圆面积计算器

面积 ＝ πr²

π

每个圆都一样的那个常数，约 3.14159。它是圆周长与直径的比，这既是它的来历，也是它为什么会同时出现在长度公式和这一条里

r

半径，单位是厘米——直径的一半，或者周长除以 2π，取决于你填的是哪个框

r²

半径乘以它自己，不是乘以二。半径翻倍，面积变成四倍——这是这条公式最有用的一条性质，也是参考表要用一对行把它摆出来的原因

面积

这个圆面围住多大一块平面，单位是平方厘米，与输入用的是哪个单位无关

周长 ÷ 2π

由沿边缘量出来的那个数反推半径的办法。结果是一个写不完的数，所以它会一直保持未舍入的状态，直到平方做完

直径 ÷ 2

另一条进来的路，也是更好走的一条：直径只要是你量出来的数，半径就正好是它的一半

四位小数

答案印出来的宽度。圆的面积几乎永远不是写不完的数，所以这四位小数是显示宽度，不是「这个数精确」的声明

凡是圆的、表面要被盖住、涂上、裁出来或报价的东西，都是这一页。刷漆与涂层是最直白的一种：圆桌面、罐子的顶盖、圆形的招牌、要喷一块的圆铁片，报价都按单位面积走，而面积就是这条公式。从板材上裁下来是第二种：钢板冲出来的圆片、一块圆玻璃、一个垫片、一块圆桌布——这时的面积告诉你每一件吃掉多少料，而价钱取决于这个数。园林与建筑用它算圆形花坛、圆形铺装、圆形草坪、柱子的截面，以及圆形水池的水面。工程上它是管道、轴或电缆的横截面积，流量与载流量都是按它折算的——直径翻倍的管子过流面积是四倍，这个四倍两头都会让人栽跟头。在物理与日常算术里，它就是把压强换成力、把强度换成总量、把一场雨的读数换成一堆水的那块面积。最后还有课堂上的用法，而它正是让这条公式留下来的那一种：在方格纸上画一个圆，数一数里面完整的格子有多少，再与 πr² 比一比。数出来的会偏小一点，因为边上那些格子有一部分落在圆外——而那点差距，是大多数人第一次真正碰上「公式里那个无理常数到底意味着什么」。

1. 半径 5

   1. 半径平方：5 × 5 ＝ 25
   2. 乘以 π：25 × 3.14159 ＝ 78.5398

   页面打开时就是这一组，也是把这一页与总览页拴在一起的那一行：半径 5 的圆在那一页上的面积同样是 78.5398。中间没有发生过舍入，这正是两页能对到最后一位的原因——如果面积是由一个已经舍过的半径推出来的，就对不上了。

2. 直径 12

   1. 直径折半得到半径：12 ÷ 2 ＝ 6
   2. 平方：6 × 6 ＝ 36
   3. 乘以 π：36 × 3.14159 ＝ 113.0973

   人们最常走的一条路，因为一件圆形的东西横着量比从圆心量到边上容易得多。这一页不把你填的那个数印回来，所以想确认 12 被读成了 6，可以去看参考表的半径那一列——6 不在表里，但半径 3 那一行的直径是 6、半径 10 那一行的直径是 20，足够看出页面用的是哪种关系。

3. 周长 20

   1. 反推半径：20 ÷（2 × π）＝ 3.1830988…
   2. 平方：3.1830988 × 3.1830988 ＝ 10.1318311…
   3. 乘以 π：10.1318311 × 3.14159 ＝ 31.8310

   说明这一页为什么绝不在中间舍入的那一行。这里的半径写不完——它是 10/π——所以它一直保持未舍入的状态穿过平方那一步，只有答案被舍。换个做法试试：从表上把半径读成 3.1831，平方、乘 π，得到的是 31.8309。差最后一位，而两种做法都算不上错：其中一个在结束之前先舍了一次。

4. 半径 10

   1. 半径平方：10 × 10 ＝ 100
   2. 乘以 π：100 × 3.14159 ＝ 314.1593

   正好是半径 5 那个圆面积的四倍，也是看出「半径翻倍、面积四倍」最干净的一处。半径涨了两倍，答案涨了四倍，因为半径是平方的。让直径翻倍的管子过流面积是四倍，靠的是同一条关系。

