扇形面积计算器
结果
面积
- 弧长
- 5.2360 cm
- 弦长
- 5.0000 cm
扇形计算器拿到圆的半径与一个圆心角，回给你这两者切出来的那一块的三个读数：面积、弧长和弦长。扇形是一片馅饼的形状——两条半径与它们之间的那段弧围出来的区域——它也是这一族页面里第一张要求两个不同量纲的输入的表。半径是一个长度，圆心角是一个角度，而谁也推不出谁：小圆上切一大块与大圆上切一小条是两个完全不同的形状，所以两个数都得给。这件事值得留意，因为隔壁的圆那一页正好相反——给它四个量里的任意一个，它把其余三个算出来，因为圆由一个数就定死了。扇形是把圆咬掉一口之后剩下的东西，而这一口有多大必须另说。三个读数回答的是同一块扇形上的三个不同问题。面积是它盖住多大的面，切馅饼、算一块弧形地、估相机快门的开度要的都是它。弧长是沿着那条曲边走有多远，弧形台面要多少压条、弧形的边界要多少围栏、轮子转过一个角度时皮带走了多长，问的都是它。弦长是把这块扇形封口的直线，切片的平边、扇叶尖端的宽度、拱的跨度，量的是它。三个数出自同一对数：它们各自是整圆对应量的同一个比例，那个比例就是圆心角除以 360。三条公式值得各自记一遍，下面逐个列出来了。
从六分之一圆到整个圆的常见扇形
| 半径（厘米） | 圆心角（度） | 面积（平方厘米） | 弧长（厘米） | 弦长（厘米） |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 60 | 13.09 | 5.236 | 5 |
| 5 | 90 | 19.635 | 7.854 | 7.0711 |
| 5 | 180 | 39.2699 | 15.708 | 10 |
| 5 | 360 | 78.5398 | 31.4159 | 0 |
| 10 | 90 | 78.5398 | 15.708 | 14.1421 |
| 6 | 120 | 37.6991 | 12.5664 | 10.3923 |
| 12 | 270 | 339.292 | 56.5487 | 16.9706 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
八块扇形，而前两列就是那两格输入——这一点值得说明，因为本批别的表都把输入藏在形状里，只有这一张把它印了出来。第一行是页面打开时的默认输入，也是先读的一行：60 度时弦长恰好是 5，与半径一样，因为 30 度的正弦恰好是二分之一。第四行是整个圆，它的面积与弧长正好是圆那一页填半径 5 时印的 78.5398 与 31.4159，而弦长是 0，因为两个端点碰在一起了。第五行是另一个圆、另一个角度，却有与第四行一样的面积：半径 10、90 度的扇形盖住 78.5398 平方厘米，与半径 5 的整圆一样多，这提醒了面积同时取决于两个输入。第七行越过了半圆，弦长在那里量的是「占了四分之三圆的这一块」的短边那一侧；页面照算不误，而判断一条弦切下来的到底是哪一块，是隔壁弓形页的事而不是这一页的。最后一行圆心角是零，扇形塌成了一条半径，三个读数一起是零。表中每个数都是页面构建时按各自的半径与圆心角现算的，单位是厘米与度，四位小数与结果面板用的是同一个宽度。
公式
A ＝ (θ ÷ 360) × πr² L ＝ (θ ÷ 360) × 2πr c ＝ 2r × sin(θ ÷ 2)
- 半径
- 圆心到曲边的距离，单位是厘米。它是扇形两条直边之一，也是唯一一个能说明「这块是从多大的圆上切下来的」的数
- 圆心角
- 两条直边在圆心处的夹角，单位是度。它与半径合起来把扇形完全定死，也是说明「你切走了圆的几分之几」的那个数——90 度是四分之一，60 度是六分之一
- 面积
- 扇形盖住的那块面，单位是平方厘米。它就是那个比例乘上整圆的面积，而且是三个输出里唯一随半径的平方走的：半径翻倍，面积涨四倍
- 弧长
- 沿着曲边走的那段距离，单位是厘米。还是那个比例，只不过乘的是圆周长而不是面积——所以它跟着半径本身走，不跟着平方；圆心角恰好是一弧度时，它正好等于半径
- 弦长
- 弧的两个端点之间的直线距离，单位是厘米。它是这块扇形的平边，也是三个输出里唯一一个只用比例算不出来的：它要 2r 乘上半角的正弦
- sin(θ ÷ 2)
- 半角的正弦，而「半」字是这里要记住的部分——弦与两条半径围成一个等腰三角形，从圆心往弦上作一条垂线，把圆心角与弦同时一分为二
