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六边形计算器

范围：0 cm – 1,000,000,000 cm

结果

93.5307 cm²

面积

周长
36.0000 cm
长对角线
12.0000 cm
短对角线
10.3923 cm
边心距
5.1962 cm
内角
120 °

六边形计算器由正六边形的边长，给出它的六个量：面积、周长、两条对角线、边心距和内角。正六边形是蜂巢、螺母、螺栓头和地砖的形状，它出现得这么频繁，是因为它是把一个平面无缝隙地分成等大格子最省料的方式——蜜蜂比任何人证明这一点都早。它的另一个好处是算术：正六边形由六个等边三角形共用一个顶点拼成，关于它几乎所有的结论都是从这一件事推出来的。周长是六条边。长对角线，也就是从一个角穿过中心到对角的那条，是两条边，因为它是两个这样的三角形头尾接起来。短对角线，也就是中间隔一个角的那条，是两个三角形背靠背拼起来的高，等于根号三乘边长。面积是六个等边三角形，每个是四分之根号三乘边长的平方，六个合起来是二分之三倍根号三乘边长的平方。而边心距——从中心垂直量到一条边的中点，也就是六边形内切圆的半径——是短对角线的一半，等于二分之根号三乘边长。六个输出、一个输入，五条公式各自把这同一个边长换成不同的量，而第六个压根不用它。这一个输入值得停一下，因为它正是这一页与周围多数页面不同的地方：长方形要两个数，三角形要三个数，一般四边形还要更多；而正六边形只要边长，因为「正」这个字已经把所有角定在 120 度、所有边定成一样长。改了边长，整个形状跟着缩放——边长翻倍则周长翻倍、对角线翻倍，但面积变成四倍，因为面积总是跟着长度的平方走，这一页也不例外。内角是唯一一个完全不随边长动的量：它由「有六条边」这件事本身定死在 120 度，这一点在下面的参考表里看得最清楚——同一个数字一路印满最后一列。五个尺寸类的数印四位小数，因为其中三个带着根号三、几乎从来不是整数，而周长和长对角线只要边长本身是精确的就精确；内角是整数，就按整数印。

从边长 0 到边长 10 的正六边形

边长（厘米）面积（平方厘米）周长（厘米）长对角线（厘米）短对角线（厘米）边心距（厘米）内角（度）
693.5307361210.39235.1962120
12.5981621.73210.866120
210.39231243.46411.7321120
323.38271865.19622.5981120
564.951930108.66034.3301120
7.5146.1418451512.99046.4952120
10259.8076602017.32058.6603120
000000120

八个正六边形，第一行是页面打开时的默认输入。横着读前两列能看到那条最容易让人算错的关系：边长从 5 到 10，周长、两条对角线和边心距都翻倍，而面积从 64.9519 变成 259.8076——四倍而不是两倍，因为面积跟着长度的平方走。最后一列八行都是同一个 120，这是性质而不是复制粘贴错了：正六边形的内角由「有六条边」这件事定死，不随大小动，而它是本页唯一一个在边长归零、其余五个量一起塌成零时仍然不动的读数。第二行是单位六边形，三个带根号三的输出在这里最干净：短对角线 1.7321、边心距 0.866，也就是 √3 与二分之 √3。第三行是第一个巧合坐着的地方：边长 2 的六边形面积是 10.3923，而第一行边长 6 的六边形短对角线也是这个 10.3923。第七行边长 10 带着第二个：它的边心距 8.6603 正是边长 5 的短对角线——两者都是 5√3，只是从不同方向走到。同一张表上两个量共用四位数字，恰恰是最像复制粘贴出错的那种情形，而这两个都是真的。最后一行边长是零，五个尺寸列都是零，那个答案是真实的而不是缺失的——而角度那一列，理由如上，仍然是 120。表中每个数都是页面构建时按各自边长现算的，单位是厘米与度，小数宽度与结果面板用的是同一套。

公式

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s d长 = 2s d短 = √3 × s 边心距 = (√3 ÷ 2) × s 内角 = 120°

