正方形面积计算器
结果
面积
正方形面积计算器要的是正方形一条边的长度，给的是这块面有多大：边长乘以自己就行。边长 5 厘米的正方形面积是 25 平方厘米，边长 12 厘米的面积是 144 平方厘米。公式本身只有一步乘法，所以这一页真正有用的地方不在乘，而在两件容易被算错的事上。第一件是单位：答案是平方厘米，带一个小 ² 标记——单位是跟着数字一起平方的，这正是面积与长度不是同一种量的原因；而这一页无论下拉框选了什么都把结果印成平方厘米，所以用英寸或米量出来的边长还要自己再换算一次，下拉框换算的是输入、不是输出。第二件是面积随边长怎么变：边长翻一倍，面积不是翻一倍而是翻四倍，因为宽和高同时翻了一倍。边长 5 厘米的面积是 25 平方厘米，边长 10 厘米的面积是 100 平方厘米，正好四倍；边长砍一半，面积就只剩四分之一。下面那张表把这条规律在两个方向上都摆了出来：2.5 厘米那一行的面积是 6.25，0.5 厘米那一行是 0.25。计算公式就是 A ＝ s × s 这一行，参考表是它在八个边长上的取值，从 0 到十二厘米，半厘米与带小数的那几档也在里面，手边已经量好的尺寸可以直接查，不必再填一遍。第一行是页面打开的默认值（边长 5），它同时也是本子类里可以互相对照的一行：同子类的 square-calculator 填边长 5 得到的面积是 25，rectangle-calculator 填长 5、宽 5 得到的也是 25，因为两条边相等的矩形就是正方形。开始用之前先说明两件本页不做的事。它不给周长，也不给对角线——两个都由边长定死，square-calculator 会一并算出来，本页只印面积。它也不能反着算：把面积填进去不会得到边长，因为这一步是开平方而不是平方，本页只朝一个方向走。手上是面积、想把边长倒推出来，请改用 square-calculator 那一页，它的三个入口里就有面积，而本页只朝一个方向走。
常见边长与它们各自的面积
| 边长（厘米） | 面积（平方厘米） |
|---|---|
| 5 | 25 |
| 10 | 100 |
| 1 | 1 |
| 7 | 49 |
| 2.5 | 6.25 |
| 0.5 | 0.25 |
| 12 | 144 |
| 0 | 0 |
八个正方形，右边那一列每个数都是它左边那个数乘以自己。第一行是页面打开的默认值，也是本子类里可以对得上的一行：边长 5 在这里是 25 平方厘米，square-calculator 填同样的边长给 25，rectangle-calculator 填长 5 宽 5 也给 25。第一、二行是同一条增长规律的两种尺寸——边长从 5 翻到 10，面积从 25 变成 100，四倍，这不是巧合而是必然，因为两个方向都翻了倍。带小数的那两行管的是另一个方向：边长 2.5 的面积是 6.25，边长 0.5 的面积是 0.25，边长缩到几分之一面积就缩到几分之一的平方——边长只剩五分之一，面积就只剩二十五分之一——两行同时也把「平方让小数位数翻倍」显示了出来。最后一行边长是 0，面积也是 0——一个没有大小的正方形，照答不误。每一格都是页面构建时由它那一行现算出来的，单位是厘米与平方厘米。
公式
A ＝ s × s ＝ s²
- s
- 正方形一条边的长度，这里以厘米计。四条边一样长，所以量哪一条都行，这一页也只要这一个输入。它不能是负数，取值范围从 0 到十亿厘米（也就是一万公里）——上限与几何无关，只是为了保证平方之后还在计算机能精确表示的范围内
- A
- 正方形的面积，以平方厘米计：边长乘以它自己。结果保留四位小数，与这个子类里其他面积页同一个位数，这样同一个正方形在 square-calculator 与本页上印出来的串是一样的
- s × s
- 写成两个相同因数相乘而不是写成乘方，是为了让「两个因数一样」这件事看得见。面积随边长的平方增长：边长翻倍面积四倍，边长三倍面积九倍，边长减半面积剩四分之一。这是本页最值得记住的一条，因为它意味着边长的估算误差到了面积上会被放大一次
- 平方厘米
- 答案的单位。一平方厘米就是边长一厘米的小正方形，25 个正好铺满边长 5 厘米的正方形——五排，每排五个。那个小 ² 不是装饰：它标记的是单位跟着数字一起乘了一次自己，也正是为什么 25 平方厘米与 20 厘米是两种不同的量，虽然两个数都是用厘米量出来的
