位小数

每个读数印多宽。边长与周长在输入精确时是精确的，而对角线永远带着一个根号二，几乎从不精确；由开方还原出来的边长，也把同一个问题带了回来

这一页用在「手里只有一个尺寸、要的是另一个」的时候，而这种情形比矩形页那个「两进三出」的形状暗示的要常见得多。最常见的是知道面积、要边长：报价 36 平方米的房间是边长 6 米的正方形，500 平方米的地块大约 22.36 米见方，一桶涂料标的可刷面积能告诉你它够刷多长一面墙。第二常见的是对角线，而它恰恰是人们忘了自己可以要的那一个。盖圆桌的正方形桌布是按对角线量的；一块方形材料要穿过一个长方形的口子，靠的是它的对角线而不是边长；标称 32 英寸的方屏量的也是对角线，所以它真正的边长是 32 除以根号二，约 22.6 英寸。反过来，对角线还是检查一个正方形是不是真正方形的手段：四条边量出来一样、两条对角线却不一样，那你手里是平行四边形或者一个歪了的框，不是正方形。

1. 边长 5

   1. 周长：4 × 5 ＝ 20
   2. 面积：5 × 5 ＝ 25
   3. 对角线：5 × √2 ＝ 7.0710678…，舍入到 7.0711

   页面打开时的默认输入，也是与矩形页那个 5 × 5 逐位相同的一行——25 平方厘米、周长 20 厘米、对角线 7.0711。两页一个数，而且是有意的：正方形就是边长相等的矩形，两页要是对不上，那就是其中一页写错了。

2. 由周长 20 反推

   1. 边长：20 ÷ 4 ＝ 5
   2. 面积：5 × 5 ＝ 25
   3. 对角线：5 × √2 ＝ 7.0710678…，舍入到 7.0711

   同一个正方形从另一个方向填进去，四个读数与上一行完全相同——那是这一页的要点，不是表里重复算了一遍。买画框、只知道线条总长的时候，就是填这一格；边长、面积、对角线全都从它出来。

3. 由面积 25 反推

   1. 边长：√25 ＝ 5
   2. 周长：4 × 5 ＝ 20
   3. 对角线：5 × √2 ＝ 7.0710678…，舍入到 7.0711

   进入同一个正方形的第三条路。手头的数是一块面的面积时就走这一格——报价 25 平方米的房间、按面积卖的板材——因为 25 开方正好是 5，页面从那里往下算就是了。

4. 面积为 2

   1. 边长：√2 ＝ 1.4142135…，舍入到 1.4142
   2. 周长：4 × √2 ＝ 5.6568542…，舍入到 5.6569
   3. 对角线：√2 × √2 ＝ 2

   这一行值得记住。面积为 2 的正方形，边长是 1.4142——也就是根号二本身，那个数之所以出名就是这个原因——而对角线恰好是 2：边长是根号二，对角线是边长乘根号二，两个根号正好约掉。它同时也是「把给定正方形面积翻倍」的那个正方形：它是一乘一正方形面积的两倍，而它的边长正是一乘一正方形的对角线，人类写下的第一个无理数就藏在这个作图里。

5. 边长 0

   1. 周长：4 × 0 ＝ 0
   2. 面积：0 × 0 ＝ 0
   3. 对角线：0 × √2 ＝ 0

   没有大小的正方形是一个点，四个读数一起是零。零是合法输入而不是空框，所以一行零是一个真实的答案——页面把它与「三个框都空着」区分开来，后者什么都不显示，因为没有东西可以拿来算。

这一页只算正方形：四条边相等、四个角都是直角。一个「差不多是正方形」的矩形是另一种形状、对角线不一样，那一种归隔壁的矩形页；菱形四条边也相等，但角不是直角，所以它的对角线短于边长乘根号二，而这一页不会告诉你这件事。读数一律是厘米和平方厘米，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的边长会拿回一个厘米的答案，要自己换。四位小数是显示宽度而不是精度声明：周长在输入精确时是精确的，对角线因为带着根号二几乎从不精确，而填进去的面积如果不是完全平方数，还原出来的边长会带着同一个问题。对角线只印不收——它没有输入框——所以用对角线描述的正方形要先自己换算。三个框里同时填两个会被拒绝，而不是悄悄取一个算了：边长 5 与周长 30 描述的是两个不同的正方形，页面宁可报错也不替你选。这里也处理不了圆角正方形、画在曲面上的正方形，以及一块方砖或方料的厚度。

为什么只要填一个框？

因为正方形只有一个自由度。每个正方形都是同一个形状的不同大小，所以一个数说清它多大，关于它的一切就都定死了——这与矩形不一样，矩形的长宽比例可以不同，不先给两个数就什么都算不出来。所以这一页收下你手头正好有的那一个量，其余由它推出来。

为什么没有对角线那一格？

因为对角线是尺寸的结果，而不是指定尺寸的办法。给它加一个输入框，就意味着要为一个人几乎不会直接去量的量再写一条反解公式——除以根号二还原边长。但它照样印出来，因为它是人们最常想要、又最不常想到可以去要的那个读数，也是用来检查正方形方不方的那一个。

为什么填边长、周长、面积会得到同样的四个读数？

因为它们说的是同一个正方形。填边长 5、填周长 20、填面积 25，是同一件事的三种说法，所以三者都给出边长 5 厘米、周长 20 厘米、面积 25 平方厘米、对角线 7.0711。参考表把这三个入口排成三行，正是为了让这件事看得见，而不是要你凭空相信。

面积为 2 的正方形有什么特别？

它的边长是根号二，约 1.4142，而对角线恰好是 2。道理是边长本身是 √2，对角线是边长乘 √2，两个根号正好约掉——在一个几乎每个数都拖着开不尽的根号的页面上，这是一个精确答案。它也正好是一乘一正方形面积的两倍，所以它的边长就是一乘一正方形的对角线，人类注意到的第一个无理数就来自这个作图。

能同时在两个框里填数吗？

不能，页面会直接拒绝而不是替你挑一个。边长 5 与周长 30 描述的是两个不同的正方形，没有诚实的办法判断你指的是哪一个。要填哪一格，就先把别的清空——页面同时区分「空框」与「零」，所以边长为零的正方形是一个真实答案，而三个框全空则什么都不显示。

它与矩形计算器有什么区别？

矩形页要两个数、给三个答案；这一页要一个数、给四个读数。差别在自由度的个数，一个对两个，而它改变了表单的形状：矩形问你要长和宽，这一页要的是你手头那一个量。把正方形填到矩形页上会得到同样的面积、周长和对角线，所以两页在重叠的地方是相互印证的。

• Square — 正四边形；本页算的面积、周长与对角线都在这一条里，并写明对角线等于边长乘根号二 — Wolfram MathWorld（美国）
• Square root of 2 — 正方形对角线与边长之比，附「它写不成分数」的证明，也就是本页对角线输出几乎从不精确的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• Regular polygon — 正方形所属的正多边形族，与等边三角形、正六边形同族，隔壁的周长页也覆盖了那几个 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；正方形的周长、面积与对角线是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部