边长
六条边中任意一条的长度，单位厘米。之所以只有这一个输入，是因为正六边形六边相等、六个角都固定 120 度，所以这个数本身就确定了整个形状
面积
六边形内部的大小，单位平方厘米，等于二分之三倍根号三乘边长的平方。那个常数来自拼成它的六个等边三角形，不是一条要背下来的式子
周长
绕一圈的长度，单位厘米：六乘边长，因为六条一样长。它是唯一一个只要边长精确就必然精确的输出，也是用来核对其他几个的那一个
长对角线
从一个角穿过中心到对角的那条距离，单位厘米。它正好是边长的两倍，也就是六边形外接圆的直径，同时也是这个形状上能量到的最宽的一处
短对角线
两个角之间正好隔着一个角的那条距离，单位厘米，等于根号三乘边长。它比边心距的两倍略小，比边长的一点五倍略大，把六边形切成一个长方形加两个三角形
边心距
从中心垂直量到一条边中点的距离，单位厘米，等于二分之根号三乘边长。它是六边形内切圆的半径，也正好是短对角线的一半——两者是同一个量，一个从中心看、一个从角上看
√3
根号三，约 1.7320508。它出现在面积、短对角线和边心距里，它是边长为 1 的等边三角形的高——把三角形的边长换成它的高的那个数
内角
相邻两条边在六边形内部夹出的角，正六边形恒为 120 度，因此与边长完全无关。它来自多边形内角和的规则：边数减二再乘 180 度——六条边即四个三角形、720 度，由六个相等的角平分。这是本页唯一一个「六边形变大、它印出来一模一样」的输出
四位小数
每个输出的写法宽度。面积、短对角线和边心距几乎总带着 √3、几乎从来除不尽；周长和长对角线是精确的，把它们印到四位是宽度而不是精度声明。内角正好是 120，所以它按整数印，连小数点都没有——宽度是逐个输出定的，不是全页一个宽度

这一页面向的是作为实物的六边形，而它反复出现的原因就是蜂巢。如果你在铺一个面、想知道一块六角砖用多少料，要的就是面积，而值得知道的是边长 1 的六边形面积约 2.6 而边长 1 的正方形面积是 1——同样长度的边，六边形盖住的地面更多，这就是包装内衬和散热板要抄蜂巢的原因。如果你是从一张板上裁这些砖，边心距告诉你圆心之间该隔多远，两条对角线告诉你成品需要多少余量——长对角线是过角的最宽处，短对角线是过平面的那组尺寸，决定一个螺母能不能塞进扳手。螺栓头的规格是按「对面距离」报的，也就是边心距的两倍，配套套筒也按同一个尺寸报，所以该看的是边心距而不是长对角线。如果你在核一张图，两条对角线之间有固定的比例——短的是长的一半再乘根号三——所以算出来的六边形如果两条对角线不落在这个比例上，那是打错了一个字而不是舍入差异。

算例

  1. 边长 6

    1. 周长：6 × 6 = 36
    2. 长对角线：2 × 6 = 12
    3. 边心距：(√3 ÷ 2) × 6 = 5.196152…，保留四位是 5.1962
    4. 短对角线：√3 × 6 = 10.392304…，保留四位是 10.3923
    5. 面积：(3√3 ÷ 2) × 36 = 93.530743…，保留四位是 93.5307
    6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 度，任何正六边形都是这个数

    页面打开时的默认输入。六个输出里有两个是精确的——周长 36、长对角线 12——另外三个带着根号三，各印四位。第六个是内角：120 度，与下面参考表八行里印的完全一样。值得做一次的核对：边心距正好是短对角线的一半，5.1962 对 10.3923，这条关系对任何边长都成立，不是这一组数的巧合。

  2. 边长 1

    1. 周长：6 × 1 = 6
    2. 长对角线：2 × 1 = 2
    3. 短对角线：√3 × 1 = 1.7320508…，保留四位是 1.7321
    4. 边心距：0.8660254…，保留四位是 0.866
    5. 面积：(3√3 ÷ 2) × 1 = 2.5980762…，保留四位是 2.5981
    6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 度，任何正六边形都是这个数

    单位六边形，也是记常数的那一行：边长 1 的正六边形面积 2.5981、短对角线 1.7321、边心距 0.8660。它还赢过边长 1 的正方形——后者面积是 1——这就是蜂巢背后的算术。边心距印成 0.866 而不是 0.8660，因为第四位小数是个末尾的零，印出来的写法会尽量短；而内角 120 根本没有小数部分可印。

  3. 边长 2

    1. 周长：6 × 2 = 12
    2. 长对角线：2 × 2 = 4
    3. 短对角线：√3 × 2 = 3.4641016…，保留四位是 3.4641
    4. 边心距：1.7320508…，保留四位是 1.7321
    5. 面积：(3√3 ÷ 2) × 4 = 10.392304…，保留四位是 10.3923
    6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 度，任何正六边形都是这个数

    让人意外的那一行：这个六边形的面积是 10.3923，而边长 6 的六边形短对角线也是 10.3923。两个不同的量、两个不同的六边形印出同样四位数字，是数的巧合而不是某一列被算了两遍；在参考表里撞见它之前先知道，比撞见之后再往坏处想要好。内角那一列倒是没有任何意外：八行都是 120。

  4. 边长 10

    1. 周长：6 × 10 = 60
    2. 长对角线：2 × 10 = 20
    3. 短对角线：√3 × 10 = 17.320508…，保留四位是 17.3205
    4. 边心距：(√3 ÷ 2) × 10 = 8.660254…，保留四位是 8.6603
    5. 面积：(3√3 ÷ 2) × 100 = 259.807621…，保留四位是 259.8076
    6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 度，任何正六边形都是这个数

