多边形计算器

A ＝ n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P ＝ n·s a ＝ s ÷ (2·tan(π ÷ n)) 内角 ＝ (n − 2) × 180° ÷ n 对角线种数 ＝ ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

边数，也就是这个多边形有几条边。本页接受 3 到 1000 的整数，它决定形状而不决定大小：内角与对角线种数只认它，边长怎么变都不影响。三边形就是三角形、四边形就是正方形、十二边形就是十二边形，本页一律按正多边形处理——各边等长、各角相等

s

任意一条边的长度，单位是厘米。与每一个正多边形一样，一条边就够了，因为其余各边都与它等长。它决定这个图形有多大，不决定它是什么形状——同一个 n 下把 s 翻倍，面积变四倍、周长变两倍、内角一动不动

面积

正多边形占的平面大小，单位是平方厘米，等于边数除以四倍 tan(π÷n) 再乘边长的平方。n 越大这个系数越大，而且没有上限：正方形是 1、六边形 2.5981、七边形 3.6339、二十边形 31.5688、一千边形 79577.2097——因为边长固定而形状在长大。这正是「同样一条边，边数越多围住的越多」的算术来源。朝着 π 逼近的是另一个量：面积除以「中心到顶点距离」的平方，正方形是 2、六边形 2.5981、一千边形 3.1416

周长

绕一圈的长度，单位是厘米，等于边数乘边长。它是五个读数里唯一一个与 n 和 s 都成简单正比、不需要三角函数的量，所以哪个结果看着不对时先用它来对——一千条边、边长 6 的周长就是 6000，没有近似

边心距

从中心笔直量到一条边中点的距离，单位是厘米，等于边长除以二倍 tan(π÷n)。它是能塞进这个图形里的最大那个圆的半径，两倍之后是这一对对边之间的宽度。n 越大它越接近外接圆半径，一千边形时两者都约等于 954.9——几乎分不出来了

内角

相邻两条边在图形内部的夹角，单位是度，等于边数减二乘 180 再除以边数。它只由边数决定，是本页两个「边长怎么改都不动」的读数之一：三条边 60 度、五条边 108 度、一千条边 179.64 度。它的一半就是斜切锯要用的角度，也是做多边形画框时要查的那个数

对角线种数

这个图形有几种不同长度的对角线，而不是有几条对角线。把连接两个顶点的弦按「跨过几个顶点」分类共有 ⌊n÷2⌋ 种，而其中一种是边本身（跨一个顶点），所以要减掉一：三边形 0 种、四边形 1 种、五边形 1 种、六边形 2 种、一千边形 499 种。它与内角一样只由边数决定，边长不影响

π

圆周率，约 3.14159265。它出现在这里是因为正多边形的面积与边心距的算式里都带着 tan(π÷n)，而那个 π 就是「一圈是 360 度」换成弧度之后的半圈。它也是这一页的边数上限的来源：n 到一千时，一千边形与同周长的正圆面积只差 0.0003%

这一页是给「知道边数、想知道这个形状有多大」的人用的，而它比旁边的单形状页面多给两样东西：形状的自由度，与并排比较的能力。要一个七边形或十二边形的数，只能来这里，因为那些形状没有各自的一页。而要比一个五边形与一个六边形谁更划算，必须在同一个边长上比才有意义——这张表直接把这一列摆好了：边长 6 时五边形占 61.9372、六边形 93.5307、八边形 173.8234、二十边形 1136.4753、一千边形 2864779.5509。同样一条边，边数越多买到的面积越多，而这条路上限在别处：边长固定时形状本身也在一起长大，多出来的边只会让数字继续涨，没有天花板。有天花板的是另一个量——把周长固定住，面积才朝着同周长的正圆去。表上最后一行正好落在两者的重合处：一千条边、边长 6 的周长是 6000，而同周长的正圆是 2864788.9757，两者只差 0.0003%，也就是说再往上加边，多出来的面积已经印不出来了。真正能看出「多一条边值不值」的是固定周长的那一趟比较：周长都是 6000 时，五边形到六边形这一步值 120589 平方厘米，而从二十边形一路加到一千边形、多出 980 条边，总共才值 23591。这也是为什么自然界与工程里围东西的形状停在六边形附近——蜂巢、瓷砖、管道束——六边形是能单独铺满平面的最大正多边形，再往上加边既铺不满，又要多一道工序。实际用法通常是反过来问的：先有地方要围，再看多少条边合适。如果是从一张板材上裁一个正 n 边形，边心距是放线要用的那个数，因为它的两倍是对边之间的宽度，而平的边好架尺、角不好架。如果要做画框或灯罩，内角那一列告诉你斜切多少度，而它在同一行里不随边长变，所以锯子调一次就能切完一批不同大小的同款。还有一个用法是这一页独有的：拿它当一个检查工具。手头任何一个正多边形算出来的面积，与这张表在同一 n、同一 s 下对不上，就说明那个算法有一处错了，而这一页的公式是通用的那一条。

