球体计算器

V ＝ 4⁄3 × πr³ A ＝ 4πr² d ＝ 2r C ＝ 2πr

半径

圆心到球面的距离，单位是厘米。这是球真正立在其上的那一个数——这一页上的其余一切，包括另外两个输入，都只是表达它的另一种写法

直径

穿过球心的一条直线段的长度，单位是厘米，等于半径的两倍。手里拿着球、拿尺子横过去量到的就是它，而绝大多数球也确实是这样标称的

周长

绕着最粗那一圈走一圈的长度，单位是厘米，等于 2πr。手里只有卷尺、又够不到对面的时候就用它——树干、管道，或者一个大到跨不过去的球

体积

球占多大空间，单位是立方厘米。它是这里唯一随半径的三次方走的读数，所以球一大起来，它会立刻把别的读数甩开

表面积

球有多少皮，单位是平方厘米，等于同样半径的圆的面积的四倍。它恰好也等于「刚好套住这个球的圆柱」的侧面面积

4⁄3 πr³

球体积公式，其中那个三分之四是要记住的部分。球恰好能装下「刚好套住它的圆柱」的三分之二——阿基米德把这个结果刻在了自己墓碑上

4πr²

球表面积公式，而紧挨着体积那个三分之四，这个干干脆脆的 4 值得看两眼。它等于四个同样半径的平面圆的面积，这是微积分掉出来的巧合，不是把球展开能看到的东西

四位小数

每个读数印多宽。只有半径与直径可能精确；周长、表面积、体积都拖着 π，体积还多带一个三次方，所以它们的最后几位是显示宽度而不是承诺

这一页给一切三维的圆东西用，而它比圆那一页多出来的两个读数，正是实物身上最要紧的那两个。体积用于容量与排开：一个足球能装多少空气、球形罐或气柜能装多少、知道材质之后一颗钢珠有多重、一个浮球能提供多大浮力。表面积用于一切包裹球面的东西：漆、足球上的皮块、轴承上的镀层、一颗液滴的散热面，或者附着在颗粒表面的药量。还有一种用法是反过来的，而且它最常见：你手里有一个球和一卷尺，要的是一个够不到的数。把尺绕着赤道围一圈，把周长填进去，页面就把直径和体积给你，用不着把球剖开——树有多粗、管有多粗、行星有多大，都是这么来的。

1. 半径 5 的球

   1. 直径：2 × 5 ＝ 10
   2. 周长：2 × π × 5 ＝ 10π ＝ 31.4159…
   3. 表面积：4 × π × 5² ＝ 100π ＝ 314.1593…
   4. 体积：(4 ÷ 3) × π × 5³ ＝ 500π ÷ 3 ＝ 523.5987…，舍入到 523.5988

   页面打开时的默认输入。两个带 π 的读数值得当成 π 的整倍数来读：表面积是 100π，体积是 500π/3。这一行也是球的数能与圆那一页对上的地方——这个球的周长 31.4159，与圆那一页填半径 5 时印的逐位相同，因为一条周长不关心它是画在纸上还是绕在球上。体积才是第三个维度露出来的那一行。

2. 直径 12 的球

   1. 半径：12 ÷ 2 ＝ 6
   2. 周长：2 × π × 6 ＝ 12π ＝ 37.6991…
   3. 表面积：4 × π × 6² ＝ 144π ＝ 452.3893…
   4. 体积：(4 ÷ 3) × π × 6³ ＝ 288π ＝ 904.7787…

   球就在眼前时该填的一格：直径是拿尺子横过中间量到的那个数，足球、轴承、行星标称用的都是它。这一行全是 π 的整倍数——12π、144π、288π——半径是整数时就会这样，也是算式没算错的一个好兆头。

3. 绕着赤道量出来的球

   1. 半径：20 ÷ (2π) ＝ 3.1830988…，舍入到 3.1831
   2. 直径：2 × 3.1830988… ＝ 6.3661977…，舍入到 6.3662
   3. 表面积：4 × π × 3.1830988…² ＝ 400 ÷ π ＝ 127.3239…，舍入到 127.324
   4. 体积：(4 ÷ 3) × π × 3.1830988…³ ＝ 4000 ÷ 3π² ＝ 135.0948…，舍入到 135.0949

   如果你打算自己动手算一遍，这一行最该读，因为它正是「提前舍入会咬人」的那一行。上面印出来的半径是 3.1831，它本身已经舍过了——拿它去立方，得到的是 135.0950 而不是页面报的 135.0949。两个数都说得过去，但只有一个是对的：真答案属于你填进去的那个 20，而 3.1831 只是它的一个显示，不是它本身。这一格也是「只能拿卷尺围一圈」的东西该填的，比如树干或管道。

