圆心角计算器
结果
圆心角
- 圆心角（弧度）
- 1.0000 rad
圆心角计算器要一个圆的半径与它上面一段弧的长度，回给你圆心处那只角有多大，度数与弧度各给一个。这两个读数是同一只角的两写法，而这一页真正有意思的地方在于两者之中哪一个先有。一只圆心角如果用弧度来量，它就等于弧长除以半径——这不是谁推出来的公式，弧度这个单位就是这么定义的——所以弧度那个读数是一次没有 π 的除法，而度数那个读数是它乘以 180/π。页面打开时的那一组就把这件事摆出来了：半径 5、弧长 5 正好是 1 弧度，因为那段弧正好与半径一样长，而一弧度是 57.2958 度。这里其余的每一次计算都是同一次除法，只是数不同。这也正是这一页与弧长页为什么是两页而不是一页：它们是同一个等式朝两个方向读，一页由角给弧，一页由弧给角。两页都值得有，因为问题本来就是两头都会来——量了一段弧形墙的人手里是长度、想知道它转过了多大一只角，而画扇形的人手里是角、想知道那道边将来有多长。要带过来的唯一一句提醒是关于紧凑写法 L ＝ rθ 的：那个写法里的 θ 永远是弧度，因为这个写法只在那种情况下成立。把度数代进去，答案会大出大约 57 倍，而且它看起来不像错的，只像很长。这一页把两个读数都给你了，换算不用自己做；那条提醒要紧的场合，是你在别处碰到那个紧凑写法的时候。
由弧长与它所在圆的半径求圆心角
| 半径（厘米） | 弧长（厘米） | 圆心角（度） | 圆心角（弧度） |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 57.2958 | 1 |
| 10 | 5 | 28.6479 | 0.5 |
| 5 | 10 | 114.5916 | 2 |
| 4 | 1 | 14.3239 | 0.25 |
| 3 | 3 | 57.2958 | 1 |
| 6 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 31.4159 | 359.9997 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 360.0008 | 6.2832 |
八段弧、四列——量进去两个数，同一只角出来两次。第一行是页面打开时的那一组，也是用一行写出的弧度定义：弧长与半径相等时正好得 1，也就是 57.2958 度。第二、第三行把同一次除法往小里和往大里各走一步——弧长只有半径的一半时得半弧度，弧长是半径的两倍时得两弧度——两行放在一起看，弧度那一列就是在老老实实地做除法。第四行是一只四分之一弧度的角：半径 4 上铺一段弧长 1 的弧得 0.25 弧度，也就是 14.3239 度，度数那一列继续是弧度那个数乘以 57.2958。最后两行是同一件事的两个方向，也是整张表的要点：半径 5 填回它自己那个印出来的周长得 359.9997 度，半径 2 填回自己那个得 360.0008 度，因为一次是往下舍、一次是往上舍。所以比 360 大一点点的读数是「对的」，这两行就摆在这里说明这件事。
公式
圆心角（弧度）＝ 弧长 ÷ 半径，圆心角（度）＝ 圆心角（弧度）× 180 ÷ π
- 弧长
- 沿曲线量出来的那一段距离，单位是厘米——圆上那一小段的长度，不是它两端之间的直线距离
- 半径
- 从圆心到这段弧的距离，单位是厘米。它必须大于零，因为弧长要除以它
- 圆心角（弧度）
- 圆心处那只角，以弧度计——等于弧长除以半径，弧度就是这么定义的。一整圈是 2π 个弧度，约 6.2832
- 180 ÷ π
- 一弧度里的度数，约 57.2958。弧度那个读数乘以它就得到度数那个读数，而这是 π 在整道计算里唯一出现的地方
- 圆心角（度）
- 同一只角换成大多数人读角的方式，一整圈算 360 度。它印在主位上，因为量角器上读出来的就是它
- L ＝ rθ
- 两者关系的紧凑写法，其中的 θ 用弧度。移项之后就是这一页做的那次除法；照着原样把度数当弧度代进去，答案会大出大约 57 倍
- 四位小数
- 两个读数印出来的宽度。一整圈是 6.2832 弧度或 360 度，而在那一点附近，输入那个四位小数会透到答案里
凡是沿曲线量出来、现在要换成角的东西，都是这一页。机加工是最直白的一种：弧形槽、弯管、卷起来的一圈料，到手时给的是长度，而图纸上标的是角度——从一头走到另一头靠的就是这一次除法。钣金与建筑是同一类问题：沿长度量的弧形扶手、弯的路缘石、拱形的洞口、一段弧形砌体，这些都要先知道圆心角才能放线。导航与天文用的是反过来的那一头，把地面上或天上量到的一段弧换成纬度、经度或方位角的度数。还有一个课堂上的用法，而且它是弄懂这个单位最清楚的一条路。画一个圆，剪一段与半径等长的绳子，沿着圆铺上去：它在圆心处对着的角就是一弧度，而六个多一点就能绕满一圈。做一次，弧度就不再是一个要背下来的任意单位了。再有一种在软件与工程里反复出现的用法——已知半径与一段长度，想知道它占了整个圆的几分之几。那个比例就是弧度那个读数除以 2π，而这一页的两个读数正是为它准备的。
算例
半径 5、弧长 5
- 弧长除以半径：5 ÷ 5 ＝ 1 弧度
- 换成度数：1 × 180 ÷ π ＝ 57.2958
页面打开时就是这一组，也是用一行写出弧度定义的那一组：一段与半径一样长的弧，对着的角是一弧度。只记一件事的话，记 57.2958 这个数。留意弧度那个读数出来是精确的——这里没有发生舍入——因为这一对数就是为了让那次除法除得尽才挑的。