- θ ÷ 360
- 这块扇形占整圆的比例。面积与弧长共用这一个因子，这也是为什么它俩无非是整圆那两个量按比例缩小的一份拷贝
- 四位小数
- 每个读数印多宽。面积与弧长都拖着 π，几乎从不精确；弦长只在正弦本身精确的那几个角度上精确——60 度与 180 度因此给出整数，别的角度多半不会
三个读数回答的是同一块扇形上的三个不同问题，而选对哪一个已经是大半的工作。面积给按面买、按面算的东西用：一盘一盘的披萨、两条围栏在拐角处夹出来的那块地、按弧形框裁的玻璃，或者相机某一档快门放进来的视野有多少。弧长给沿着曲线走的东西用：弧形台面一圈要多少压条、鼓出来的边界要多少围栏、皮带绕过滑轮某一段走了多长，或者轮子转过一个给定角度时轮缘上一点走了多远。弦长给那条直线用：风扇叶片尖端的宽度、切片贴着盘子那条平边、拱的跨度，以及圆上两个点从同一个圆心各转过同样角度之后相距多远。还有第四种用法贯穿这三者：扇形是许多圆形物件的基本单位——饼图无非是一堆扇形，正六边形是六个扇形，齿轮的一个齿就是把尖端切掉的扇形。
算例
半径 5 厘米的六分之一圆
- 占整圆的比例：60 ÷ 360 ＝ 1/6
- 面积：(1/6) × π × 5² ＝ 25π ÷ 6 ＝ 13.0899…，舍入到 13.09
- 弧长：(1/6) × 2π × 5 ＝ 10π ÷ 6 ＝ 5.2359…，舍入到 5.236
- 弦长：2 × 5 × sin(30°) ＝ 10 × 0.5 ＝ 5
页面打开时的默认输入，也是最能说明那个比例在干什么的一行：60 度的扇形恰好是整圆的六分之一，所以面积是 25π 的六分之一，弧长是 10π 的六分之一。弦长是这里值得停一下的地方——它恰好是 5，与半径一样，因为 30 度的正弦恰好是二分之一，2 与那个二分之一约掉了。六个这样的扇形尖对尖拼起来就是一个正六边形，也就是隔壁那一页。
半径 5 厘米的四分之一圆
- 占整圆的比例：90 ÷ 360 ＝ 1/4
- 面积：25π ÷ 4 ＝ 19.6349…，舍入到 19.635
- 弧长：10π ÷ 4 ＝ 7.8539…，舍入到 7.854
- 弦长：2 × 5 × sin(45°) ＝ 10 × 0.7071068 ＝ 7.0710678…，舍入到 7.0711
四分之一圆。90 度扇形的弦长是一个两条直角边都等于半径的直角三角形的斜边，所以它是 r√2——这里是 5√2，也就是正方形页印对角线时那个 7.0711，也是圆内接正方形会需要的同一个数。三页、一个数，而三处都是同一个三角形从不同方向看过去的样子。
半圆
- 占整圆的比例：180 ÷ 360 ＝ 1/2
- 面积：25π ÷ 2 ＝ 39.2699…，舍入到 39.2699
- 弧长：10π ÷ 2 ＝ 15.7079…，舍入到 15.708
- 弦长：2 × 5 × sin(90°) ＝ 10 × 1 ＝ 10
弦长在这个角度上不再是一条弦，它就是直径：弧的两个端点此刻正好相对，连它们的直线穿过圆心，长度是 2r。90 度的正弦恰好是 1，所以答案很干净。这一行的每个数都是下面整圆那一行的一半——只有弦长例外，它在这里达到最大；过了 180 度之后，面积还在涨，弦长却开始缩回去了。
半径 6 厘米的三分之一圆
- 占整圆的比例：120 ÷ 360 ＝ 1/3
- 面积：36π ÷ 3 ＝ 12π ＝ 37.6991…，舍入到 37.6991
- 弧长：12π ÷ 3 ＝ 4π ＝ 12.5664…，舍入到 12.5664
- 弦长：2 × 6 × sin(60°) ＝ 12 × 0.8660254 ＝ 10.3923048…，舍入到 10.3923
半径 6 的三分之一圆，也是把这一页与隔壁六边形连起来的那一行。弦长是 6√3，恰好是边长 6 的正六边形的短对角线——那不是巧合：三个这样的扇形拼成半个六边形，六个拼成整个。另一件值得留意的是面积 12π、弧长 4π：比例干净的时候，答案会把 π 留着，别的都约掉了。
整个圆
- 占整圆的比例：360 ÷ 360 ＝ 1
- 面积：1 × π × 5² ＝ 25π ＝ 78.5398…，舍入到 78.5398
- 弧长：1 × 2π × 5 ＝ 10π ＝ 31.4159…，舍入到 31.4159
- 弦长：2 × 5 × sin(180°) ＝ 10 × 0 ＝ 0
