弧长计算器
结果
弧长
弧长计算器要两样东西——半径与圆心角——回给你的是圆上那一段有多长，单位是厘米。圆弧就是圆上两点之间那段弯曲的部分，而给它命名的那只角，是圆心处两条半径之间张开的那只。算术部分只是一个比例，没有别的：整个圆是 360°，整圈周长是 2πr，所以圆心角为 θ 度的那段弧，就是它的 θ/360。角占这个圆的几分之几，弧就占圆周长的几分之几。这件事值得单独开一页而不是丢给整圆计算器，是因为现实中转角的地方大多不是整个圆。路的弯道是一段弧，门把手的轨迹是，雨刷扫过的那一片是，弧形的台面、拱门、表盘上那圈卷起来的刻度带都是。这些场合问的都是弯曲那一部分的长度，因为它才是要裁的、要报价的、要铺的、要开过去的那一段。这门科目里有一个坑，而且是单位上的坑：这条公式的紧凑写法是 L ＝ rθ，其中 θ 用的是弧度而不是度——弧度这个单位存在的理由，就是让这一行前面不用挂系数。把 60 度代进 L ＝ rθ，答案会大出大约 57 倍，而且它看起来不像错的，只像一段很长的弧。这一页收的是度，因为填 60 比填 1.0472 省事；而它算的那条式子里带着 360，度就是在乘法发生之前先被除掉的。
由半径与圆心角求圆弧的长度
| 半径（厘米） | 圆心角（度） | 弧长（厘米） |
|---|---|---|
| 5 | 60 | 5.236 |
| 5 | 90 | 7.854 |
| 5 | 180 | 15.708 |
| 5 | 360 | 31.4159 |
| 10 | 90 | 15.708 |
| 6 | 120 | 12.5664 |
| 12 | 270 | 56.5487 |
| 5 | 0 | 0 |
八段弧、三列。第一行是页面打开时的那一组，六分之一个圆。第四行是把这一页与全站其余页面对上的那一行：360° 时弧已经闭合成整个圆，所以它必须等于圆周长，而半径 5 的圆周长就是圆页与周长页印的那个 31.4159。第五行值得停一下——半径 10、90° 与半径 5、180° 给出同样的 15.708，因为一个翻倍、一个折半，乘积没动。第六行是表里唯一一个答案正好是 π 的整数倍的行：半径 6、120° 是 4π，也就是 12.5664。表里每个数都是构建时由它那两个输入现算出来的；而扇形页用同样的两个数算的是同一个量，所以这一张表与那一张表的弧长那一列，应当逐行读起来一模一样。
公式
弧长 ＝（圆心角 ÷ 360）× 2πr
- 半径
- 从圆心到这段弧的距离，单位是厘米
- 圆心角
- 圆心处那只角，单位是度——两条连到弧两端的半径之间张开的那只。不是这段弧在纸上看上去转过的角度，也不是从外面看两端之间张开的那只
- 360
- 整个圆的度数，也是这条式子要这么写的原因。用角除以 360，得到的是这段弧占整个圆的几分之几
- 2πr
- 圆周长——整圈的长度，也就是被取分数的那一个量。π 是每个圆都有的那个常数，r 还是半径
- 弧长
- 这段弧的长度，单位是厘米。它占圆周长的比例，与角占 360° 的比例是同一个
- L ＝ rθ
- 同一条式子的紧凑写法，教科书与工具书上印的都是它。这个写法里 θ 用弧度，不是度——把 60 代进去而不是 1.0472，正是这一页要提醒的那个错
- 四位小数
- 答案印出来的宽度。答案通常写不尽，因为 π 写不尽——半径 5 的四分之一圆停在 7.8540
凡是圆的一部分、而它的长度又要紧的场合，都是这一页。最直白的一种是丈量：弧形的墙面、弧形的台面、飘窗、小路的弯道、顺着曲线而不是直线走过去的那段围栏——要下单的是沿曲线量的长度，而它比两端之间的直线距离长。成卷的材料被弯起来是第二种：收边条、装饰条、密封条、线管、扶手的弧形那一段、卷成某个半径的铁皮。下料之前先把长度算出来，这件事的全部意义就在这里，而弧裁短了就是废料。车辆与机械是第三种：雨刷扫过的距离、机械臂走过的那条路径、绕过弧形导轮的皮带、链轮上那一圈链条的长度。这些场合里弧长就是实际走过的距离，也是电机要按它选型的那个数。最后还有课堂上的用法。用圆规画一个圆，这个比例一眼就能看见——90° 的弧是圆周长的四分之一，可以拿公式核对——而它正是通往扇形、弓形、最后通往弧度的那一步机械装置：弧度不过是同一个比例换一种说法而已。
算例
半径 5、圆心角 90°
- 先看角占圆的几分之几：90 ÷ 360 ＝ 1/4
- 整圈周长：2 × π × 5 ＝ 31.4159
- 取四分之一：31.4159 ÷ 4 ＝ 7.854
四分之一个圆，也是页面打开时的那一组。要放在一起记的两个数是这里的 7.854 与同一个半径在 360° 下的 31.4159——一个正好是另一个的四倍，这是看出「角确实是被当成比例用的」最快的办法。
半径 5、圆心角 60°
- 先看角占圆的几分之几：60 ÷ 360 ＝ 1/6