4. 半径二分之一的球

   1. 直径：2 × 0.5 ＝ 1
   2. 周长：2 × π × 0.5 ＝ π ＝ 3.1416…
   3. 表面积：4 × π × 0.5² ＝ π ＝ 3.1416…
   4. 体积：(4 ÷ 3) × π × 0.5³ ＝ π ÷ 6 ＝ 0.5236…

   值得停下来看一眼的一行：周长与表面积印出来是同一个数，3.1416，而那不是笔误。两条式子是 2πr 与 4πr²，在半径二分之一处正好相交——2π × ½ 与 4π × ¼ 都是 π。半径比它小的时候表面积是两者里小的那个，比它大就反过来。这类巧合只在一个长度与一个面积恰好用同一套单位来量的时候才冒出来，而这一页上它们正是如此。

5. 半径为零的球

   1. 直径：2 × 0 ＝ 0
   2. 周长：2 × π × 0 ＝ 0
   3. 表面积：4 × π × 0² ＝ 0
   4. 体积：(4 ÷ 3) × π × 0³ ＝ 0

   没有大小的球是一个点，五个读数一起是零。零是合法输入而不是空框，所以一行零是一个真实的答案——页面把它与「三个框都空着」区分开来，后者什么都不显示，因为没有东西可以拿来算。

这一页只算球：球面上每一点到球心的距离都相同。鸡蛋、橄榄球、地球本身都不是球，半球也不是——那是球被切开，多出来一个平面，而那个面的面积不算在这里。体积与表面积填不进去，它们是答案不是输入，所以「按能装多少升来标称的球」得先在别处换回半径。五个读数一律是厘米、平方厘米、立方厘米，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的直径会拿回一个厘米的答案，要自己换。四位小数是显示宽度而不是精度声明：只有半径与直径可能精确，另外三个都拖着 π，而体积还多带一个三次方。五个读数是各自从那个精确半径舍入出来的，所以这一页上印出来的一个数未必能反推出旁边另一个数——真答案属于你填进去的那个数。三个框里只能填一个，填两个会被拒绝而不是悄悄取一个：半径 5 与直径 10 是同一个球，半径 5 与直径 12 不是，页面宁可报错也不替你选。这里也处理不了空心球的壁厚、球是什么材料做的，以及它有多重。

为什么三个框里只能填一个？

因为三个框说的是同一个球。半径、直径、周长是同一个尺寸换了三身衣服——填任意一个，页面就知道这个球了。填两个会被拒绝而不是替你化解：半径 5 与直径 10 是同一个球，半径 5 与直径 12 不是，页面没有诚实的办法猜你指的是哪一个。

为什么不能填体积、反过来求半径？

因为那是另一道题，要开三次方而不是做乘法；填表面积去求半径也一样，那要开平方。两件事都完全合理，只是它们是各自独立的问题，而这一页把三个长度作为输入，为的是把体积与表面积作为答案给出来。反过来解有它自己的页面。

表面积与周长算出来是同一个数，是错了吗？

没有——半径二分之一时它们确实相等。周长是 2πr，表面积是 4πr²，在 r ＝ ½ 处两者都是 π。半径比它小时表面积比周长小，比它大时表面积更大。它们是两种不同性质的量，所以这个相等是数值上的巧合，而不是说一个长度等于一个面积。

体积公式里那个三分之四是怎么来的？

它让球恰好等于「刚好套住它的圆柱」的三分之二。阿基米德算出了这个结果，并且看重到要求把球与圆柱刻在自己的墓碑上。它也是体积公式看起来比长方体、棱柱那些重得多的原因：曲面没法靠一层层切平面片堆出来，非得用微积分不可。

只能绕着量一圈的球，该填哪一格？

填周长。把卷尺绕着最粗的一圈围起来，把那个数填进周长那一格，页面就把直径、半径连同体积和表面积一起给你。树干、管道，以及一切太大或太别扭而跨不过去的东西，行内都是这么量尺寸的——这也是周长在这三个框里，而不是只当一个读数。

答案应该是立方厘米还是升？

页面印的是立方厘米，换算就是通常那个：一千立方厘米是一升，所以 523.5988 立方厘米大约是 0.5236 升。更小的体积里，一毫升与一立方厘米是一回事。下拉框改的是你填进去的那个数的单位，不是输出的单位，所以按英寸填直径，答案照样是厘米。

• Sphere — 三维的球；本页算的体积与表面积都在这一条里，也包括它与外接圆柱之间那个三分之二的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
• Circle — 同样几个量在二维的样子，也是隔壁那一页：在那里周长是输入而不是回显 — Wolfram MathWorld（美国）
• Volume — 体积这个输出在量什么的一般性处理，球是其中体积有封闭式的那一类立体之一 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；球的表面积与体积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部