圆形计算器
结果
半径
- 直径
- 10.0000 cm
- 周长
- 31.4159 cm
- 面积
- 78.5398 cm²
圆形计算器拿你手上恰好知道的那一个量，算出另外三个。半径、直径、周长、面积本来就是同一个圆的四种说法，所以其中任意一项都能把其余三项定下来：在半径那一格填 5，页面还给你直径 10、周长 31.4159、面积 78.5398。背后的算术就是两条公式和它们的逆运算——周长等于 π 乘直径，面积等于 π 乘半径的平方，而除以 2、除以 2π、除以 π 再开方，就是从那三项里任意一项回到半径的路。这也正是本页为什么让你「任填一项」而不是强制填半径：半径不总是你手上有的那个数。画在图纸上的圆常常是以面积、或者以一圈围栏的长度交到你手上的，一个非要你先自己把除法做一遍才肯帮忙的页面，等于把最枯燥的那一步留给了用户。所以四个格子都是可选的，任意一个都能用。填两个会被拒绝而不是被忽略，因为那四项里没有任何两个是独立的：半径 5 与直径 12 背后不存在同一个圆，页面宁可把矛盾说出来，也不肯悄悄挑一个把矛盾盖过去。答案上有两件事值得先知道。结果一律是厘米与平方厘米，不管你旁边那个输入单位下拉框留在哪一档。这是有意的选择而不是疏漏：四项输出是一组固定的读数、对所有人用同一种方式算出，下面的参考表也按同一个单位算，页面因此不会与自己打架；把输入改成英寸，改的只是「你的数怎么读进去」，不改「答案怎么写出来」。你要是按英寸量的，答出来的仍然是厘米，得自己换算回去。还有一件：四个印出来的数是各自由你填进去的那个数推的，不是互相推的。周长 20 给出半径 3.1831，而那个圆的真实面积是 31.8310；把印出来的半径 3.1831 自乘再乘 π，得到的是 31.8309——因为 3.1831 已经是一个永远写不完的数舍过的版本。印出来的面积才是对的，它出自那个没有舍过的半径，而那个差是「把一个无理数写下来」这件事本身的性质。
从四种起点各自得到的圆
| 已知 | 半径（厘米） | 直径（厘米） | 周长（厘米） | 面积（平方厘米） |
|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 78.5398 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 113.0973 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 31.831 |
| A | 5.6419 | 11.2838 | 35.4491 | 100 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 3.1416 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 0.7854 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 564.1896 | 1128.3792 | 3544.9077 | 1000000 |
八个圆，第一列说明每一行是从四项里的哪一个出发的——r 是半径、d 是直径、C 是周长、A 是面积。之所以要单列这一列，是因为每一行都把四个数全印出来：圆一旦解出来就什么都不缺了，没有第一列的话，你分不清四个数里哪一个才是当初给进去的那个。前四行按顺序走完四种起点，第一行就是表单加载时的默认值。第三行最值得细看，它从周长出发，也展示了那些数为什么不总能互相复原：面积 31.831 就是一百除以 π，而把印出来的半径自乘会得到 31.8309。第四行从面积一百出发，得出半径 5.6419，也就是人们会漏掉的那个开方——直接把一百除以 π 会得到 31.831。第五行与第六行分别是单位圆与它的一半，这两行之间有一处值得多看一眼的地方：半径一的圆面积是 3.1416，而这正好是它下一行那个半径零点五的圆的周长——同样四位数字，在一行里是面积、在另一行里是长度，这是整张表里对「列标题与数字一样是答案的一部分」最锋利的一次提醒。第七行是半径为零的圆，每一列都是零，而那是真答案不是空的。第八行从一百万平方厘米出发，得到半径 564.1896 厘米，五米半多一点——面积那一格就是为这种输入留的宽度。另外注意第一列并不是平均分配的：八行里有四行从半径出发，因为半径是其余三项的定义基准，而直径与周长各只出现一次。这里每一个数都在构建时从它那一行的起点现算，单位一律是厘米。
公式
