圆周长计算器
结果
周长
圆周长计算器要的是你手边有的那一个宽度——从圆心量到边上的半径，或者横着穿过去量到的直径——回给你绕这个圆一圈有多长，单位是厘米。公式是 2πr，半径的两倍再乘上圆周率，它是所有圆公式里最老的一个：希腊人用不断加倍边的多边形逼近的就是它，圆周率这个名字也是从它来的，因为圆周率本来就定义成任意一个圆的周长除以它的直径。这条定义值得记住，因为它正是反方向好走的原因。直径乘圆周率就是绕一圈的长度，周长除以圆周率就把直径拿回来了。这一页自己的算路是有意绕远的：先把直径折成半径，再在公式里翻一倍，理由是同一个式子的两种写法交给机器算，最后一位不保证一样。这一页走的是与姊妹页一致的那条路，所以直径 12 的圆在这里读 37.6991，在总览页上也读 37.6991。两个框只填一个。半径与直径不是对同一个圆的两次独立测量，它们是同一个测量的两种写法，所以两个都填不是更准——是自相矛盾。半径 5 与直径 12 背后没有同一个圆，页面会把这件事说出来，而不是悄悄偏向其中一个。你真正量到的是哪一个就填哪一个，另一个留空；填错了就把错的清掉，不要在另一个框里补上一个数。单位是最容易咬人的地方。两个框都收厘米、米、毫米、英寸或英尺，而答案永远是厘米，因为换算发生在进去的那一步，不是出来的那一步。按英寸填半径、指望读回英寸，拿到的数会大约大两倍半。这一页没有任何平方，所以换算就是除以 2.54 一次——但这条只对这一页成立，而「凡长度就除以 2.54」这个习惯，一到面积上就会给出错的答案。最后还有一件事，在你动手核对之前值得知道。答案是由未舍入的半径推出来、只在最后舍一次；起点是直径时这一条还看不太出来，因为半径就是一个写得完的数。人与页面开始分岔的地方，是那个半径写不完的时候，而那正是你手上起点是周长本身的情形。
由半径求圆的周长，并把直径并排放在一起
| 半径（厘米） | 直径（厘米） | 周长（厘米） |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 6.2832 |
| 2 | 4 | 12.5664 |
| 3 | 6 | 18.8496 |
| 5 | 10 | 31.4159 |
| 10 | 20 | 62.8319 |
| 20 | 40 | 125.6637 |
| 0.5 | 1 | 3.1416 |
| 0 | 0 | 0 |
八个圆、三列，最后一列是答案，前两列负责解释它。直径这一列在这儿，是因为结果面板不回显你填的那个数：填的是直径时，想知道它被读成多少，唯一的去处就是这里。第一行是单位圆，它的周长在数值上就是 2π，这件事本身值得知道，也是记住半径是 1 时这条公式在做什么最快的办法。第一行与第二行是那对说明缩放规律的行：半径从 1 变成 2，周长从 6.2832 变成 12.5664，正好一倍，因为周长是长度、不是面积。第四行是页面打开时的那一组，31.4159，也是总览页对同一个圆印的那个数。第七行是半厘米的半径，周长取四位就是 π；最后一行半径为零，圆已经缩成一个点，答案是真正的零，不是缺答案。
公式
周长 ＝ 2πr
- π
- 每个圆都一样的那个常数，约 3.14159。它定义成圆的周长除以直径，这既是它的来历，也是为什么反过去要用除法
- r
- 半径，单位是厘米——从圆心量到边上的距离，或者你量的是直径时它的一半
- 2πr
- 公式本身：半径先翻一倍，再乘以 π。先翻倍与「从直径出发直接乘一次 π」在算术上是同一件事，而这一页写成前一种，是为了让两个框算出同一个末位
- 周长
- 绕这个圆一圈有多长，单位是厘米，与输入框选的是哪个单位无关
- 直径 ÷ 2
- 从另一个框进来的那条路。只要直径是你量出来的数，折半就是精确的，这也是这一页与从半径出发那一页能给出同一个答案的原因
- 半径的两倍
- 半径翻倍时这里会怎样：周长也跟着翻倍。同一个圆的面积不是这样，它会变成四倍；在圆形上出错，多半就是把这两条习惯用混了
- 四位小数
- 答案印出来的宽度。周长几乎永远不是写不完的数，除非半径是特意挑来让它写完的；半径 5 的圆周长是 31.41592…，页面印 31.4159
凡是需要绕着另一个东西走一圈的，都是这一页。围栏、镶边与包边是最直白的一种：圆形畜栏要多少米围栏、圆形草坪要多少米收边、圆桌面与圆镜子的边缘包条，报价都按长度走，而长度就是这条公式。皮带、箍与圈是第二种：两个同样大的皮带轮上的一条传动带、木桶上的一道铁箍、一个密封圈、一圈圆形密封条、罐盖上的固定带——每一件都按周长裁，而材料内侧与外侧的差别是另一笔余量，这一页不管。第三种最不显眼：滚动。轮子转一整圈走过的距离就是它的周长，所以自行车、汽车或测距轮走过多远，等于周长乘以转过的圈数，机械里程表就是这么工作的。园林与建筑用它算圆形路缘、圆形水池的压顶、圆形车道要多少米排水沟，以及一圈围墙的长度。工程上它是单个皮带轮上那条皮带的长度、管道外要缠一圈保温或胶带时要盖住的长度，以及任何滚筒转一圈的行程。课堂上它是学生第一次碰上「无理常数也可以很有用」的地方：拿一根线绕罐头一圈，拉直了对着尺子量，再除以直径，每次都会得到比三大一点点的数——圆周率值得被写下来，理由就在这儿。日常算术里它是一圈丝带绕罐子要多少、一圈滚边包坐垫要多少，以及一块圆桌布垂下来够不够长。
算例
半径 5
- 半径翻倍：2 × 5 ＝ 10
- 乘以 π：10 × 3.14159 ＝ 31.4159