    边长十厘米的六边形，大约是一块小地砖的尺寸。8.6603 这个边心距是本页第二个巧合：它与边长 5 的短对角线是同四位数字，因为两者都是 5√3，只是从不同地方看过去。这一行值得拿走的是长对角线 20 对短对角线 17.32——六边形过角比过平面宽大约百分之十五，这就是螺母和配它的扳手都按「对面距离」报规格的原因。

  5. 边长 0

    1. 周长：6 × 0 = 0
    2. 长对角线：2 × 0 = 0
    3. 短对角线：√3 × 0 = 0
    4. 边心距：(√3 ÷ 2) × 0 = 0
    5. 面积：(3√3 ÷ 2) × 0 = 0
    6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120 度，任何正六边形都是这个数

    零是一个合法的输入，不是一个空框。边长 0 的六边形是一个点，五个尺寸类的量全是零，所以一行零是一个真实的答案，而不是「哪里没填上」的信号。内角是例外，仍然是 120 度——它是「有六条边」这件事的属性而不是大小的属性：形状缩没了，但没有变成另一个形状。页面把零与留空区分开：留空时什么结果都不显示，因为没有东西可算。

局限

这一页只算正六边形：六条边一样长、六个角都是 120 度。不是正六边形的六边形没有单一的边长，一个数描述不了，而页面不会告诉你这一点——它会安静地按那个边长的正六边形给你一套读数。内角对任何大小都固定 120 度，表中每一行都印同一个数，边长归零那一行也不例外；这一页不给外角、不给圆心角，也不给非正六边形的任何一个角，因为那种情形下没有单一的答案可给。输出一律是厘米、平方厘米和度，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的边长会拿回一个厘米的答案，要自己换。四位小数是显示宽度而不是精度声明：对量出来的边长它是宽裕的，除非输入本身精确，最后两位没有意义。面积随边长的平方增长，而周长和对角线随边长本身增长，所以把六边形放大时那几个数变化的速度不一样——内角是唯一一个一点都不变的。边心距与短对角线虽然是严格的两倍关系，页面仍然印成两个输出，因为这两个量在不同的行当里分别被引用，页面宁可都印出来也不让你自己去折半。这里也处理不了中间穿了洞的六边形、画在曲面上的六边形，以及六角砖或螺母的厚度——那是这一页没有输入框的第三个维度。

常见问题

为什么六边形只要一个尺寸就够？
因为这一页算的是正六边形，六条边相等、六个角都固定 120 度。这两条定下来之后只剩大小可定，一个边长就够了。这正是正六边形与长方形的区别——后者要两个数——也是它与一般三角形的区别，后者要三个数。
边心距是什么，有什么用？
它是从六边形中心垂直量到一条边中点的距离，也是能塞进六边形里的最大圆的半径。它有用是因为平面边的物件在实际上是按它量的：螺母和配套的扳手都按「对面距离」报规格，那是边心距的两倍，而不是过角的长对角线。
两条对角线分别指哪条？
长对角线从一个角穿过中心到对角，正好是边长的两倍。短对角线在两个中间隔着一个角的角之间，等于根号三乘边长。长的比短的长大约百分之十五，而短的正好是边心距的两倍。
为什么有的输出印四位小数，有的不印？
因为宽度是逐个输出定的，不是全页一个。面积、短对角线和边心距都含根号三，它除不尽，所以它们的答案几乎也除不尽，按四位印。周长是六乘边长、长对角线是二乘边长，只要边长精确它们就精确——它们按固定的四位宽度印出来，末尾的零不显示而已。内角正好是 120，所以按整数印，连小数点都没有。
同样边长的六边形和正方形比，哪个大？
六边形占地更多。边长 1 的正六边形面积约 2.6 平方单位，而边长 1 的正方形面积是 1，用的边长一样——但六边形的周长也更长（六条边对四条边），所以只有在「每条边长平均下来盖多少地」这个说法下比较才公平。蜂巢、包装内衬和散热板用六边形格子就是为了这一点。
边长可以是零吗？
可以，五个尺寸类的输出都会是零，那是对一个没有大小的六边形的如实描述。内角是例外，仍然是 120 度，因为它是「有六条边」这件事的属性而不是大小的属性。零被当作真实输入而不是空框，所以一行零是一个答案。留空是另一回事：什么也没填时页面什么都不显示，因为没有东西可算。
为什么改了边长，内角一点都不变？
因为它是形状的属性而不是大小的属性。任何多边形的内角和都是边数减二再乘 180 度；六条边就是 720 度，正六边形把它平均分给六个角，每个 120 度。这段算术里根本没有出现边长，所以边长 1 的六边形和边长 10 的六边形，角都是 120 度——连缩成一个点的六边形也照样报 120，对一个丢了大小却没丢形状的图形来说，这才是如实的答案。

参考资料

相关计算器

周长计算器由各边边长求常见平面图形的周长。平行四边形面积计算器由底、高和斜边求平行四边形的面积与周长。多边形计算器给边数与边长，求正多边形的面积、周长、边心距与内角。八边形计算器求正八边形的面积、周长、边心距与三种对角线。