d ＝ 2r C ＝ 2πr ＝ πd A ＝ πr² 反过来：r ＝ d ÷ 2 ＝ C ÷ 2π ＝ √(A ÷ π)
- 半径
- 圆心到圆边的距离，按厘米读。0 是允许的，它描述一个没有大小的圆，四个读数一起变成 0；负值会被拒
- 直径
- 穿过圆心横跨过去的距离，是半径的两倍。填这一格而不填半径，答案不会有任何不同，因为页面第一件事就是把它除以 2
- 周长
- 绕一圈的长度，等于 π 乘直径。它是四项里唯一需要除以 2π 才能回到半径的，所以它也是「印出来的四位数字有时候不够你手动复原其余三个」的来源
- 面积
- 圆内部的大小，等于 π 乘半径的平方，读作平方厘米。反方向要先除以 π 再开方，这正是面积那一格的上限比另外三个长度格宽得多的原因
- 圆周率 π
- 圆的周长与直径之比，约等于 3.14159。页面用的是双精度浮点里的完整值，不是截到三位的 3.14，所以手算时用 3.14 会与印出来的答案在末位差开
- 四位小数
- 每个读数的显示宽度。半径与直径常常是精确值、印出来带尾零；周长与面积则几乎总是无理数，对这两个来说四位是把答案切断的地方，而不是它结束的地方
这一页有用，恰恰因为一个圆很少以半径的形式交到你手上。圆桌按直径卖，圆形花坛外的围栏按米卖、那是周长，一桶涂料标着能刷多少平方米而你正要刷的那块是个圆，自行车轮则按轮胎尺寸报——这几种各自带来四项里的不同一项，而它们都能直接填进对应的格子。反方向才是手算最容易出错的地方。已知面积时，半径不是面积除以 π，而是那个商再开方；漏掉开方会得出一个数量级完全不对的半径，对一个中等大小的花园来说那不是小误差。已知周长时，半径是周长除以 2π，而把 π 取成 3.14 就足以让印出来的最后一位动起来。页面这两种都算对，所以它也是核对手算的一个合理去处。有一个习惯值得从这一页带出去：答案大致应该是周长的三分之一、面积开方之后的六分之一，所以要是直径算出来比周长还大，那是输的那个数填错格子了。
算例
半径为五
- 直径：5 × 2 ＝ 10
- 周长：2 × π × 5 ＝ 31.415926…，舍到四位是 31.4159
- 面积：π × 5 × 5 ＝ 78.539816…，舍到四位是 78.5398
- 半径原样返回，因为它就是你填进去的那一项
表单的默认值，也是最好核对的一组：半径五的圆直径是十，面积略大于一百的四分之三——这个量级是对的，因为 π 比三大一点、而五的平方是二十五。半径印成 5.0000 而不是 5，那是显示宽度而不是精度声明，它就是精确的五。
直径为十二
- 半径：12 ÷ 2 ＝ 6
- 周长：π × 12 ＝ 37.699111…，舍到四位是 37.6991
- 面积：π × 6 × 6 ＝ 113.097335…，舍到四位是 113.0973
- 直径原样返回
同一个形状，从另一头进去，也顺便说明四个输出里哪两个精确、哪两个不精确：偶数除以二不引入任何误差，而乘 π 一定引入。面积略大于 113 是个合理的核对——六的平方是三十六，三十六乘 π 比一百一十三多一点。
周长为二十
- 半径：20 ÷ (2 × π) ＝ 3.1830988…，舍到四位是 3.1831
- 直径：那个半径乘 2 得 6.3661977…，舍到四位是 6.3662
- 面积：π 乘没有舍过的半径的平方，也就是 100 ÷ π ＝ 31.830988…，舍到四位是 31.8310
- 周长原样返回
这一档说明四个印出来的数为什么不总是逐位互相复原。面积正好是一百除以 π，而它是从没有舍过的半径算的，不是从屏幕上那个 3.1831 算的；把印出来的半径自乘再乘 π，得到的是 31.8309。印出来的那个才是对的。反过来读也一样好记：周长二十的圆，面积是一百的三分之一左右，这正是「31.83 落在正确区间里」最快的那句心算。
面积是一百平方厘米
- 半径：√(100 ÷ π) ＝ 5.6418958…，舍到四位是 5.6419
- 直径：那个半径乘 2 得 11.2837916…，舍到四位是 11.2838
- 周长：2 × π × 没有舍过的半径 ＝ 35.449077…，舍到四位是 35.4491
- 面积原样返回
这就是在纸上最容易做错的那个方向：半径是面积除以 π 之后再开方，不是面积除以 π——后者会给出 31.831。一百平方厘米是一个横跨约十一厘米的形状，这是一句很有用的常识核对：半径 31.8 的圆面积会是三千，不是一百。那个 31.831 正是上一档从周长二十算出来的面积，而在这里它是「算错时会得到的数」——两组输入之间的巧合，不值得读出别的意思。