半径 10、弧长 5
- 弧长除以半径：5 ÷ 10 ＝ 0.5 弧度
- 换成度数：0.5 × 180 ÷ π ＝ 28.6479
同一段弧放在更大的圆上，所以角更小——这里的弧长 5 只是半径的一半，而不是整个半径。半弧度，28.6479 度。这一行说明角取决于那个比值而不只是取决于弧长，这与弧长页从另一头说的是同一件事。
半径 4、四分之一的圆周长
- 整圈周长：2 × π × 4 ＝ 25.1327
- 取四分之一：25.1327 ÷ 4 ＝ 6.2832 ＝ π
- 弧长除以半径：12.5664 ÷ 4 ＝ 3.1416 弧度
- 换成度数：3.1416 × 180 ÷ π ＝ 180.0004
半圈，也是说明「输入那四位小数最后去了哪里」的那一行。角确实是 180 度，但填进去的弧长是舍过的四分之一周长 12.5664，一个舍过的数除以 4，就把那次舍入带进了答案，成了 0.0004 度。弧度那个读数是四位小数下的 π，这是看出它是半圈的另一个角度。
半径 2、印出来的整圈周长
- 整圈周长：2 × π × 2 ＝ 12.5664，按四位小数印出来
- 弧长除以半径：12.5664 ÷ 2 ＝ 6.2832 弧度
- 换成度数：6.2832 × 180 ÷ π ＝ 360.0008
一整圈，而读数比 360 度大了一点点——这是对的，不是错误。半径 2 的圆周长是 12.5663706，页面印成 12.5664，是往上舍的。把这个印出来的数再填回去，角就比一整圈多出几分之一度。透出来的是输入里那次舍入，不是除法出了问题。
半径 6、弧长 0
- 弧长除以半径：0 ÷ 6 ＝ 0 弧度
- 换成度数：0 × 180 ÷ π ＝ 0
一段弧都没有，也就没有角：两条半径已经合拢到一起，这段弧缩成了一个点。0 在这里是合法输入，答案是真正的零。不能为零的是半径那一格——弧长要除以它，所以半径为零时根本没有答案。
局限
这一页只给角，别的不给：不出弧长、不出半径、不出扇形面积。已知角与半径求弧长在另一页。半径必须大于零——弧长要除以它，所以半径为零时没有答案，页面会把这件事说出来，而不是印一个空格。弧长可以为零，那时角为零。弧长不能超过那个圆的整圈周长：半径 5 的圆周长是 31.4159，所以弧长填 32 会被拒绝。这道界比对的是「页面印出来的」那个四位小数周长，不是全精度的值，而它有一个看得见的后果：「比 360 度大一点点的读数是可能出现的，而且是对的」。如果你那个圆的周长在印出来时是往上舍的，把这个印出来的数再填回去，就会得到 360.0008 度这样的角，因为舍入早就在你敲进去的那个数里了。这不是页面越过了自己的界。两个输入要用同一个单位量，没有任何换算发生；两个输出永远是度与弧度，与下拉框选的是什么无关。
常见问题
- 为什么给两个读数？
- 因为角有两种标准单位，而页面把换算替你做掉了。弧度那个读数是弧长除以半径，也就是弧度的定义；度数那个读数是它乘以 180/π。两者是同一只角，两个都给出来，你就不必自己换、也不必去查哪条公式要哪一种。
- 我的答案印出 360.0008 度，是错了吗？
- 没有错，它出现在你填进去的弧长本身就是一个舍过的数的时候。半径 2 的圆周长是 12.5663706，页面印成 12.5664，是往上舍的。把这个印出来的值再填回去，角就比一整圈多出几分之一度。你看到的是输入里那次舍入，不是除法出错。
- 半径能填 0 吗？
- 不能。圆心角是弧长除以半径，半径为零时根本没有答案——那个圆不存在，也就没有角可量。页面会把这件事说出来，而不是印一个空格或者一个无穷大。弧长倒是可以为零，那时角为零，那是一个真答案。
- 弧长最大能填多少？
- 那个圆的整圈周长。弧是圆的一部分，不可能比整个圆还长，超过了页面会拒绝——半径 5 的界是 31.4159。再往上就没有圆心角可求了，因为那段弧已经绕了不止一圈。
- 这一页与弧长计算器是什么关系？
- 同一个等式朝两个方向读。这一页由半径与弧长给角，那一页由半径与角给弧长。两页都存在，是因为问题本来就两头都会来——量曲线量到的是长度，画扇形拿到的是角度——而两页的参考表各有一行是对方也会印的。
- 弧度是不是就是另一种单位，和度差不多？
- 它是一个单位，但不像度那样是随手定的。度是一整圈的三百六十分之一，这个分法是从巴比伦的算术里传下来的；弧度是「弧长正好等于半径」时那只角。这也正是这一页那次除法里没有 π 的原因：π 只在你把结果换成度数的时候才出现。
参考资料
- Central Angle——圆心处被一段弧对着的那只角，以及它与弧长、半径三者的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- Radian——弧度那个读数所用的单位，定义就是「长度等于半径的一段弧所对着的角」，也就是这一页做的那次除法 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circle——围着一段弧的那条圆周长，以及一整圈是 2π 弧度这件事 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆心角与弧度是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部