弓形面积计算器

A ＝ (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sin θ c ＝ 2r sin(θ ÷ 2) h ＝ r(1 − cos(θ ÷ 2))

半径

圆心到弧的距离，单位是厘米。它同时也是被切掉那个三角形两条腰的长度，以及唯一一个能说明「这个圆原本有多大」的数

圆心角

弦在圆心处张开的角，单位是度。它与半径一起把弓形定死：既决定扇形占整圆的几分之几，也决定被切掉的那个三角形有多高

面积

弓形那块面的大小，单位是平方厘米——扇形的面积减去三角形的面积。不到 180 度时它是弦切出来的两块里小的那一块；过了 180 度，这个减号变成加号，交回的就是大的那一块

弦长

把弓形封口的直线，单位是厘米，也是被切掉那个三角形的底边。它在 180 度时涨到直径，之后开始缩回去，整整一圈时归零

弧长

沿着曲边走的那段距离，单位是厘米，与扇形的弧长完全一样——切掉三角形不会动到这条曲线。它是弓形的外边界，而且随着角度一直单调地涨上去

弓形高

弧在弦正中间高出弦多少，单位是厘米，也就是这一块有多深。它是你拿尺子真能量到的那个数——把尺横在平的那一边、量到曲线最低点就是它——从零度时的 0 一直涨到整整一圈时的整个直径

½r² sin θ

两条半径与弦围出的那个三角形的面积。它在 90 度时最大，到 180 度掉成零——这正是半圆没有三角形可减的原因

四位小数

每个读数印多宽。四个数个个拖着 π 或正弦，几乎从不精确；而面积是两个这样的数相减，所以它的最后几位是全页最不可靠的

这一页给「一条直线从圆上切下来」的那块区域用，而那个形状比它由之而来的扇形要常见得多。拱形窗、顶部是弧的门洞，都是弓形坐在一个矩形上；顶部是弧、两侧是直墙的隧道截面也是。装了半管液体的管道和罐子是经典场景：横放的圆柱里液体的截面积就是一块弓形，油桶里有多少油因此是弓形问题而不是圆的问题。地图上，直的产权线与弯曲的道路或河道之间那一块是弓形，圆形场地被一道直篱笆切在外面的那一小条也是。加工上，从圆棒或圆坯上锯一刀，切下来的边角料是弓形——而当你能量的是「切进去多深」而不是角度时，要用的就是弓形高那一条：把尺横在平面上量到曲线最低点，高度直接读出来，角度可以反推回去。它还是一口咬下去的形状：圆形饼干被咬掉一口，弦横在牙印上，弓形高就是咬进去的深度。

1. 四分之一圆的弓形

   1. 扇形面积：(90 ÷ 360) × π × 5² ＝ 19.6349…
   2. 三角形面积：½ × 5² × sin(90°) ＝ 12.5
   3. 弓形面积：19.6349 − 12.5 ＝ 7.1349…，舍入到 7.135
   4. 弦长：2 × 5 × sin(45°) ＝ 7.0711
   5. 弧长：(90 ÷ 360) × 2π × 5 ＝ 7.854
   6. 弓形高：5 × (1 − cos(45°)) ＝ 5 × 0.2928932 ＝ 1.4645

   页面打开时的默认输入，也是最能看清这一步减法在做什么的一行。扇形是 19.6349，三角形从里面拿走 12.5，剩下 7.135——只有原来那块楔形的三分之一。弓形高把这个形状说具体了：弧只比弦高出 1.4645 厘米，所以这是一条相当扁的窄条，不是一牙厚实的圆。

2. 60 度的薄弓形

   1. 扇形面积：(60 ÷ 360) × π × 5² ＝ 13.0899…
   2. 三角形面积：½ × 5² × sin(60°) ＝ 12.5 × 0.8660254 ＝ 10.8253
   3. 弓形面积：13.0899 − 10.8253 ＝ 2.2646…，舍入到 2.2647
   4. 弦长：2 × 5 × sin(30°) ＝ 5
   5. 弧长：(60 ÷ 360) × 2π × 5 ＝ 5.236
   6. 弓形高：5 × (1 − cos(30°)) ＝ 5 × 0.1339746 ＝ 0.6699

   同一个圆、更窄的一个角，而弓形比角度的变化小得多——角度只有上一行的三分之二，面积却只剩不到三分之一（2.2647 对 7.135）。原因是三角形几乎把整块楔形都吃掉了：扇形是 13.0899，三角形拿走了其中 10.8253。角度小的时候弓形就是一条细片，面积掉得比角度快得多。

3. 半圆

   1. 扇形面积：(180 ÷ 360) × π × 5² ＝ 39.2699…
   2. 三角形面积：½ × 5² × sin(180°) ＝ 0
   3. 弓形面积：39.2699 − 0 ＝ 39.2699
   4. 弦长：2 × 5 × sin(90°) ＝ 10
   5. 弧长：(180 ÷ 360) × 2π × 5 ＝ 15.708
   6. 弓形高：5 × (1 − cos(90°)) ＝ 5 × 1 ＝ 5

   三角形消失的那一个角度。180 度时弦就是直径，两条半径平躺在它上面，三角形没有面积可减，于是弓形就是整个半圆——39.2699，与扇形页印的半圆逐位相同。弓形高是 5，也就是半径，这是这个圆上的弓形能鼓到的最大值的一半。