- 平方米
- 边长改用米量时答案的样子：边长 2 米的正方形面积是 4 平方米，边长 3 米是 9 平方米。本页以厘米为基准单位，填进去的米会先换成厘米再平方，所以结果仍然印成平方厘米——4 平方米是 40000 平方厘米。反过来把平方厘米换成平方米是除以一万而不是除以一百，因为两个方向都换算了一次
手边有一块正方形的东西、量出了一条边、想知道它多大，就用这一页：瓷砖、玻璃、亚克力板、一块地、一张方桌面、一方布料。从卷尺到面积这是最短的一条路，而且表里那八种尺寸连填都不用填，答案已经在屏幕上。它还有一个用途是对数：因为整件事只有一步乘法，看着不对的面积几秒钟就能手算核对一遍——边长 5 报 25 平方厘米是对的，边长 10 报 25 就不对，10 × 10 是 100。凡是以平方米报出来的面积都值得这样核一下，因为平方厘米与平方米之间差一万倍，小数点挪错位的次数比它挪对的次数还多。手上是周长或者对角线而不是边长，或者想一次把四个读数都拿到，请用 square-calculator。两条边不一样长的时候请用 rectangle-calculator：本页假定四条边相等，矩形长 5 宽 6 的面积是 30 平方厘米，不是 25。
算例
边长 5 厘米的正方形
- 边长乘以它自己：5 × 5 ＝ 25
- 得到 25 平方厘米
页面打开的默认值，也是面积看着不对时用来核对的基准——只有一步乘法，不用打开任何工具就能验。它还是本子类里三页对得上的一行：square-calculator 填边长 5 得到的面积是 25，rectangle-calculator 填长 5、宽 5 得到的也是 25，一行数把「正方形就是两边相等的矩形」这句话说清楚了。
边长 2.5 厘米的正方形
- 边长乘以它自己：2.5 × 2.5 ＝ 6.25
- 得到 6.25 平方厘米
进来一位小数，出去两位，这不是这一例凑巧：平方会把小数位数翻一倍，所以量到毫米的边长，算出来的面积在厘米制下是两位小数。它同时说明本页那四位小数是显示宽度而不是精度声明——6.25 是精确值，更长的答案后面跟着的零也不是多出来的精度。真要裁料，6.25 与 6.3 平方厘米的差别只是边缘上的一丝，两者都只跟你量的那个 2.5 一样准。
边长 12 厘米的正方形
- 边长乘以它自己：12 × 12 ＝ 144
- 得到 144 平方厘米
十二是一个常用的尺寸，因为一米能被它整除成整数，也因为十二厘米见方的瓷砖很好找。144 这个数本身值得留意：它是一个完全平方数，开方开回去正好是你填进来的边长。表里第二行可以拿来比：边长 10 的面积是 100，边长多出两厘米——也就是多五分之一——面积却多了将近一半，这就是增长规律在一对能想象出来的尺寸上的样子。
边长 0.5 厘米的正方形
- 边长乘以它自己：0.5 × 0.5 ＝ 0.25
- 得到 0.25 平方厘米
半厘米的边长得到四分之一平方厘米，很多人第一次看到会觉得别扭：答案比输入还小了，而这一页别的算例都是越算越大。规律没变，比 1 小的数乘自己一定变小。实际影响是：小东西的面积是真的小，如果几毫米见方的东西被报成了整平方厘米，值得再看一眼。这一行也是看得最清楚的一行——进去一位小数，出来两位。
局限
这一页只算一件事：由边长求正方形的面积。它不给周长（四倍边长），也不给对角线（边长乘根号二）——两个都由你已经填进去的那个数定死，需要就在 square-calculator 上看。它也不能反着算：没有「填面积求边长」的入口，所以贴砖的人真正会问的那个问题——要盖住 50 平方厘米，方砖该裁多大——在这里答不了，那一步是开平方而不是平方。无论边长是用什么单位填的，答案都印成平方厘米，填英寸、英尺或米都只换算了输入，没换算出输出，平方厘米的结果要自己再换一次。把平方厘米换成平方米是除以一万不是除以一百，这个错最常发生，而且是整页计算里唯一一处错了就差一百倍的地方，报价单和订货单上出现的面积错误大半出在这里。负的边长按错误处理而不是照样平方，因为边长没有负的；但边长填 0 会得到面积 0 而不是报错——没有大小的正方形是一个真实的答案。超过十亿厘米的边长会被拒绝，这条限制与几何无关，只是为了让平方之后的结果还在计算机能精确表示的范围内；在这个范围以内，四位小数之内的结果是精确的。本页不检查你量的东西是不是正方形：它按名字说的那样假定四条边相等，你把一个矩形当正方形填进来它照样算，两条边不一样长时请改用 rectangle-calculator，它会当场把差别显示出来。这里也不考虑损耗、裁缝、留边、缝宽和砖缝，所以本页给出的是那个图形的面积，不是要买的材料数量。