5. 半径 0

   1. 半径平方：0 × 0 ＝ 0
   2. 乘以 π：0 × 3.14159 ＝ 0

   一个没有大小的圆什么都没有围住，答案是零，而且是对的，不是缺答案。三个框里任何一个填 0 都是合法的——「量出来是 0」与「根本没有量」是两回事，而后者（框空着）才是页面认为「没有东西可算」的那一种。

这一页只给面积，别的不给：不出周长、不出直径、不出半径。已知面积而想要另外几个，在另一页。答案永远是平方厘米，与每个框选的是哪个单位无关——换算发生在进去的那一步，所以按英寸填的半径算回来是平方厘米，要读成平方英寸得除以 6.4516。把面积除以 2.54 而不是除以它的平方，是要提防的那个错。面积是由未舍入的半径推出来的，所以如果你从周长出发、又拿一个舍过的半径去手算核对，你的数会在最后一位上与页面不同；错的不是页面这一边。四位小数是显示宽度，不是「面积是精确的」这句话——圆的面积几乎永远写不完，78.5398 是 78.53981633… 舍过的结果。半径为 0 是接受的，面积是 0，这是对的。这一页只收三个测量值里的一个：给两个它会拒绝，因为两个不一致的数描述不出一个圆。这里不处理椭圆、弓形、扇形，也不处理球面——每一个都是另一种图形、另一条公式；其中椭圆尤其容易被人当成「压扁的圆、面积随手就能算」，而它不是。

为什么三个框只能填一个？

因为三者描述的是同一个圆，任意两个都是多余的，而任意两个对不上就是矛盾。半径 5 与直径 12 不可能同时属于同一个圆。页面会拒绝填两个，而不是悄悄挑一个用，因为这几个框的意义就在于让你填手上真正量到的那个数。

我填的是英寸，为什么答案是平方厘米？

因为单位换算发生在进去的那一步，不是出来的那一步。你的英寸先被换成厘米，面积算出来，答案就是平方厘米——它不是平方英寸的数。要读成平方英寸，除以 6.4516，也就是 2.54 的平方。面积按长度换算系数的平方换算，除以 2.54 是那个要避开的错。

我自己手算核对，为什么得到的数差一点？

差在舍入发生在哪一步。页面把半径保持未舍入直到最后，而你如果从周长出发，那个半径本来就是一个写不完的数。把它从表上读出来、平方、相乘，就是在中间舍了一次。周长 20 时这一点值 0.0001，而这一页是与它自己一致的那一边。

为什么半径翻倍，面积变成四倍？

因为半径是平方的，不是乘以二。半径翻倍意味着构成那个平方的两个方向各翻一倍，所以面积涨了两倍再两倍。这条值得记住：让直径翻倍的管子过流面积是四倍，靠的是同一条关系，而它两头都会让人栽跟头。

页面会把我填的直径读成多少显示出来吗？

不直接显示——结果面板只给面积，不回显你填进去的那个数。参考表正是为这件事准备的：每一行都把一个半径与它的直径、面积并排放在一起，可以找一行接近你那个数的，看页面用的是哪种倍数关系。直径 12 对应半径 6，也就是表上半径 3 那一行把直径翻倍的情形。

能在这里由面积反求半径吗？

这一页不能。方向是有意反过来的：这一页收长度、给面积，而反回去那一步要开平方。另有一页把四件事一起做了——给它四个量里的任意一个，它回给你其余全部——如果你手上起点是面积，用那一页。

• Circle——那条曲线，以及它的半径、直径、周长，还有给出它所围区域面积的 πr² — Wolfram MathWorld（美国）
• Disk——本页算的是它围出来那块平面区域的面积，与围着它的那个圆是两回事；这也是答案为什么是平方单位的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• Area——面积是什么、怎么定义的，包含「平方单位之间的换算要用长度换算系数的平方」这一条 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆的面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部