4. 三分之一圆

   1. 扇形面积：(120 ÷ 360) × π × 6² ＝ 37.6991
   2. 三角形面积：½ × 6² × sin(120°) ＝ 18 × 0.8660254 ＝ 15.5885
   3. 弓形面积：37.6991 − 15.5885 ＝ 22.1106…，舍入到 22.1107
   4. 弦长：2 × 6 × sin(60°) ＝ 10.3923
   5. 弧长：(120 ÷ 360) × 2π × 6 ＝ 12.5664
   6. 弓形高：6 × (1 − cos(60°)) ＝ 6 × 0.5 ＝ 3

   把这一页与左右两页对上的一行。弦长是 6√3、弧长是 4π，与扇形页同一个圆、同一个 120 度印的是同一对数——切掉三角形不会改变弦与弧，因为它们本来就不属于那个三角形。弓形高恰好是 3，半径的一半，因为 60 度的余弦是二分之一。

5. 270 度的优弓形

   1. 扇形面积：(270 ÷ 360) × π × 5² ＝ 58.9049
   2. 三角形面积：½ × 5² × sin(270°) ＝ 12.5 × (−1) ＝ −12.5
   3. 弓形面积：58.9049 − (−12.5) ＝ 71.4049
   4. 弦长：2 × 5 × sin(135°) ＝ 7.0711
   5. 弧长：(270 ÷ 360) × 2π × 5 ＝ 23.5619
   6. 弓形高：5 × (1 − cos(135°)) ＝ 5 × 1.7071068 ＝ 8.5355

   要仔细读的一行，也是这一页为什么不给「这个答案合不合理」下判词的原因。270 度时正弦是负的，于是「减去三角形」变成了加上 12.5，页面交回 71.4049——弦切下来两块里大的那一块，不是小的那一块。就算式而言这是对的答案，而它经常不是读者心里想的那一块，所以这里没有任何东西被标成优弓形或劣弓形。弦长是 7.0711，与上面 90 度那一行一样，因为 sin(135°) 等于 sin(45°)：两个不同的角，一条弦。

这一页只算圆弓形：平面上一条直弦与它上面那段弧。超过 180 度之后算式会跨过去，交回的是弦切下来两块里大的那一块而不是小的那一块——这是有意的，也是躲不掉的，因为式子无从得知你指的是哪一块，所以这里的答案一律不标优弓形或劣弓形。面积是两个各拖着 π 或正弦的数相减，所以它的最后几位是全页最不可靠的。切掉三角形不会改变弦与弧，所以想要的是楔形而不是月牙形的人应该用隔壁的扇形页。读数一律是厘米和平方厘米，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的半径会拿回一个厘米的答案，要自己换。弓形高量的是弦到弧最低点的那一段，是角度未知时该用的那个量，但这一页不反过来从高度解角度。超过 360 度的角会被拒绝而不是绕回来。这里也处理不了椭圆上的弓形、不跨整段弧的弦，以及桶板、拱砖这类实物件的厚度与端面。

弓形与扇形有什么区别？

扇形是两条半径与一段弧围出来的那块楔形，像一片馅饼。弓形是把这个楔形里的三角形切掉之后剩下的部分：只剩弦与弧之间那一块。隔壁扇形页算的是楔形，这一页算的是从楔形里减去 ½r²sin θ 之后剩下的东西。

为什么 270 度时给的是大的那一块？

因为三角形的面积是 ½r²sin θ，过了 180 度正弦转负，减法就翻成了加法。算式没错，交回的确实是弦切下来两块里大的那一块。页面有意不把答案标成优弓形或劣弓形：光凭半径和一个角度，没办法判断你要的是哪一块，所以它算出其中的一块，怎么读由你来定。

弓形高是干什么用的？

它是弧在弦正中间高出多少，也就是这一块有多深。它在页面上，是因为它是你真正能拿尺子量到的那个数：把尺横在平的那一边、量到曲线最低点就得到了，用不着角度。它从零度时的 0 一直涨到整整一圈时的整个直径，而「装了半管液体的管道」通常就是用它来描述的。

为什么弦长与弧长和扇形页一样？

因为它们本来就不属于被切掉的那个三角形。减法减掉的是两条半径与弦围出的那块区域；弦本身是那个三角形的边界而不是内部，弧则完全没有被碰到。所以同一个圆、同一个 120 度，弓形与扇形的弦长、弧长逐位相同，只有面积不一样。

这个形状平时用在哪？

用在「一条直线穿过一个圆」的一切场合。横放的管道或罐子装了液体，液面截面就是一块弓形，所以油桶里有多少油是个弓形问题而不是圆的问题。拱形窗、两侧直墙的隧道顶、直的产权线与弯曲道路之间那块地、从圆棒上锯一刀留下的边角料、圆形饼干被咬掉的一口，都是弓形。

能反过来由弓形高求角度吗？

这一页不能——弓形高是输出，不是输入。从它反推角度是做得到的，因为弓形高等于 r(1 − cos(θ/2))，但那意味着解出余弦再取反余弦，页面不替你做这一步。手头真有一个深度读数的话，可行的路子是试着填几个角度、看弓形高那一列什么时候对上，或者自己在别处把反解算出来。

• Circular segment — 弦与它所对的弧之间的区域；本页算的「扇形减三角形」那一条就在这一条里 — Wolfram MathWorld（美国）
• Circular sector — 本页要从中减去三角形的那个楔形，也是隔壁那一页：答案就是楔形本身 — Wolfram MathWorld（美国）
• Circle — 弓形是从它上面切下来的形状，整圆与弦的各种性质都在这一条里 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆、弦与弧是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部