- 整圈周长：2 × π × 5 ＝ 31.4159
- 取六分之一：31.4159 ÷ 6 ＝ 5.236
六分之一个圆。等边三角形在圆心处张开的正是这只角，这也是东西一分成六份就会冒出 60° 的原因。这一行扇形页也印，所以两页可以并排看：同样的半径与同样的角，弧长在这边是多少，扇形页上那个数就是多少。
半径 5、转满一圈
- 先看角占圆的几分之几：360 ÷ 360 ＝ 1
- 整圈周长：2 × π × 5 ＝ 31.4159
- 全部拿走：31.4159
边界那一档，也是对整页的一次核对：360° 时弧已经绕完一圈、首尾接上，所以它就是圆周长，而半径 5 的圆周长是 31.4159。这一行哪一天印出别的数，公式就是错的——这正是它值得占表里一行的原因。
半径 10、圆心角 90°
- 先看角占圆的几分之几：90 ÷ 360 ＝ 1/4
- 整圈周长：2 × π × 10 ＝ 62.8319
- 取四分之一：62.8319 ÷ 4 ＝ 15.708
与第一条同样是四分之一圆，长度却与半径 5 的 180° 弧一样。半径翻倍、角度折半，弧长不变——因为弧长由两者一起决定，而不是由其中任何一个。这是说明这条式子为什么是「乘」而不是「加」最省事的一个例子。
半径 5、圆心角 0°
- 先看角占圆的几分之几：0 ÷ 360 ＝ 0
- 整圈周长：2 × π × 5 ＝ 31.4159
- 取零份：0
圆心角为零意味着两条半径已经合拢到一起，这段弧缩成圆上的一个点，长度就是零。这是一个真答案，页面会照样给出来；它与「框空着」不同——空着时没有东西可算，结果区一个数都不显示。
局限
这一页只给弧长，别的不给。它不出扇形面积、不出两端之间那条直弦的长度、不出角度、也不出半径——前两样在扇形页上，而由弧长反求角度是另一个页面。角用度，上限是 360：超过一圈的圆心角会被拒绝而不是绕回去，因为圆心角按定义不超过一圈。两个框都收 0，答案是零长度的弧，这对一个点来说是对的，与空框不是一回事。两个数要用同一个单位量，按英寸填的半径出来就是英寸；没有任何换算发生。答案是沿圆弧量的长度，对别的曲线没有意义——椭圆拱、螺线、悬链线，以及任何不是正圆的弯，都算不对；其中椭圆是人们最容易以为简单的那一个。
常见问题
- 角填度还是弧度？
- 填度。这一页算的是（圆心角 ÷ 360）× 2πr，写成这样正是为了在别的运算之前先把度除掉。你在别处可能见过的紧凑写法 L ＝ rθ 用的是弧度，这一点值得知道，因为把 60 代进去会得到一个大约大 57 倍的答案——而一个只是很长的答案，看起来并不像错的。
- 图上哪只角才是圆心角？
- 顶点在圆心上的那一只，由两条连到弧两端的半径张开。它不是从弧上某一点看两端张开的那只，也不是这段曲线在纸上看上去转过的角度。图上标了好几只角时，顶点落在圆心上的那一只就是。
- 它与扇形计算器有什么区别？
- 扇形页对同样的两个输入给三个读数——那块饼的面积、弧长、两端之间的直弦长——因为要处理扇形的人通常不止要其中一个。这一页只给弧长。两页在那一个数上完全一致，所以只需要长度的话，走这一页更短。
- 圆心角能超过 360° 吗？
- 不能，页面会直接拒绝而不是绕回去。圆心角按定义是圆心上的一只角，不可能超过一整圈；400° 意味着一段比整个圆周长还长的弧，那就不是弧了。这道界是有意设的，而且与扇形页同值，所以同一组数在两页上要么都算得出、要么都被拒绝。
- 弧长与半径有关吗？
- 有关，而且关系是乘法不是加法。半径翻倍弧长翻倍，角翻倍弧长也翻倍，所以半径 5 的 180° 弧与半径 10 的 90° 弧一样长。这正是这条式子把两个数乘起来、而不是对它们做别的事的原因。
- 曲线不是圆怎么办？
- 那这一页给不出对的答案，而且它也不会提醒你。这里每一段弧都是正圆的一部分。椭圆拱、旋转楼梯、悬链线，还有抛出去的东西走过的那条轨迹，长度都要用另一套数学；其中椭圆是人们最容易以为「不过是圆的一部分」的那一个，而它不是。
参考资料
- Arc——圆弧的定义，以及它的长度、半径与圆心角之间的那个比例 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circular Arc——同一个题目更细的一版，包含 L ＝ rθ 这个紧凑写法，以及「其中角用弧度」这一句 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circle——弧所取分数的那条圆周长，也就是 2πr — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆周长与弧长是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部