1. 六条边、边长 6

   1. 周长：6 × 6 ＝ 36
   2. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 ＝ 120，精确
   3. 对角线种数：⌊6 ÷ 2⌋ − 1 ＝ 3 − 1 ＝ 2
   4. 边心距：6 ÷ (2 × tan 30°) ＝ 6 ÷ 1.154700… ＝ 5.196152…，舍入得 5.1962
   5. 面积：2.5980762… × 36 ＝ 93.530743…，舍入得 93.5307

   页面打开时的默认值，也正好是三条对账里的一条：正六边形页在边长 6 上给的面积就是 93.5307，两页必须一致。对角线种数是 2，这值得停下来看一眼——六边形有两个对角线长度，短的那条隔一个顶点、长的那条直穿过去，而正六边形的长对角线恰好等于边长的两倍，也就是 12。这条等式只在六边形成立，是它铺满平面的那个性质的另一面。

2. 五条边、边长 6

   1. 周长：5 × 6 ＝ 30
   2. 内角：(5 − 2) × 180 ÷ 5 ＝ 108，精确
   3. 对角线种数：⌊5 ÷ 2⌋ − 1 ＝ 2 − 1 ＝ 1
   4. 边心距：6 ÷ (2 × tan 36°) ＝ 4.129145…，舍入得 4.1291
   5. 面积：1.7204774… × 36 ＝ 61.937187…，舍入得 61.9372

   第二条对账：正五边形页在边长 6 上给的面积就是 61.9372。对角线种数是 1——五条边时 ⌊5÷2⌋ 已经等于 2，减掉边本身那一种只剩 1，也就是说正五边形的五条对角线全都一样长，这正是五边形页只印一条对角线的原因。同时它也是本表的第一个「对角线种数不再是 0」的奇数边形：三边形是 0，五边形是 1，七边形是 2，一路跟着 ⌊n÷2⌋ 走。

3. 三条边、边长 6

   1. 周长：3 × 6 ＝ 18
   2. 内角：(3 − 2) × 180 ÷ 3 ＝ 60，精确
   3. 对角线种数：⌊3 ÷ 2⌋ − 1 ＝ 1 − 1 ＝ 0
   4. 边心距：6 ÷ (2 × tan 60°) ＝ 1.732050…，舍入得 1.7321
   5. 面积：0.4330127… × 36 ＝ 15.588457…，舍入得 15.5885

   这一行的下限，也是表上唯一一个对角线种数为 0 的图形：三角形没有对角线，因为任意两个顶点都相邻。边长 6 的等边三角形面积是 15.5885，是整张表最小的一个，也是「同样一条边、边数越多围住的越多」这条走向的起点——从 15.5885 到 61.9372 到 93.5307，一路涨到一千边形的 2864779.5509。它的边心距 1.7321 是根号三，也就是外接圆半径 3.4641 的一半，而后者正是边长 6 的等边三角形的外接圆半径，等于边长除以根号三。

4. 一千条边、边长 6

   1. 周长：1000 × 6 ＝ 6000
   2. 内角：(1000 − 2) × 180 ÷ 1000 ＝ 179.64，精确到两位小数
   3. 对角线种数：⌊1000 ÷ 2⌋ − 1 ＝ 500 − 1 ＝ 499
   4. 边心距：6 ÷ (2 × tan 0.18°) ＝ 954.92652…，舍入得 954.9265
   5. 面积：3.1415712… × 36 ＝ 2864779.5509…，舍入得 2864779.5509

   边数的上限，也是这一页为什么停在 1000 的答案。同周长的正圆面积是 2864788.9757，而这一行是 2864779.5509，差 9.42，也就是 0.0003%。换句话说，一千条边的正多边形与一个圆在尺子下已经无法区分，再往上加边只买得到万分之几的零头，而这一页的读数宽度只有四位小数，那些零头根本印不出来。内角 179.64 度同理：它离 180 度只差 0.36 度，肉眼与量角器都测不出这一点。对角线种数 499 是表上最大的一个：一千是偶数，⌊1000÷2⌋ 正好是 500，减掉边那一种就是 499。

5. 六条边、边长 0

   1. 周长：6 × 0 ＝ 0
   2. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 ＝ 120
   3. 对角线种数：⌊6 ÷ 2⌋ − 1 ＝ 2
   4. 边心距：0 ÷ (2 × tan 30°) ＝ 0
   5. 面积：2.5980762… × 0 ＝ 0

   0 是合法输入，不是空着没填，而这一行把「形状的事」与「大小的事」分得最干净：六边形塌成了一个点，面积、周长、边心距全是 0，而内角仍然是 120 度、对角线仍然有 2 种长度。后两个只认边数，所以大小整个消失之后它们还留着。空着不填是另一回事：框里什么都没有时页面什么结果都不显示，因为没有东西可算。另外注意边数不能填 0 或 1 或 2——本页从三边形起，因为两条直线围不成图形，那会报错而不是给 0。