页面打开时就是这一组，也是把这一页拴到另外两页上的那个数：半径 5 的圆在这里量得 31.4159，在总览页上一样，在椭圆那一页把长短轴都填 10 时也一样。三处能对到最后一位，是因为三处都没有在相乘之前先把半径舍掉。
直径 12
- 直径折半得到半径：12 ÷ 2 ＝ 6
- 在公式里再翻一倍：2 × 6 ＝ 12
- 乘以 π：12 × 3.14159 ＝ 37.6991
人们最常走的一条路，因为横着量一件圆形的东西比找圆心容易得多。折半与翻倍正好抵消，所以答案与总览页对直径 12 印的那个数逐位相同——绕经半径这一步没有代价，它正是两页能对上的原因。
半径 10
- 半径翻倍：2 × 10 ＝ 20
- 乘以 π：20 × 3.14159 ＝ 62.8319
正好是半径 5 那个圆周长的两倍，也是看出「圆的周长随半径走、不随半径的平方走」最干净的一处。拿它对比面积那一页：同样把 5 改成 10，那边答案变成四倍。两页、改一个数、两个不同的倍数——分得清这两个倍数，圆形这件事就基本清楚了。
半径半厘米
- 半径翻倍：2 × 0.5 ＝ 1
- 乘以 π：1 × 3.14159 ＝ 3.1416
半径是一半的圆，周长在数值上就是 π，这件事本身挺好看，也是记住 r 等于二分之一时这条公式在做什么的捷径。这么小的圆正是四位小数不再宽裕的地方：这个尺寸上读数就是圆周率取四位，再往下写一位，也只是没人能量到那个精度的噪音。
半径 0
- 半径翻倍：2 × 0 ＝ 0
- 乘以 π：0 × 3.14159 ＝ 0
一个没有大小的圆没有东西可绕，答案是零，而且是对的，不是缺答案。两个框里填 0 都是合法的——「量出来是 0」与「根本没有量」是两回事，而框空着才是页面认为「没有东西可算」的那一种。
局限
这一页只给周长，别的不给：不出半径、不出直径、不出面积。手上起点是周长而想要另外几个，在另一页。答案永远是厘米，与每个框选的是哪个单位无关——换算发生在进去的那一步，所以按英寸填的半径算回来是厘米，要读成英寸得除以 2.54；而这个一次除法只对这一页成立，面积与体积的换法是另一回事。答案由未舍入的半径推出来、只在最后舍一次，所以先舍半径再手算的人会在最后一位与页面不同；错的不是页面这一边。四位小数是显示宽度，不是「周长是精确的」这句话——圆的周长通常是写不完的数，31.4159 是 31.41592… 舍过的结果。两个框只准填一个：填两个，哪怕两个数彼此自洽，页面也会拒绝，因为两个框就是两次测量，页面无从知道你指的是哪一个。周长为 0 是接受的，答案就是 0。这里不处理椭圆、弓形、扇形，也不处理螺线——其中椭圆尤其要提一句：它的周长根本没有初等公式，凡是给出一个数的页面给出的都是近似值，而它应该把这件事说出来。
常见问题
- 为什么两个框只能填一个？
- 因为半径与直径是同一个测量的两种写法，两个数要么是多余的，要么是矛盾的。半径 5 与直径 12 不可能同时属于同一个圆。页面会拒绝填两个，而不是挑一个用，因为摆两个框的意义就在于让你填手上真正量到的那个数。
- 我只能横着量过去，那该填哪个框？
- 填直径，而且这是更常走的一条路——拿卷尺横过罐头、桌面或管子，比先找圆心再往外量容易得多。页面会先把它折成半径、再在公式里翻回去，听着像绕路，其实不是：正是这一步让这里印的数与总览页对同一个圆印的数逐位相同。
- 我填的是英寸，为什么答案是厘米？
- 因为单位换算发生在进去的那一步，不是出来的那一步。你的英寸先被换成厘米，周长算出来，答案就是厘米。要读成英寸，除以 2.54。这一次除法在这一页是对的，因为周长是长度；同样的除数放到面积上就是错的，那里要除以长度换算系数的平方。
- 半径 1 的圆，周长为什么不是正好 6.2832？
- 因为它正好是 2π，而 2π 是写不完的小数——6.283185…页面印四位，所以你看到的是 6.2832 舍过的结果。四位是显示宽度，不是「这个数到这儿就完了」的声明；除了零和少数几个特意挑的值，没有哪个半径能给出写得完的周长。
- 半径翻倍，周长也翻倍吗？
- 翻倍，而这正是从面积公式带过来的直觉会出错的一处。周长是长度，所以它随半径成正比地长；同一个圆的面积随半径的平方长，翻倍之后变成四倍。参考表头两行就是为这件事摆的：半径从 1 到 2，周长从 6.2832 到 12.5664。
- 能在这里由周长反求半径或直径吗？
- 这一页不能——它收半径或直径、给周长，只有一个方向。反过去要除以 π，而把两个方向都做出来、同时印出直径与周长的那一页是「圆周长转直径」。总览页也可以，给它四个量里的任意一个，它回给你全部四个。
参考资料
- Circumference——绕圆一圈有多长、给出它的 2πr，以及它与直径、与 π 的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circle——那条曲线本身，以及它的半径、直径、周长，和「π 是周长与直径之比」这条定义 — Wolfram MathWorld（美国）
- Pi——这条公式要乘的那个常数，包含它为什么是无理数、以及周长为什么几乎永远写不完 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆的周长与圆周率是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部