常见问题
- 正方形的面积公式是什么？
- 边长乘以它自己，写成 A ＝ s × s 或者 A ＝ s²。边长 5 厘米的正方形面积是 25 平方厘米，因为 5 × 5 ＝ 25。整条公式没有二分之一，也没有任何常数，这就是正方形成为最简单的面积、也值得被记住当作其他图形参照点的原因。
- 为什么边长翻倍，面积会变成四倍？
- 因为正方形在两个方向上同时变大。边长翻一倍，宽和高都翻了一倍，面积就乘了两次 2：2 × 2 ＝ 4。边长 5 厘米的面积是 25 平方厘米，边长 10 厘米的是 100 平方厘米，不是 50。反过来也一样——边长减半面积就除以四，边长 2.5 厘米的面积是 6.25，正好是 25 的四分之一。这也是为什么量尺寸时的小误差，传到面积上会比看起来更明显。
- 一平方米等于多少平方厘米？
- 一万平方厘米，不是一百。一米是一百厘米，而换算面积要把两个方向都换一次，所以倍率是 100 × 100 ＝ 10000。一平方米是 10000 平方厘米，一平方厘米是 0.0001 平方米。同一个坑也出现在平方厘米与平方毫米之间（那里是一百倍）以及平方米与公顷之间（又是一万倍）。本页给出的面积如果要填进以平方米报价的单子，记得除以一万。
- 矩形能用这一页算吗？
- 不能，除非那个矩形正好是正方形。本页做的是把一个数乘以它自己，只有四条边一样长时才成立；长 5 厘米、宽 6 厘米的矩形面积是 30 平方厘米，而本页对同样的输入会报 25。同子类的 rectangle-calculator 收两个不同的边长再相乘，两条边不一样长就该用它——square-calculator 无论收到什么输入都按正方形解，把矩形的周长或面积填进去，得到的只是「周长（或面积）相同的那个正方形」，与你的矩形不是一回事。如果两条边的差别比铅笔线还细，两页都行。
- 边长填 0 会怎样？
- 得到面积 0，而且照常印出来，不会报错。没有大小的正方形面积就是 0，这是一个真答案：本页的错误提示只留给负的边长，因为长度不可能是负的。填 0 之后表里最后一行也给出同样的结果。相邻的那种情况也值得知道——负的边长会报错，因为页面没法判断你是想输入这个长度还是它的符号。
- 为什么答案带四位小数？
- 四位小数是这个子类里面积页共用的显示宽度，目的是让同一个图形在本页、square-calculator 与 rectangle-calculator 上印出相同的串。它不是精度声明：用卷尺量到毫米的边长，精度大约只有五十分之一，比答案的第四位小数粗得多。留着这几位是为了让精确的答案——边长 2.5 得 6.25、边长 0.5 得 0.25——干净地显示出来而不是被四舍五入掉。
参考资料
- Square——四条边相等、四个角都是直角的四边形，本页算的就是它的面积，条目里同时给出边长、对角线与面积之间的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- Area——面积的一般讨论，包括图形按比例放大时面积如何变化，本页「边长翻倍面积四倍」这条规律就出自这里 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；长方形与正方形的面积、面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）与它们之间的换算是小学阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部
- NIST Special Publication 811——美国官方的公制使用指南，其中关于单位带次幂时指数写在符号上的一节，是面积用 cm² 表示的依据 — 美国国家标准与技术研究院（NIST）