360 度的扇形就是整个圆，而面积与弧长正好是圆那一页填半径 5 时印的两个数——同一个 78.5398、同一个 31.4159。它们只能一样：把整个圆都拿走的那块扇形就是圆本身。弦长才是这里有意思的那个。它是 0，而这是正确答案不是失败：弧的两个端点绕回来碰在一起了，连它们的直线根本没有长度。弦长可以是零，而同一行的面积正处在最大值——这两个量彼此没有一点关系。
局限
这一页只算扇形：两条半径与它们之间的那段弧，而且是在平面上。弓形——弦与它所对的弧之间那一块，也就是把这块扇形里的三角形切掉之后剩下的部分——是另一种形状，归隔壁那一页。读数一律是厘米和平方厘米，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的半径会拿回一个厘米的答案，要自己换；角度按度计，下拉框可以换成弧度或百分度，但算式一律从度出发。超过 360 度的角会被拒绝而不是绕回来：转过一整圈之后「你指的是哪一块」不止一种读法，页面宁可报错也不替你猜。四位小数是显示宽度而不是精度声明——面积与弧长都拖着 π，几乎从不精确，而弦长只在正弦本身精确的那几个角度上精确。弦长量的是跨过这块扇形的直线，所以角度超过 180 度时，它量的是「超过半圆的这一块」的短边那一侧，答案是对的，但画饼图的人往往不是这个意思。这里也处理不了椭圆或任何非圆弧上的切片、尖端是圆角的扇形，以及一块实物切片（蛋糕、奶酪）的厚度。
常见问题
- 圆那一页只要填一个数，这一页为什么两个都要？
- 因为扇形不由一个数定死。圆由半径一个数定死，知道半径就知道了它的一切。扇形是圆被咬掉一口之后剩下的部分，而那一口有多大必须另说——大圆上的 30 度与小圆上的 180 度完全是两个形状。半径定的是这个圆有多大，圆心角定的是你切走了它的几分之几，两个都要，而且谁也推不出谁。
- 为什么 60 度时弦长恰好等于半径？
- 因为弦长是 2r·sin(θ/2)，而 60 度的半角是 30 度、它的正弦恰好是二分之一。2 与那个二分之一约掉，剩下的就是 r。这是少数几个弦长掉出整数的角度之一，也正是六边形能成立的原因：六个 60 度的扇形尖对尖拼起来，六条半径与六条弦全都一样长。
- 扇形与弓形有什么区别？
- 扇形是两条半径与一段弧围出来的那块，像一片馅饼。弓形是弦与它所对的弧之间那一块——也就是把扇形里那个「两条半径加一条弦」的三角形切掉之后剩下的部分。隔壁那一页算的是后面那一块，它的面积就是这一页的面积减去那个三角形。
- 三个读数里我要的到底是哪一个？
- 要看这块扇形是不是一块面：是面就用面积——一片披萨、一块弧形地、一块玻璃。有东西沿着曲线走就用弧长——弧形台面一圈的压条、鼓出来的边界上的围栏、皮带绕过滑轮某一段的长度。需要跨过去的那条直线就用弦长——扇叶尖端的宽度、拱的跨度，或者圆上两点各转过同样角度之后相距多远。
- 整个圆那一行弦长是 0，是算错了吗？
- 没有，那是对答案。360 度时弧的两个端点绕了一整圈碰在一起，连它们的直线也就没有长度了。值得看一眼的是：面积在这一刻正好是最大值（整个圆），而弦长是它的最小值，因为这两个量彼此没有关系。只有弦长会这样；弧长在这一行只是变成了圆周长。
- 圆心角可以用弧度填吗？
- 可以，圆心角旁边的下拉框里有度、弧度和百分度，不管填哪一种，页面都会先换算成度再往下算。参考表里那一列写的一律是度，所以填大约 1.047 弧度的，与第一行那个 60 度是同一块扇形。单位不影响输出：面积照样是平方厘米，弧长与弦长照样是厘米。
参考资料
- Circular sector — 两条半径与一段弧围出的区域；本页算的面积与弧长都在这一条里，并写明两者都是整圆对应量乘上同一个比例 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circle — 扇形是从它上面切下来的那个形状，也是隔壁那一页：四个量里给任意一个，其余三个都出来 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circular segment — 弦与它所对的弧之间那一块，也就是这块扇形挖掉三角形之后剩下的部分，隔壁那一页算的就是它 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆、扇形与弧长是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部