本页只做正多边形：各边等长、各角相等。不规则的多边形——被拉长的六边形、房子形状的五边形、随便画的一个四边形——没有单一的边长，一个数描述不了它，本页会不声不响地按这个边数的正图形给出结果，而不会提示你心里的那个形状其实是另一个。边长一律按厘米收、结果一律是厘米与平方厘米，与单位下拉框选什么无关，所以按英寸填进去的边长拿回来的是厘米的答案，得自己换算。边数必须是 3 到 1000 之间的整数：2 会报错（围不成图形），1000 以上也会报错，而那是这一页有意设的上限——超过它，这个图形与圆已经无法区分，多印几位只是把 3.14159 印得更长。四位小数是显示宽度而不是精度声明，对量出来的边长来说它是偏宽的。内角与对角线种数在表上有两列、在结果面板里也有两行，而它们不随边长变化——一个看起来不动的读数不是页面卡住了。表上还有一处宽度差异要注意：内角在参考表里按数字本身印（60、90、108、120），在结果面板里印成 60.00、90.00，同一个量在同一个页面上有两种宽度，不是一个量两个答案。本页是二维的，没有材料厚度这一栏，所以给不出正棱柱的体积或正多边形板的重量。它也不给外接圆半径、不给对角线各自的长度、不给内切圆半径（那是边心距，有），因为那些要么能从这五个读数推出来，要么需要另加一栏输入。

为什么我只改了边长，内角一动不动？

因为正多边形的内角只由边数决定，别的什么都不参与。内角等于「边数减二，乘 180 度，再除以边数」，这个式子里根本没有边长。边长 1 和边长 1000 的六边形角度都是 120 度，只差大小。正因为如此，斜切锯调一次 120 度就能切完一批不同尺寸的六边形画框；参考表里内角那一列只随边数变、不随边长变，也不是复制粘贴留下的错。

为什么最后一列一千条边是 499 而不是 500，或者 1000？

那一列数的是对角线有几种长度，不是有几条对角线。把连接两个顶点的弦按跨过几个顶点分类共 ⌊n÷2⌋ 种，而其中一种是边本身——跨一个顶点的那一种就是相邻的两个顶点连起来的边，要从对角线里减掉，所以算式是 ⌊n÷2⌋ − 1。一千条边算出来是 500 − 1 ＝ 499。三角形是 0，因为它一条对角线都没有；四边形是 1，就是两条对角线且等长。

同样一条边，边数越多面积越大吗？有没有上限？

越多越大，而「有没有上限」要看你固定的是哪一个量。边长固定时没有上限——三角形 15.5885、五边形 61.9372、六边形 93.5307、八边形 173.8234、二十边形 1136.4753、一千边形 2864779.5509，这一串一直涨上去。周长固定时才有上限，就是同周长的正圆：周长都是 6000 时一千边形是 2864779.5509、正圆是 2864788.9757，只差 0.0003%。另一条分界线是两个比值：面积除以边长的平方没有上限（正方形 1、六边形 2.5981、二十边形 31.5688、一千边形 79577.2097），而面积除以「中心到顶点距离」的平方从正方形的 2 涨到一千边形的 3.1416，逼近的正是圆周率。蜂巢与瓷砖停在六边形附近，是因为六边形是能单独铺满平面的最大正多边形，不是因为面积涨不动了。

边心距是什么，这一页拿它做什么？

它是中心笔直量到一条边中点的距离，也是能塞进这个图形里的最大那个圆的半径。它是放线要用的那个数：两倍之后就是对边之间的宽度，而平的边好架尺、角不好架。要在一张板上画一个正 n 边形，从中心朝 n 个方向各量一个边心距出去，n 条边的中点就都定位了。它同时也是「这个形状有多接近圆」的一个读数——一千条边时边心距 954.9265 与外接圆半径已经几乎相等。

正多边形能铺满地面吗？

只有三种可以：正三角形、正方形、正六边形。判据是内角能不能整除 360 度——60、90、120 都能，而五边形的 108 度不能（三个是 324 度，缺的 36 度永远补不上）。所以蜂巢是六边形、地砖多是正方形，而五边形铺装需要第二种形状来填空。边数越多越铺不满：内角越大，能围着一点的块数越少，一千边形的 179.64 度连两块都放不下。

为什么边数最多只能填到 1000？

因为再往上这个图形的读数已经没有信息了。一千条边、周长 6000 的正多边形面积是 2864779.5509，同周长的正圆是 2864788.9757，差 0.0003%——本页的读数只有四位小数，那点差别根本印不出来。内角 179.64 度离 180 度只差 0.36 度，量角器也测不出。上限设在这里是让「边数」这个输入停止有意义的那个点，而不是一个随便挑的整数。

• Regular polygon（正多边形）——各边等长、各角相等的多边形，含本页用到的面积、周长、边心距、内角公式与它们如何随边数逼近圆 — Wolfram MathWorld（美国）
• Apothem（边心距）——正多边形中心到一条边中点的距离，它是内切圆的半径，翻倍之后是这个形状对边之间的宽度，也是本页放线要用的那个数 — Wolfram MathWorld（美国）
• Polygon（多边形）——本页所处理的一般图形，含弦如何按跨越的顶点数分类，那正是「对角线种数」这一列的来源 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；正多边形的边、内角、周长与面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部