半径为零
- 直径：0 × 2 ＝ 0
- 周长：2 × π × 0 ＝ 0
- 面积：π × 0 × 0 ＝ 0
- 四个读数全是 0，那是一个没有大小的圆的正确读法
0 在这一页是合法输入，不是空格子。半径为零的圆就是一个点，四个读数一起是 0，所以一整排零是真答案。页面把它与「四个格子全空」区分开：后者会被拒绝并提示你填一格——一个是塌缩成点的形状，一个是还没填的表单，两者不是一回事。
局限
四个输出恒为厘米与平方厘米，不管输入下拉框设在哪一档。选英寸只改变你的数读进来的方式，不改变答案写出去的方式，所以按十英寸填进去的圆，回来的是半径 25.4 厘米。这是有意的选择，参考表也遵循同一条规则，页面因此不会自相矛盾——但你要是想在原来那个单位上读答案，换算得自己做。四个印出来的数各自由你填进去的那个值推出，而不是互相推出，所以它们不总是逐位复原：把印出来的半径乘 π，可能与印出来的周长在第四位小数上差一，而以印出来的那一个为准。周长与面积几乎总是无理数，四位小数是切断而不是完整的答案，而舍入两次——读一个印出来的值、再拿它接着算——正是那个差出现的根源。半径与直径在输入精确时就精确，但当它们来自面积或周长时也一样被舍过。四个格子最多填一个：两个以上会被拒绝，因为那四项互不独立，一对互相矛盾的值描述不了任何圆。页面不接受任何一格的负值，也不会告诉你「已知面积求半径时开方比除法快」——那是你自己该记住的一步。
常见问题
- 四个格子该填哪个？
- 只填一个，哪个是你手上有的就填哪个。四个都是可选的，任意一个都能用：页面拿你给的那个值先算出半径，再从半径推出其余三项。填两个会被拒绝而不是被折中处理，因为那四项互不独立——半径 5 与直径 12 不可能属于同一个圆，页面宁可把这件事说出来，也不肯悄悄挑一个用。
- 我填的是英寸，答案为什么是厘米？
- 因为四项输出是一组固定的、以厘米与平方厘米为单位的读数，这样结果面板与下面的参考表永远一致。下拉框改的是你的数读进来的方式，不是答案写出去的方式，所以按十英寸填的半径回来是 25.4 厘米。要英寸的话，长度那几个除以 2.54、面积那一个除以 6.4516。
- 为什么面积与我看到的半径对不上？
- 因为印出来的半径已经舍过了，而面积不是从它算的。页面用完整精度的半径算出面积，只在最后才舍显示值，所以周长二十时面积是 31.8310，而把印出来的半径 3.1831 自乘再乘 π 得到 31.8309。印出来的面积才是对的。反过来也一样：只要你把屏幕上的数抄下来再拿去算，就会遇到同一件事。
- 圆的周长和面积能互相换算吗？
- 能，但中间一定要经过半径。已知周长求面积，先把周长除以 2π 得到半径，再乘 π 乘半径的平方；已知圆的面积公式 A ＝ πr² 求周长，先除以 π 再开方得到半径，再乘 2π。两段路都不难，容易漏的是其中那个开方——从面积出发而不开方，得到的数会大出一个数量级。本页把四格并列，正是为了让你少走这段来回。
- 圆周率用 3.14 吗？
- 不用。页面用的是双精度浮点里能表示的完整值，大约十五位有效数字，只有显示出来的结果才被舍。这在第四位小数上看得出来：用 3.14 手算出来的周长，通常与印出来的答案在末一两位上不同，而那个差来自被截短的常数，不是计算出错。做心算时用 3.14 完全够，多数人本来也该这么用。
- 半径可以是 0 吗？
- 可以，四个读数一起回来都是 0，那是对一个没有大小的圆最诚实的描述。0 在这里被当作真实输入而不是空格子，所以面板上一排零不是「没填上」的意思。与它相对的是整个表单都空着：四个格子一个值都没有时，页面会提示你填一个，因为那时确实无从下手。
参考资料
- Circle（圆）——到圆心距离相等的点的集合，以及半径、直径、周长与面积之间的关系；本页两个方向都做 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circumference（周长）——绕圆一周的长度，等于 π 乘直径；周长那一格反的就是这个关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- Pi（圆周率）——圆的周长与直径之比，也是让周长与面积这两个输出对几乎每一个输入都成为无理数的那个常数 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆的周长与面积、圆周率是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部